Системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных уравнений третьего порядка имеет вид

1. Правило Крамера: если определитель матрицы системы не равен 0, то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам

, , ,

где определитель матрицы системы; определитель, получаемый из определителя заменой го столбца столбцом свободных членов, .

2. Матричный способ:система линейных уравнений в матричной форме имеет вид , где

, , .

Решение матричного уравнения определяется формулой .

3.Метод Гауссазаключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для краткости вместо системы рассматриваем расширенную матрицу ее коэффициентов, которую приводим к треугольному виду:

с помощью следующих, не меняющих решения, преобразований: 1.В можно менять местами строки.

2.Можно в менять местами столбцы слева от прямой черты. 3.К одной строке можно прибавить другую, умноженную на некоторое число.

Треугольную матрицу записываем в виде уравнений снизу вверх, последовательно находя неизвестные.

Векторы.

Векторомназывается направленный отрезок.

Координаты векторас началом в точке и концом в точке :

.

Длина вектора:

.

Проекция вектора на ось u: , - угол между осью и вектором . Направляющие косинусы: ;; Сумма (разность) векторов и : . Произведение вектора на число : .

Условие коллинеарности векторов: .

Разложение вектора по векторам : , где - координаты вектора в системе координат .

Нелинейные операции над векторами.

1.Скалярное произведение векторов– число ; 1). проекция вектора на вектор ; 2). если , то .

Свойства:1). ; 2). ; 3). скалярный квадрат , тогда ; 4). ; 5). . Условие перпендикулярности векторов: .

Угол между векторами:

.

2. Векторное произведение -вектор , определяемый условиями:1). ; 2). перпендикулярен и , и ; 3). вектор направлен так, что с его конца переход от первого сомножителя ко второму виден как переход против часовой стрелки.

В координатах,если , , то

. .

Свойства векторного произведения:1). ; 2). ; 3). ; 4). , , ; , , ; , , . Геометрическимодульвекторного произведения – площадь параллелограмма: .

3. Смешанное произведение векторов– число .

Если ; , то .

Геометрически– объемы параллелепипеда и пирамиды: ,

Условие компланарности векторов: .

Раздел 2. Аналитическая геометрия.

Простейшие задачи на плоскости.

Уравнение линии на плоскости .

Расстояние между двумя точками : .

Площадь треугольникаABC с вершинами в точках :

.

Координаты точки , делящий отрезок в данном отношении :

.

Координаты середины отрезка( ):

.

Полярные координаты: ,; ,,.

Прямая на плоскости.

Уравнения прямой:

общее: , вектор перпендикулярен прямой;

с угловым коэффициентом: ;

проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом : ; проходящей через две точки : ;

в отрезках: .

Угол между двумя прямыми,заданными: общими уравнениями и :

;

уравнениями с угловым коэффициентом , :

.

Условия параллельности прямых: , .

Условия перпендикулярности прямых: , .

Расстояние от точки до прямой :

.

Кривые 2 порядка.

Уравнение второго порядка задает: окружность при ; эллипс при ; гиперболу при ; параболу, если или . Уравнения окружности: с центром в т. и радиусом : ; с центром в т. : . Каноническое уравнение эллипса: Каноническое уравнение гиперболы: Канонические уравнения параболы:

Плоскость в пространстве.

Уравнения плоскости:

проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

;

общее:

; - вектор нормали;

в отрезках:

;

проходящей через три данные точки :

.

Угол между плоскостями :

.

Условие параллельности плоскостей: .

Условие перпендикулярности плоскостей .

Расстояние от точки до плоскости :

.

Прямая в пространстве.

Уравнения прямой:

как линии пересечения двух плоскостей:

проходящей через точку параллельно вектору : - канонические уравнения прямой;

параметрические:

проходящей через две данные точки :

.

Угол между прямыми:

.

Условие параллельности прямых: .

Условие перпендикулярности прямых: .

Расстояниеот точки до прямой :

.