Анализ электрической цепи: обозначение ветвей, узлов, дерево графа и выбор независимых контуров

Преобразуем идеализированный источник тока в идеализированный источник электродвижущей силы (ЭДС):

Þ

Отсюда, E₂ = JR₂ = 0,5 ∙ 12 = 6 (В)

Выполним эквивалентное преобразование§ параллельного соединения сопротивлений R₄ и R₅

Þ

Отсюда, схема электрической цепи выглядит так :

Рассматриваемая схема содержит :

· число узлов (У): 3 узла (a, b, c);

· число ветвей (В) 5 ветвей (a, R₀ , c; a, R₃,E₃ , b; a, R_{4 5} , b; b, R₁ , E₁ , c;

a, R₂ , E₂ , c);

· число независимых контуров: N_k= В – (У – l ) = 5 – ( 3 – l ) = 3.

Определим независимых контуров§. Для этого вынесем узлы схемы и соединим их ветвями так, что бы не образовывалось контуров. Построим дерево графа:

Выберем в качестве ветвей дерева ветви 1 и 4, 5.

Ветви 0, 3 и 2 являются контурообразующими.

Количество независимых контуров – 3.

Расчет параметров цепи методом законов Кирхгофа

Составим систему уравнений согласно законам Кирхгофа:

согласно первому закону Кирхгофа для узлов§:

a: I₂ – I_{4 5} – I₃ + I₀ = 0 ;

b: I_4.5 + I₃ – I₁ = 0

согласно второму закону Кирхгофа для контуро⧧:

I: I₃ R₃ – I₄₅ R_4.5 = E₃

II: – I₀ R₀ – I₁ R₁ – I₃ R₃ = – E₁ – E₃

III: I₄₅ R_4.5 + I₁ R₁ + I₂ R₂ = E₁ + E₂

Для определения значений токов воспользуемся матричным методом решения системы линейных независимых уравнений: . Запишем матрицу коэффициентов при неизвестных токах:

	I0	I1	I2	I3	I4	B
а				–1	–1
b		–1
I				R3	–R4.5	E3
II	–R0	–R1		–R3		–E1 – E3
III		R1	R2		R4.5	E1 + E2

Решая систему уравнений относительно искомого тока, находим:

I₀ = ∆₀/∆ = 1,21 (А);

I₁ = ∆₁/∆ = 2,51 (А);

I₂ = ∆₂ /∆= 1,31 (А);

I₃ = ∆₃/∆ = 1,71 (А);

I₄₅ = ∆₄₅/∆ = 0,81 (А).

Для оценки правильности решения воспользуемся методом баланса мощностей (удобнее сразу проверить правильность полученного решения):

∑Р_ист = E₃ I₃ + E₁ I₁ + E₂ I₂ = 199,619 (Вт)

∑Р_потр = I₀² R₀ + I₁² R₁ + I₂² R₂ + I₃² R₃ + I₄² R_4.5 = 199,619 (Вт)

Сравним суммы мощностей источников и потребления.

Абсолютная погрешность составляет:

∑Р_потр – ∑Р_ист = 0 (Вт)

Расчет параметров цепи методом контурных токов

Для независимых контуров зададим условно положительные направления контурных токов.

Составим систему уравнения для независимых контуров:

для контура I: I₁₁ (R₃ + R_4.5) – I₂₂ R₃ – I₃₃ R_4.5 = Е₃

для контура II: I₂₂ (R₀ + R₁ + R₃) – I₁₁ R₃ – I₃₃ R₁ = – Е₁ – Е₃

для контура III: I₃₃ (R₁+ R₂+ R_4.5) – I₁₁ R_4.5 – I₂₂ R₁ = Е₁ + Е₃

Запишем матрицу коэффициентов:

	I11	I22	I33	Еk
	(R3+ R4.5)	–R3	–R4.5	Е3
	–R3	(R0+ R1+ R3)	–R1	–Е1 – Е3
	–R4.5	–R1	(R1+ R2+ R4.5)	Е1 + Е2

Решая систему уравнений относительно искомого тока, находим:

I₁₁ = 0,50 (А); I₂₂ = – 1,21 (А); I₃₃ = 1,31 (А).

По значениям контурных токов определяются токи ветвей:

I₀ = – I₂₂ = 1,21 (А); I₁ = I₃₃ – I₂₂ = 2,51 (А); I₂ = I₃₃ = 1,31 (А);

I₃ = I₁₁ – I₂₂ = 1,71 (А); I₄₅ = I₃₃ – I₁₁ = 0,81 (А).

Расчет параметров цепи методом узловых потенциалов

При составлении уравнений согласно методу узловых потенциалов потенциал одного из узлов принимается равным нулю.

Примем φ_a = 0. Запишем уравнения для оставшихся узлов:

- для узла b: ;

- для узла с: .

Запишем матрицу коэффициентов:

	jb	jc	Ik

Решая систему уравнений, относительно искомого тока, находим:

φ_a = 0 ,0 (В) ;

φ_b = −10,1 (В) ;

φ_c = 9,67 (В).

По вычисленным значениям узловых потенциалов определяются токи ветвей:

;

;

;

;

.