Приближенные формулы в схеме бернулли

Пусть проводятся большое число независимых испытаний, причем вероятность «успеха» равна р во всех испытаниях. В этом случая использование формулы Бернулли (5.1) требует проведения объемных вычислений. Для того, чтобы избежать этого, используют приближенные формулы Муавра – Лапласа.

При n , большем нескольких десятков, не очень малой вероятности р, так, что npq > 9, справедливо равенство

, (6.1)

где , .

Заметим, что и при .

Для вычисления можно использовать равенство

, (6.2)

где

называется функцией Лапласа. Формула (6.2) применима при выполнении тех же условий, что и (6.1). Величина обладает двумя свойствами, используемыми при вычислениях:

1. 2. (практически при ).

Значения даны в таблице в конце книги.

При проведении испытаний величина n = k / n , равная отношению числа «успехов» к числу испытаний, называется частотой «успеха». Вероятность отклонения n от вероятности «успеха» Р на величину, превосходящую некоторое число e, может быть найдена по формуле

(6.3)

Следовательно,

(6.3а)

Эта формула применима также при больших n и . При больших n,
но очень малых р (или q) таких, что , используют приближенную
формулу Пуассона:

(6.4)

при .

ЗАДАЧИ

1. Вероятность производства нестандартного конденсатора на некотором заводе равна 0,1. Конденсаторы поступают потребителю в коробках по 400 штук. Какова вероятность того, что в коробках 35 нестандартных конденсаторов? 360 стандартных?

2. Вероятность того, что на одну облигацию выпадет выигрыш, равна 0,2. Какова вероятность того, что из 100 купленных облигаций выиграют 20? Не выиграют 20?

3. Среди школьников, проживающих в некотором городе, 40% близоруких. Какова вероятность того, что среди 600 случайно отобранных школьников близоруких будет не более 252? Не близоруких будет хотя бы 330?

4. Среди телевизоров, поступающих в продажу, 75% стандартных (остальные имеют скрытые дефекты). Какова вероятность того, что в партии из 192 телевизоров стандартных будет не менее 150? Нестандартных будет не более 45 ?

5. На предприятии 85% всей производимой продукции высшего качества. Найти наивероятнейшее число изделий высшего качества в партии из 150 изделий.

6. Вероятность выхода из строя одной радиолампы за время Т равна 0,2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 ламп выйдет из строя:

а) не менее 20 радиоламп;

б) не более 28 радиоламп;

в) от14 до 26 радиоламп.

7. Вероятность выхода из строя прибора во время контрольных испытаний равна 0,1. Испытано 225 приборов. Найти вероятность того, что доля вышедших из строя приборов отличается от 0,1 не более, чем на 0,01. б) Сколько надо взять приборов для испытания, чтобы с вероятностью 0,95 доля не вышедших из строя приборов отличалась от 0,9 не более, чем на 0,03 ?

8. Известно, что доля студентов, сдающих экзамен по математике на «4» и «5» в некотором университете, равна 50%. Найти вероятность того, что среди 100 случайно выбранных студентов доля сдавших экзамен на «4» и «5» будет отличаться от 0,5 не более, чем на 5%? Сколько надо взять студентов, чтобы с вероятностью 0,8 доля сдавших экзамен на «4» и «5» отличалась от 0,5 не более чем на 0,01?

9. Известно, что в ателье 70% выпускаемых пальто высшего сорта. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 210 пальто доля высшего сорта будет отличаться от 0,7 не более, чем на 0,02.

10.В вычислительной машине 1000 блоков. Вероятность отказа одного блока в течение суток 0,002. Найти вероятность того, что в течение суток у данной машины:

а) откажут 2 блока;

б) откажут более 2-х блоков;

в) ни один блок не откажет ?

И. На курсе 140 студентов, Какова вероятность того, что у 25 из них в этом году день рождения будет в воскресенье?

12. Сок перевозят по железной дороге в ящиках по 100 банок в каждом. Ящик принимается потребителем, если в нем не менее 99 банок целы. Какова вероятность, что партия из 10 ящиков будет вся принята, если известно, что в среднем 0,5% банок в дороге разбиваются?

13. На факультете 365 студентов. Какова вероятность того, что у двух из них день рождения 1-го января?

14. Вероятность неправильного соединения абонента на телефонной станции равна 0,005. Найти вероятность того, что из 500 соединений а) одно будет неправильное, б) не менее двух будет неправильных, в) все будут правильные.

15. Два станка-автомата производят одинаковую продукцию, причем производительность второго станка втрое больше производительности первого и первый станок производит в среднем 1% брака, а второй - 2%. Произведенная станком продукция поступает на общий конвейер. Найти вероятность того, что среди ста отобранных с конвейера изделий будет не более двух бракованных.

16. Вероятность того, что электролампа перегорит в течение суток равна 0,001. В общежитии 1000 электроламп. Найти вероятность того, что в течение суток перегорит

а) две лампы,

б) не менее одной,

в) ни одной лампы.

17. Вероятность обнаружения хотя бы одного бракованного изделия при независимой проверке четырех изделий равна 0,3439. Какова вероятность того, что при проверке партии из 100 изделий будет обнаружено:

а) 10 бракованных изделий;

б) не более 15 бракованных изделий ?