Пространство элементарных исходов w. операции над событиями и отношения между событиями

Б.Я.РЯБКО

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

ОСНОВАМ ТЕОРИИ МАССОВОГО

ОБСЛУЖИВАНИЯ

Рекомендовано УМО по образованию в области

телекоммуникаций в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по направлению подготовки бакалавров и магистров

554000 Телекоммуникации

Новосибирск 2010

УДК 519.21

Д.т.н. проф. Рябко Б.Я. Сборник задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания. 2010, с. 76.

Программы технических и экономических предметов, изучаемых в СибГУТИ, и научные исследования, проводимые на кафедрах, наложили определенный отпечаток на преподавание теории вероятностей, теории случайных процессов и теории массового обслуживания. Эти особенности нашли отражение в курсах, читаемых в СибГУТИ и привели к необходимости создания сборника задач, который соответствовал бы учебным программам.

Кафедра прикладной математики и кибернетики

Рисунков – 13, таблиц – 7.

Рецензенты: В.И.Дубинин, И.Л.Елисеенко

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве сборника задач по теории вероятностей и основам теории массового обслуживания.

ÓСибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики, 2010 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.. 4

1 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ W. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ.. 5

2 КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ, НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ЭЛЕМЕНТОВ В МНОЖЕСТВАХ КОМБИНАТОРНЫМИ МЕТОДАМИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.. 10

3 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ.. 14

4 ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА.. 17

5 СХЕМА БЕРНУЛЛИ.. 21

6 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ.. 23

7 ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ... 26

8 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 35

9 ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА (ДИСКРЕТНОЕ ВРЕМЯ) 44

10 МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ... 47

11 ВАЖНЕЙШИЕ ПРОЦЕССЫ, МОДЕЛИРУЮЩИЕ ПОТОКИ СОБЫТИЙ.. 52

12 ПРЕДЕЛЬНЫЙ РЕЖИМ ДЛЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ.. 54

13 ВАЖНЕЙШИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ, МОДЕЛИРУЕМЫЕ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ 59

ОТВЕТЫ... 64

ПРИЛОЖЕНИЕ.. 75

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория вероятностей и тесно связанные с ней математическая статистика и теория случайных процессов находят самое широкое применение в телекоммуникациях, информатике и экономике. Поэтому теория вероятностей изучается практически на всех факультетах СибГУТИ, хотя, естественно, читаемые разным специальностям курсы отличаются своим содержанием. Сборник задач охватывает темы, изучаемые во всех курсах теории вероятностей, читаемых в СибГУТИ и поэтому может использоваться на всех факультетах.

Данный сборник формировался автором в течение многих лет и базируется на ранее опубликованных изданиях:

1. Рябко Б.Я. Методические указания «Марковские процессы», НЭИС, 1988.

2. Рябко Б.Я., Суздальницкий И.Д. Методические указания и задачи к практическим занятиям по теории вероятностей. НЭИС, 1991.

3. Рябко Б.Я., Суздальницкий И.Д. Методические указания и задачи к практическим занятиям по теории вероятностей; Часть 2: Случайные процессы, НЭИС, 1994.

При этом из двух последних работ в данный сборник включены только разделы, написанные лично автором данного пособия.

В заключении я хотел бы выразить благодарность профессору И.Д. Суздальницкому, много лет назад инициировавшему написание данного сборника, и доценту О.А.Ахметову, потратившему много времени и сил на редактирование данного издания.

Рябко Б.Я.

ЗАДАЧИ

1. Монета подбрасывается два раза. Описать пространство элементарных исходов W и события: А – первый раз выпал герб, В – один раз выпал герб, С – выпал хотя бы один раз герб. Будут ли совместны А и В? В и С?

2. Студент выучил к экзамену первые 20 вопросов из 30. На экзамене задают два случайно выбранных вопроса. Надо записать события : А – студенту попались два выученных вопроса, В – студенту попался один выученный вопрос, С – попадается хотя бы один выученный вопрос. Выразите С через А и В. Указание: .

