Действия над матрицами. Обратная матрица.
Определители.
1. Определитель второго порядка задается равенством
.
2. Определитель третьего порядка задается равенством
.
3.Свойства определителей. 1. Определитель равен нулю, если он содержит: две одинаковые или пропорциональные строки; строку (столбец) из нулей. 2. Определитель не изменится, если к любой его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. 3.Разложение определителя по любой строке (столбцу):
.
4. Способы вычисления определителя третьего порядка.
а). Правило Саррюса (дополнения): б). Правило треугольников:
в). Разложение определителя по первой строке:
.
Действия над матрицами. Обратная матрица.
1. Матрицей порядка
называется прямоугольная таблица, составленная из действительных чисел и содержащая
строк и
столбцов:
.
2. Сумма (разность)матриц одного порядка =
,
.
3.Произведениематрицы на число
.
4. Произведением матриц
и
называется матрица
, элементы
которой равны сумме произведений соответствующих элементов
-ой строки матрицы
и
-го столбца матрицы
:
.
При умножении матрицы порядка на матрицу порядка
получится матрица порядка
.
Некоммутативность (неперестановочность) умножения матриц: .
5. Если - невырожденная квадратная матрица (определитель матрицы
), то существует единственная матрица
, называемая обратной к матрице
, такая, что
, где
- единичная матрица.
Чтобы найти необходимо: - вычислить определитель
матрицы
; - найти алгебраические дополнения
каждого элемента
матрицы
; - составить из чисел
матрицу
; - транспонируя матрицу
, составить матрицу
; - умножить матрицу
на число
:
; - делаем проверку
.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений третьего порядка имеет вид
1. Правило Крамера: если определитель матрицы системы не равен 0, то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам
,
,
,
где определитель матрицы системы;
определитель, получаемый из определителя
заменой
го столбца столбцом свободных членов,
.
2. Матричный способ:система линейных уравнений в матричной форме имеет вид , где
,
,
.
Решение матричного уравнения определяется формулой .
3.Метод Гауссазаключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для краткости вместо системы рассматриваем расширенную матрицу ее коэффициентов, которую приводим к треугольному виду:
с помощью следующих, не меняющих решения, преобразований: 1.В можно менять местами строки.
2.Можно в менять местами столбцы слева от прямой черты. 3.К одной строке
можно прибавить другую, умноженную на некоторое число.
Треугольную матрицу записываем в виде уравнений снизу вверх, последовательно находя неизвестные.
Векторы.
Векторомназывается направленный отрезок.
Координаты векторас началом в точке и концом в точке
:
.
Длина вектора:
.
Проекция вектора на ось u: ,
- угол между осью
и вектором
. Направляющие косинусы:
;
;
Сумма (разность) векторов
и
:
. Произведение вектора
на число
:
.
Условие коллинеарности векторов:
.
Разложение вектора по векторам
:
, где
- координаты вектора
в системе координат
.
Прямая на плоскости.
Уравнения прямой:
общее: , вектор
перпендикулярен прямой;
с угловым коэффициентом: ;
проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
:
; проходящей через две точки
:
;
в отрезках: .
Угол между двумя прямыми,заданными: общими уравнениями и
:
;
уравнениями с угловым коэффициентом ,
:
.
Условия параллельности прямых: ,
.
Условия перпендикулярности прямых: ,
.
Расстояние от точки до прямой
:
.
Кривые 2 порядка.
Уравнение второго порядка задает: окружность при
; эллипс при
; гиперболу при
; параболу, если
или
. Уравнения окружности: с центром в т.
и радиусом
:
; с центром в т.
:
. Каноническое уравнение эллипса:
Каноническое уравнение гиперболы:
Канонические уравнения параболы:
Плоскость в пространстве.
Уравнения плоскости:
проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали
:
;
общее:
;
- вектор нормали;
в отрезках:
;
проходящей через три данные точки :
.
Угол между плоскостями
:
.
Условие параллельности плоскостей: .
Условие перпендикулярности плоскостей .
Расстояние от точки до плоскости
:
.
Прямая в пространстве.
Уравнения прямой:
как линии пересечения двух плоскостей:
проходящей через точку параллельно вектору
:
- канонические уравнения прямой;
параметрические:
проходящей через две данные точки
:
.
Угол между прямыми:
.
Условие параллельности прямых: .
Условие перпендикулярности прямых: .
Расстояниеот точки до прямой
:
.
Раздел 3. Пределы
Определенные выражения при нахождении пределов: ;
;
;
;
;
Неопределенности: ,
,
,
.
Правила дифференцирования.
1. . 2.
. 3.
. 4.
.
Таблица производных основных элементарных функций.
1. . 2.
;
;
;
. 3.
;
. 4.
;
. 5.
.
6. . 7.
. 8.
. 9.
.
10. . 11.
. 12.
.
Производная сложной функции .
.
Логарифмическая производная: .
Вторая производная: .
Производная го порядка:
.
Производная показательно-степенной функции:
.
Правило Лопиталя.
Если предел представляет собой неопределенность
или
, и существуют производные функций
и
в окрестностях точки
, то
. Если производные
обладают теми же свойствами, что и функции, то возможно повторное применение правила:
, и т.д.
Определители.
1. Определитель второго порядка задается равенством
.
2. Определитель третьего порядка задается равенством
.
3.Свойства определителей. 1. Определитель равен нулю, если он содержит: две одинаковые или пропорциональные строки; строку (столбец) из нулей. 2. Определитель не изменится, если к любой его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. 3.Разложение определителя по любой строке (столбцу):
.
4. Способы вычисления определителя третьего порядка.
а). Правило Саррюса (дополнения): б). Правило треугольников:
в). Разложение определителя по первой строке:
.
Действия над матрицами. Обратная матрица.
1. Матрицей порядка
называется прямоугольная таблица, составленная из действительных чисел и содержащая
строк и
столбцов:
.
2. Сумма (разность)матриц одного порядка =
,
.
3.Произведениематрицы на число
.
4. Произведением матриц
и
называется матрица
, элементы
которой равны сумме произведений соответствующих элементов
-ой строки матрицы
и
-го столбца матрицы
:
.
При умножении матрицы порядка на матрицу порядка
получится матрица порядка
.
Некоммутативность (неперестановочность) умножения матриц: .
5. Если - невырожденная квадратная матрица (определитель матрицы
), то существует единственная матрица
, называемая обратной к матрице
, такая, что
, где
- единичная матрица.
Чтобы найти необходимо: - вычислить определитель
матрицы
; - найти алгебраические дополнения
каждого элемента
матрицы
; - составить из чисел
матрицу
; - транспонируя матрицу
, составить матрицу
; - умножить матрицу
на число
:
; - делаем проверку
.