Действия над матрицами. Обратная матрица.
Определители.
1. Определитель второго порядка задается равенством
.
2. Определитель третьего порядка задается равенством
.
3.Свойства определителей. 1. Определитель равен нулю, если он содержит: две одинаковые или пропорциональные строки; строку (столбец) из нулей. 2. Определитель не изменится, если к любой его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. 3.Разложение определителя по любой строке (столбцу):
.
4. Способы вычисления определителя третьего порядка.
а). Правило Саррюса (дополнения): б). Правило треугольников:
в). Разложение определителя по первой строке:
.
Действия над матрицами. Обратная матрица.
1. Матрицей 
порядка 
называется прямоугольная таблица, составленная из действительных чисел и содержащая 
строк и 
столбцов:
.
2. Сумма (разность)матриц одного порядка 
= 
, 
.
3.Произведениематрицы на число 
.
4. Произведением 
матриц и 
называется матрица 
, элементы 
которой равны сумме произведений соответствующих элементов 
-ой строки матрицы и 
-го столбца матрицы
:
.
При умножении матрицы порядка 
на матрицу порядка 
получится матрица порядка .
Некоммутативность (неперестановочность) умножения матриц: 
.
5. Если - невырожденная квадратная матрица (определитель матрицы 
), то существует единственная матрица 
, называемая обратной к матрице , такая, что 
, где 
- единичная матрица.
Чтобы найти необходимо: - вычислить определитель 
матрицы ; - найти алгебраические дополнения 
каждого элемента 
матрицы ; - составить из чисел матрицу 
; - транспонируя матрицу 
, составить матрицу 
; - умножить матрицу на число 
: 
; - делаем проверку 
.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений третьего порядка имеет вид
1. Правило Крамера: если определитель матрицы системы не равен 0, то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам
, 
, 
,
где 
определитель матрицы системы; 
определитель, получаемый из определителя 
заменой 
го столбца столбцом свободных членов, 
.
2. Матричный способ:система линейных уравнений в матричной форме имеет вид 
, где
, 
, 
.
Решение матричного уравнения определяется формулой 
.
3.Метод Гауссазаключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для краткости вместо системы рассматриваем расширенную матрицу ее коэффициентов, которую приводим к треугольному виду:
с помощью следующих, не меняющих решения, преобразований: 1.В 
можно менять местами строки.
2.Можно в менять местами столбцы слева от прямой черты. 3.К одной строке можно прибавить другую, умноженную на некоторое число.
Треугольную матрицу записываем в виде уравнений снизу вверх, последовательно находя неизвестные.
Векторы.
Векторомназывается направленный отрезок.
Координаты векторас началом в точке 
и концом в точке 
:
.
Длина вектора:
.
Проекция вектора на ось u: 
, 
- угол между осью 
и вектором 
. Направляющие косинусы: 
;
;
Сумма (разность) векторов 
и 
: 
. Произведение вектора на число 
: 
.
Условие коллинеарности векторов: 
.
Разложение вектора 
по векторам 
: 
, где 
- координаты вектора в системе координат 
.
Прямая на плоскости.
Уравнения прямой:
общее: 
, вектор 
перпендикулярен прямой;
с угловым коэффициентом: 
;
проходящей через данную точку 
с данным угловым коэффициентом 
: 
; проходящей через две точки 
: 
;
в отрезках: 
.
Угол между двумя прямыми,заданными: общими уравнениями 
и 
:
;
уравнениями с угловым коэффициентом 
, 
:
.
Условия параллельности прямых: 
, 
.
Условия перпендикулярности прямых: 
, 
.
Расстояние от точки до прямой :
.
Кривые 2 порядка.
Уравнение второго порядка 
задает: окружность при 
; эллипс при 
; гиперболу при 
; параболу, если 
или 
. Уравнения окружности: с центром в т. 
и радиусом 
: 
; с центром в т. 
: 
. Каноническое уравнение эллипса: 
Каноническое уравнение гиперболы: 
Канонические уравнения параболы: 
Плоскость в пространстве.
Уравнения плоскости:
проходящей через точку 
перпендикулярно вектору нормали 
:
;
общее:
; - вектор нормали;
в отрезках:
;
проходящей через три данные точки 
:
.
Угол между плоскостями 
:
.
Условие параллельности плоскостей: 
.
Условие перпендикулярности плоскостей 
.
Расстояние от точки 
до плоскости :
.
Прямая в пространстве.
Уравнения прямой:
как линии пересечения двух плоскостей:
проходящей через точку параллельно вектору 
: 
- канонические уравнения прямой;
параметрические:
проходящей через две данные точки 
:
.
Угол между прямыми:
.
Условие параллельности прямых: 
.
Условие перпендикулярности прямых: 
.
Расстояниеот точки 
до прямой :
.
Раздел 3. Пределы
Определенные выражения при нахождении пределов: 
; 
; 
; 
; 
; 
Неопределенности: 
,
,
,
.
Правила дифференцирования.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
Таблица производных основных элементарных функций.
1. 
. 2. 
; 
; 
; 
. 3. 
; 
. 4. 
; 
. 5. 
.
6. 
. 7. 
. 8. 
. 9. 
.
10. 
. 11. 
. 12. 
.
Производная сложной функции 
.
.
Логарифмическая производная: 
.
Вторая производная: 
.
Производная 
го порядка: 
.
Производная показательно-степенной функции: 
.
Правило Лопиталя.
Если предел 
представляет собой неопределенность или, и существуют производные функций 
и 
в окрестностях точки 
, то 
. Если производные 
обладают теми же свойствами, что и функции, то возможно повторное применение правила:
, и т.д.
Определители.
1. Определитель второго порядка задается равенством
.
2. Определитель третьего порядка задается равенством
.
3.Свойства определителей. 1. Определитель равен нулю, если он содержит: две одинаковые или пропорциональные строки; строку (столбец) из нулей. 2. Определитель не изменится, если к любой его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. 3.Разложение определителя по любой строке (столбцу):
.
4. Способы вычисления определителя третьего порядка.
а). Правило Саррюса (дополнения): б). Правило треугольников:
в). Разложение определителя по первой строке:
.
Действия над матрицами. Обратная матрица.
1. Матрицей порядка называется прямоугольная таблица, составленная из действительных чисел и содержащая строк и столбцов:
.
2. Сумма (разность)матриц одного порядка = , .
3.Произведениематрицы на число .
4. Произведением матриц и называется матрица , элементы которой равны сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы и -го столбца матрицы
:
.
При умножении матрицы порядка на матрицу порядка получится матрица порядка .
Некоммутативность (неперестановочность) умножения матриц: .
5. Если - невырожденная квадратная матрица (определитель матрицы ), то существует единственная матрица , называемая обратной к матрице , такая, что , где - единичная матрица.
Чтобы найти необходимо: - вычислить определитель матрицы ; - найти алгебраические дополнения каждого элемента матрицы ; - составить из чисел матрицу ; - транспонируя матрицу , составить матрицу ; - умножить матрицу на число : ; - делаем проверку .