3. Игральная кость подбрасывается два раза. Надо выписать пространство элементарных исходов и события А={первый раз выпало четное число очков}, В – {произведение выпавших очков нечетно}, C –{сумма больше 10}, .

4. Монета подбрасывается до первого выпадения герба. Выписать пространство элементарных исходов и события А={герб выпал при втором подбрасывании}, В={потребовалось не более трех подбрасываний}, С={потребовалось четное число подбрасываний},

5. Образуют ли полную группу следующие группы событий:

а) Опыт – бросание монеты; события:

А₁ – появление герба,

А₂ – появление цифры.

б) Опыт – бросание двух монет; события:

В₁ – появление двух гербов,

В₂ – появление двух цифр.

в) Опыт – два выстрела по мишени, события:

С₁ – ни одного попадания,

С₂ – два попадания.

г) Опыт – два выстрела по мишени, события:

Д₁ – хотя бы одно попадание,

Д₂ – хотя бы один промах.

6. Для социологического исследования случайно выбирается одна семья с тремя детьми. Рассматриваются события : А={первый ребенок мальчик}, D={первый – мальчик, третий – девочка}, C={есть мальчик и девочка}. Надо выписать пространство элементарных исходов W и события А,В,С. Проверить, будут ли совместны А и В, и В. Описать словестно и в виде подмножеств W события .

7. В комнате общежития живут четыре студента. Они решили по жребию разыграть два билета в театр. Для этого они приготовили четыре листочка бумаги, два с буквой «Т», два с «Н» и поочередно случайно взяли по одной бумажке. Надо выписать пространство элементарных исходов и события А={билет достался первому и последнему студенту} B={билет достался студенту, который берет листочек третьим}, C={билеты достанутся двум последовательно берущим листочки студентам}. Найдите . Совместны ли А и В? А и С?.

8. Участок электрической цепи имеет вид, изображенный на рисунке. Разрыв цепи, событие А, может произойти вследствие выхода из строя элементов 1,2,3 (соответственно, событий А₁, А₂, А₃). Выразить событие А через А₁, А₂, А₃.

Рисунок 1

9. Обозначим через А_i события (i=1,2,3,4) быть исправным для соответствующего элемента электрической цепи. Выразить через А_i событие А, состоящее в том, что по цепи идет ток.

а)

б)

в)

г)

Рисунок 2

10. Проверяются три прибора. Пусть событие А заключается в том, что хотя бы один из проверяемых приборов бракованный, событие В – все приборы доброкачественные. Что означают события:

1. ?

11. Измеряются две величины. Ошибка измерения первой величины может принимать значения из промежутка [0;5], а второй из промежутка [0;10]. Рассматриваются следующие события: A={ошибка измерения первой величина не превышает 3}; В= {обе ошибки измерений превышают 2}; С= {разница ошибок измерений не превышает 1}. Изобразить графически W, А, В, С, .

12. На отрезке длины 6 наудачу взяты две точки. Рассматриваются следующие события: А={первая точка дальше середины отрезка}; В={обе точки расположены дальше середины отрезка}; С= {расстояние между точками не превышает 2}. Изобразить графически W, А, В, . Совместны ли А и В ?

13. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени Т=20 мин. Рассматриваются следующие события:

А={второй сигнал поступил до момента Т/2};

В={оба сигнала поступили после момента Т/4};

С={моменты прихода сигналов отличаются не более, чем на 5 мин.}.

Изобразить графически А, В, С, . Будут ли совместны А и В? и В? В и С?

14. На круглом экране радиолокатора радиуса 20 см имеется точечное изображение объекта, занимающее положение в пределах экрана. Рассматриваются следующие события:

А ={расстояние от центра до изображения не превышает 10 см};

В ={изображение удалено от центра не менее, чем на 5 см}

С ={расстояние от центра до изображения не меньше 5 см, но не больше 15 см}; Изобразите W, А, В, С, .

15. Проверяется возраст супругов. Предполагая, что возраст супругов может быть от 16 до 150 лет, описать пространство элементарных событий W и следующие события:

А - мужу больше 20 лет;

В - жене больше 20 лет;

С - муж старше жены;

Д - возраст супругов совпадает;

Е - возраст супругов отличается не более, чем на 2 года. Изобразить на плоскости пространство W и события А, В, С, Д, Е.

16. Что означают следующие события:

1. А + Æ

2. А + W

3. А + А

4. А ×Æ

5. А × W

6. А ×А

17. А, В, С - произвольные события. Найти выражения для следующих событий:

а) произошло только А,

б) произошли Аи В, ноне произошло С,

в) произошли все три события,

г) произошло по крайней мере одно из них,

д) произошло по крайней мере два события,

е) произошло одного и только одно событие,

ж) произошли два и только два события,

з) не произошло ни одного события,

и) произошло не более двух событий.

18. Среди студентов, собравшихся на лекцию, наугад выбирают одного. Пусть событие А состоит в том, что выбранный окажется юношей, событие В – выбранный не курит и событие С – выбранный проживает в общежитии.

1. Описать события: .

2. При каком условии будет иметь место равенство АВС= В?

3. Когда будут справедливо соотношение ?

19. Равны ли события А и В, если:

1.

2. А+С=В+С

3.

20. Производится наблюдение за четырьмя однородными объектами. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или нет. Рассматриваются события:

А - обнаружен ровно один объект из 4-х,

В -обнаружен хотя бы один объект,

С -обнаружено не менее двух объектов,

Д -обнаружены два объекта,

J - обнаружено равно три объекта,

F -обнаружены все четыре объекта.

Указать, в чем состоят события: а) А+В, б) А В, в) В+С,г) В×С, д) Д+F+E, е) B × F.

ЗАДАЧИ

1. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры. Помня лишь, что эти две цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

2. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

3. В урне находится 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что два наугад вынутых шара окажутся красными?

4. Какова вероятность выпадения герба по крайней мере один раз при двукратном бросании монеты?

5. В кошельке лежит 3 монеты достоинством 20 коп. и 7 монет достоинством 3 коп. Наугад берется одна монета, затем другая. Первая оказалась 20 коп. Определить вероятность того, что вторая тоже 20 коп.

6. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что герб выпадет два раза.

7. Вероятность соединения при вызове 0,8. Найти вероятность того, что соединение будет только при третьем вызове.

8. На шахматную доску ставятся две ладьи разного цвета. С какой вероятностью они будут «бить» друг друга.

9. Имеются карточки с буквами Б, Р, К, А. Найти вероятность того, что при случайном раскладывании карточек получится осмысленное слово, т.е. БРАК, КРАБ, БАРК.

10. Из урны, содержащей 10 белых и 5 черных шаров одновременно извлекаются три шара. Событие А состоит в том, что все шары белые, событие В - шары одного цвета. Проверить, совместны ли события А и В и найти их вероятность.

11. У четырех случайно выбранных студентов спрашивают день рождения. Событие А - у всех день рождения приходится на один день недели. Событие В - дни рождения в разные дни недели. Выяснить, совместны ли эти события и найти вероятности А и В.

12. Некто носит в кармане 3 трехкопеечные монеты и 4 монеты 20-ти копеечные. У киоска он достает три монеты из кармана. Найти вероятность того, что у него окажется не меньше 40 копеек.

13. В урне 20 белых, 20 черных и 20 красных шаров. Последовательно извлекают три шара. Событие А- все шары одного цвета, событие В - все разного цвета. Проверить совместны ли события А и В и найти их вероятность.

14. В лотерее 2000 билетов. На один билет выпадает выигрыш 100 руб., на 4 билета – выигрыш по 50 руб., на 10 билетов – выигрыш по 20 руб., на 20 билетов - выигрыш по 10 руб., на 165 билетов - выигрыш по 5 руб., на 400 билетов выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?

15. В комплекте из 10 резисторов 4 бракованных. Найти вероятность: а) взять бракованный резистор, б) взять исправный резистор,

в) того, что два наугад выбранных резистора окажутся исправными,

г) того, что из двух выбранных резисторов, один бракованный, один исправный.

16. Каждая из букв слова «интеграл» написана на одной из восьми карточек. Карточки перемешиваются. Какова вероятность того, что: а) при вытягивании трех карточек в порядке их выхода появится слово «три», б) из первых четырех можно составить слово «трал».

17. На десяти одинаковых карточках написаны все цифры от 0 до 9. Наудачу выбираются одна за другой две карточки. Определить вероятность того, что получится число, делящееся на 18. Какова вероятность того, что при выборе трех карточек в порядке выхода полученное число делится на 123?

18. Случайно выбранная кость домино не была дублем. Найти вероятность того, что вторую так же наудачу взятую кость можно приставить к первой.

19. Из 33 карточек с буквами русского алфавита наудачу выбирается пять. Какова вероятность того, что из них можно составить слово «буква»?

20. Из колоды, в которой 52 карты, наугад извлекают три. Какова вероятность того, что это будут тройка, семерка, туз ? (Порядок извлечения не учитывается).

21. Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, отличающихся буквами. Замок открывается только в случае, когда образована определенная буквенная комбинация из четырех букв. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию ?

22. Среди 16 деталей 4 нестандартных. Какова вероятность, что из четырех наугад взятых деталей две нестандартные ?

23. В партии 100 деталей, среди которых 30 нестандартных. Выбираются три детали. Какова вероятность того, что среди них одна нестандартная ?

24. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

25. В коробке пять одинаковых изделий, три из которых окрашены. Найти вероятность того, что среди 2 извлеченных окажутся: а) одно окрашенное; б) два окрашенных; в) хотя бы одно окрашенное.

26. В группе 15 студенток и 10 студентов. На дежурство в столовой по жребию отобрали 3 человека. Найти вероятность того, что там окажутся студенты разного пола.

27. Из ящика, содержащего шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5 поочередно извлекают три шара. Рассматриваются событие А, состоящее в том, что их номера образуют число, меньшее 300, и событие В - номера образуют число, кратное 5. Проверить, совместные ли события А и В. Найти их вероятность.

28. Двум близнецам купили две пары одинаковых спортивных туфель. Собираясь на тренировку каждый из них взял не глядя две туфли. Найти вероятность того, что у каждого окажется пара туфель, т.е. одна правая и одна левая.

29. Рассматриваются три последние цифры случайно выбранного телефонного номера. Событие А - первая цифра больше четырех, события В - все цифры нечетные, событие С - сумма всех цифр меньше двух. Проверить, совместны ли события А и В и события А и С. Найти вероятность событий А, В, С.

30. Из колоды в 36 карт случайно извлекли четыре. Найти вероятность того, что среди них не меньше трех тузов.

31. В шахматном турнире участвует 10 человек, которые будут распределены по жребию для игры в двух группах по 5 человек. Какова вероятность того, что четыре наиболее сильных игрока попадут в разные группы (по два в каждую) ?

32. Телефонная линия, соединяющая два пункта, отстоящих друг от друга на расстоянии 2 км, порвалась в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что линия порвалась не далее, чем на 450 м. от первого пункта ?

33. Два лица договорились о встрече в условленном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет товарища 20 мин, а затем уходит. Какова вероятность того, что встреча произойдет, если приход каждого из них в течение указанного часа произволен и моменты прихода независимы?

34. Корабль длиной 200 м, шириной 20 м имеет четыре круглые башни диаметром 4,3 м каждая. Форма палубы корабля эллиптическая. Найти вероятность поражения хотя бы одной из башен авиабомбой, попавшей в корабль, если попадание в любую точку корабля равновозможно. Высота башен не учитывается.

35. Сигнал воздушного оповещения от радиолокационного поста может появиться с одинаковой вероятностью в любой момент времени между t₁ и t₂ Найти вероятность того, что он появится в интервале (t₁, t₂), полагая t₁<t₁<t₂<t₂ Сигнал считать точечным.

36. В некоторый круг вписан квадрат. Зная, что попадание точки в круг достоверно, найти вероятность попадания точки в квадрат.

З7. Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных

правильных дробей не больше единицы, а их произведение не больше ?

38. На экране локатора квадратной формы появились два объекта. Найти вероятность того, что расстояние между ними превышает 1 см (в этом случае столкновение невозможно). Каждая сторона экрана равна 20 см.

ЗАДАЧИ

1. Монету подбросили три раза. Событие А - первый раз выпал герб. Событие В - число выпавших гербов больше числа выпавших цифр. Найти вероятность этих событий и проверить независимы ли они.

2. В группе 20 студентов, из них 15 человек получают стипендию. На дежурство по жребию отобрали двух студентов. Событие А - оба получают стипендию, В - первый из отобранных получает стипендию. Определить, зависимы ли события А и В и найти их вероятности.

3. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Вытаскивают 3 шара случайно и без возвращения. Какова вероятность того, что они все одного цвета ? Какова вероятность того, что первый шар белый ? Зависимы ли события ?

4. События А и В несовместны, Р(А)¹0, Р(В)¹0. Зависимы ли данные
события ?

5. Студент знает 10 из 30 вопросов программы. Используя теорему умножения вероятностей, определить вероятность того; что из трех предложенных ему экзаменатором вопросов студент знает а) все три вопроса; б) хотя бы один вопрос.

6. На одиннадцати карточках написано слово «производная». По одной выбирают четыре карточки. Какова вероятность того, что в порядке выхода можно прочитать слово «овод» ?

7. В коробке 9 новых теннисных мячей. Для игры берут три новых мяча. После игры их возвращают обратно. При выборе мячей новые от бывших в игре не отличаются. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется новых мячей?

8. В новогодней лотерее 20 билетов, из которых 10 выигрышных. Студент купил два билета какова вероятность того, что оба выиграют? Хотя бы один выиграет?

9. Два пеленгатора с целью обнаружить радиостанцию осуществляют независимо одновременную разведку сигналов этой станции с различных направлений на установленной ранее частоте. Определить вероятность удачного исхода разведки одновременно с двух направлений, если вероятность определения пеленга с одного направления равна 0,6 и с другого 0,7 ?

10. Вероятность того, что в электроцепи напряжение превысит номинальное значение равна 0,9. При повышенном напряжении вероятность отказа прибора равна 0,8. Определить вероятность отказа вследствие повышения напряжения.

11. При браковке деталей обнаружено, что первый дефект присутствует в среднем в двух деталях из каждых 25. В случае его отсутствия, второй присутствует в трех деталях из каждых 50. Какова вероятность взять бракованную деталь?

12. Вероятность занятости первой линии связи 0,3 , второй - 0,6 , третьей - 0,2. Какова вероятность того, что все три линии свободны?

13. На заводе три цеха. Вероятность того, что первый цех выполнит месячный план - 0,9 , второй - 0,8 , третий - 0,95. Завод выполнит план, если план выполнят хотя бы два цеха. Какова вероятность того, что завод выполнит план?

14. Два стрелка стреляют по мишеням по одному разу. Вероятность того, что попадет первый стрелок - 0,9 , второй - 0,6. Второй стрелок получает приз, если его результат не хуже, чем у первого. Какова вероятность того, что он получит приз ?

15. В цехе имеются два станка, вероятность занятости каждого из них равна 0,7. Какова вероятность, что один занят, а другой нет?

16. В блоке, содержащем 24 лампы, отказала одна лампа. Неисправность отыскивается путем поочередной проверки. Найти вероятность того, что неисправность будет устранена не более, чем при первых трех попытках.

17. Электрическая цепь между точками А и В составлена по схеме, изображенной на рисунке. Различные элементы цепи выходят из строя независимо один от другого. Вероятности выхода элементов из строя за время Т следующие:

Элемент K₁ K₂ Л₁ Л₂

Вероятность 0,1 0,2 0,4 0,5

Определить вероятность прерывания питания за указанный промежуток времени.

Рисунок 3

18. Доказать, что если Р(А) + Р(В) > 1, то А и В совместны.

19. Доказать, что если Р(А/В)>Р(А), то и Р(В/А) > Р(В).

20. Доказать, что если А и В независимы, то и , В, и , независимы.

21. Доказать, что если Р(А+В)=1–Р( ) ×Р( ), то события А и В независимы.

22. В коробке 6 ламп, из которых 4 бракованных. Некто наугад берет лампочку, ввинчивает в патрон и включает ток. Если лампа горит, то испытания прекращаются. Если лампа не горит, то она выбрасывается и испытывается следующая и т.д. Какова вероятность того, что будет проведено не более трех испытаний ?

23. В партии из 10 изделий содержится 5 бракованных. Для проверки контролер берет наугад одно изделие из партии и проверяет его качество. Если изделие оказывается бракованным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если изделие окажется стандартным, то контролер берет следующее изделие и т.д. Какова вероятность того, что будет проверено не более трех изделий.

24. Двое игроков бросают монету два раза каждый. Какова вероятность того, что у обоих игроков выпадет одинаковое число гербов ?

25. Производится стрельба по некоторой цели, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна 0,6 . Стрельба прекращается при первом попадании в цель. Найти вероятность того, что будет произведено не более четырех выстрелов.

26. Вероятность того, что разговор можно вести по каждому из трех каналов связи, соответственно равна 0,8 ; 0,7 ; 0,8 . Какова вероятность того, что разговор состоится ?

27. В комплекте имеется 12 телефонных аппаратов, среди которых 3 бракованных. Какова вероятность, что среди двух взятых аппаратов хотя бы один небракованный?

28. Вероятность соединения при телефонном вызове . Какова вероятность, что соединение произойдет только при третьем вызове?

29. Вероятность появления поломок на каждой из трех соединительных линий равна 0,2 . Какова вероятность, что хотя бы одна линия исправна ?

30. На предприятии три телефона. Вероятности занятости их соответственно равны 0,6 ; 0,4 ; 0,5 . Какова вероятность, что хотя бы один из них свободен ?

31. Два пеленгатора независимо друг от друга пеленгуют объект. Первый имеет вероятность успеха 0,3 , второй - 0,4 . Какова вероятность, что объект будет запеленгован ?

32. По радиолинии передается сигнал в виде последовательности пяти импульсов. Вероятность искажения каждого импульса равна 0,1. Искажения отдельных импульсов независимы. Найти вероятность того, что передаваемый сигнал будет искажен.

33. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый делает по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что приз будет получен.

34. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах равна 0,936. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

4 ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА

Пусть даны события образующие полную группу попарно несовместимых событий, и некоторое событие А. Его вероятность может быть найдена по формуле полной вероятности

(4.1)

При выполнении этих же условий для любого справедлива формула Байеса

(4.2)

События часто называют гипотезами. Формула Байеса позволяет найти апостериорную, (послеопытную) вероятность гипотезы, если наступление события А считать результатом опыта. Вероятности называются априорными (доопытными).

ЗАДАЧИ

1. Кинескопы для цветных телевизоров производят три завода. Годовой выпуск кинескопов на П и III заводах одинаков, а первый завод производит на 50% меньше продукции, чем второй. В течение гарантийного срока не выходит из строя в среднем 50%, 60% и 70% кинескопов соответственно I, П, III заводов. Найти вероятность того, что кинескоп наугад приобретенного телевизора выйдет из строя до конца гарантийного срока.

2. Имеется три партии деталей, причем в первой - 2% брака, во второй -3% брака, в третьей - 4% брака. Какова вероятность взять бракованную деталь, если из выбранной наугад партии берется одна деталь ?

3. На трех автоматических линиях изготавливаются одинаковые детали. Первая линии дает 20%, вторая 40% всей продукции. Вероятность получения бракованной продукции на каждой линии соответственно равны 2%, 3% и 5%. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется небракованной.

4. Известно, что 90% выпускаемой заводом продукции отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной 95% стандартной и 2% нестандартной продукции. Определить вероятность того, что наудачу взятое изделие будет признано пригодным.

5. Имеются две партии одинаковых изделий по 10 и 15 штук. В первой партии 5 бракованных изделий, а во второй – 6. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего из второй партии выбираются два изделия. Определить вероятность извлечения бракованных изделий из второй партии.

6. В трех аудиториях три группы абитуриентов. В 1-й – 39 человек, во 2-й –56, в 3-й – 46, причем в первой 4 медалиста, во второй – 3, в последней – 9. Экзаменатору по жребию досталась одна из аудиторий. Какова вероятность того, что случайно выбранный им абитуриент окажется медалистом ?

7. В ящике 10 новых теннисных мячей и 5 старых. Для первой игры берут случайно выбранный мяч, после игры возвращают. Для второй игры берут два мяча. Какова вероятность того, что они новые (не бывшие в употреблении)?

8. В университете среди выпускников 6 студентов получают именные стипендии, 120 студентов –«обычные» стипендии и 320 студентов стипендии не получают. Известно, что среди имеющих именные стипендии диплом с отличием получают 90%, среди имеющих «обычные» стипендии – 60%, среди остальных – 45%. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент получит диплом с отличием?

9. На одной из позиций импульсного кода с равными вероятностями передаются «единица» (импульс) и «ноль» (отсутствие импульса). Определить полную вероятность искажения помехами этой позиции, если вероятность преобразования «единицы» в «ноль» помехой равна 0,04 , а вероятность преобразования «ноля» в «единицу» равна 0,2.

10. Имеется два ящика с изделиями: в первом ящике 4 бракованных и 2 стандартных, во втором ящике 6 бракованных и 4 стандартных. Из первого ящика во второй наугад перекладывают два изделия, а затем из второго извлекают два изделия. Найти вероятность того, что оба извлеченных изделия будут стандартными.

11. В первом ящике содержится 5 изделий, из них 3 стандартных; во втором ящике 20 изделий, из них 15 стандартных. Из каждого ящика наугад извлекают по одному изделию, а затем из этих двух изделий взяли одно. Найти вероятность того, что взяли стандартное изделие.

12. В ящике находится 10 теннисных мячей, из которых 5 новых. Для каждой игры наугад берут два мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

13. В урну, содержащую 3 шара, опущен белый шар. Какова вероятность извлечения одновременно из этой урны двух белых шаров, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в урне равновероятны?

14. Вероятности подключения абонента к каждой из трех АТС соответственно равны . Вероятность соединения с абонентом подключения к первой АТС – , ко второй – , к третьей – ;

а) Какова вероятность соединения?

б) Соединение произошло. Какова вероятность, что соединение произошло через вторую АТС?

15. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями Р₁= Р₃= 0,25, Р₂= 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий равны соответственно 0,1 ; 0,2 ; 0,4.

а) Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов;

б) Какова вероятность, что лампа принадлежит первой партии, если известно, что она проработала заданное количество часов?

16. Первая АТС работает 10 часов в сутки, вторая - 14. Вероятность соединения в случае работы первой АТС – 0,8 , в случае работы второй – 0,6 . Какова вероятность соединения ?

17. В урне 10 белых и 20 черных шаров. Подбрасывают игральную кость и добавляют в урну столько белых шаров, сколько выпало очков. Затем шары перемешивают и извлекают один. Он оказался белый. Какова вероятность того, что на игральной кости выпало 3 очка?

18. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания первого стрелка в цель 0,8 , второго - 0,4 . После стрельбы в мишени была обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит первому стрелку ?

19. По цифровому каналу передаются символы «О» и «I», причем доля передаваемых нулей вдвое больше, чем единиц. Вероятность искажения символа «О» равна 0,06 , вероятность искажения «I» – 0,09. Найти вероятность искажения символа при передаче по этому каналу.

20. Прибор состоит из двух блоков, причем для функционирования прибора необходима исправная работа обоих блоков. Вероятность исправной работы первого блока в течение суток 0,8, второго - 0.7 . После испытаний прибора в течение суток было обнаружено, что прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что первый узел исправен.

21. Изготовленные приборы сначала проверяет контролер в цехе, затем ОТК. Вероятность обнаружения неисправности контролером 0,8 , в ОТК-0,95. Известно, что прибор бракованный. Какова вероятность того, что неисправность обнаружит ОТК? Неисправность обнаружена. Какова вероятность, что ее обнаружил контролер?

22. Линия связи предназначена для передачи символов «О» и «I». При передаче символ с вероятностью 0,2 искажается (заменяется на противоположный). Для повышения надежности связи каждый из поступающих символов передается три раза («О» соответствует 000, «I» -III). Вместо переданной последовательности была принята 010. Какова вероятность, что был передан сигнал «О»?

23. В группе из 9 стрелков 5 отличных, 2 хороших, 2 удовлетворительных. Вероятность попадания в цель отличным стрелком равна 0,9 , хорошим – 0,7, удовлетворительным – 0,6. Наугад вызывается стрелок. Определить вероятность того, что вызванный стрелок попадет в цель.

24. В цехе работает 20 станков: 10 марки «I», 6 марки «П» и 4 марки «Ш» Вероятность произвести деталь отличного качества на станках марки «I» равна 0,9, «II» –0,8 и «III» – 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех? Произвольно взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность, что она выполнена на станке марки «Ш»?

25. Радиолампы производятся на двух заводах. Первый поставляет 70%, второй -30% всей продукции. Из 100 ламп первого завода в среднем 80 стандартных, а из 100 ламп второго завода в среднем 60 стандартных. Какова вероятность, что произвольно взятая лампа будет стандартной? Произвольно взятая лампа оказалась стандартной. Какова вероятность, что она сделана на втором заводе?

26. Брак продукции завода вследствие первого дефекта составляет 8%. Причем среди бракованной продукции второй дефект составляет 4%, а в свободной от первого дефекта продукции второй дефект встречается в 2% случаев. Каков процент второго дефекта во всей продукции?

27. Имеется два комплекта одинаковых изделий по 12 и 10 штук. В каждом комплекте одно изделие бракованное. Наудачу взятое изделие из первого комплекта переложено во второй. После этого из второго комплекта наудачу вынимают изделие. Определить вероятность того, что оно бракованное.

5 СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Пусть проводятся независимых испытаний, в каждом из которых может быть два исхода, условно называемых «успех» и «неудача». Вероятность наступления «успеха» в каждом испытании одинакова и обозначается р, вероятность наступления «неудачи» q =1 – р. Вероятность наступления k (0 < k <n) успехов при n испытаниях обозначается через . Справедлива формула Бернулли

, (5.1)

где число сочетаний из n no k:

При изменении k от 0 до n величина принимает максимальное значение при некотором k = m. Величина m может быть найдена из неравенства

(Если выполняются оба неравенства для двух целых m₁ и m₂, то ).

Обозначим через вероятность того, что число «успехов» k при n испытаниях не меньше k₁ и не больше k₂ , т.е. Тогда из (5.1) следует

(5.2)

Для вероятности хотя бы одного «успеха» можно использовать более простую формул