Переменные, функции и операторы
Основные инструменты математики – это операции с переменными и функциями. В MathCAD переменные, операторы и функции реализованы в интуитивной форме, т.е. выражения в редакторе вводятся и вычисляются так, как они были бы написаны на листе бумаги. Порядок вычислений в документе MathCAD также очевиден: математические выражения и действия воспринимаются процессором слева направо и сверху вниз.
Переменные
Перед использованием переменных в выражении они должны быть определены. Чтобы определить переменную, достаточно ввести ее имя и присвоить ей некоторое значение. Для этого служит оператор присваивания, который можно ввести с помощью клавиши Двоеточие или с помощью кнопки Definition (Присваивание) на палитрах Calculator (Арифметика) или Evaluation (Вычисления).
Задание 5. Вычислить значение выражения, содержащего переменные:
.
Порядок выполнения задания:
1. Введите текстовую область Задание 5.
2. Установите маркер ввода правее и ниже текстовой области и, с помощью клавиатуры, введите следующую последовательность символов: t:2.5. На экране вы увидите результат выполнения операции присваивания t:=2.5.
3. Установите маркер ввода правее и ниже оператора присваивания и присвойте переменной g значение 9.81.
4. Установите маркер ввода правее и ниже второго оператора присваивания и нажмите следующую последовательность клавиш:
g * t ^ 2 Пробел / 2 Пробел Пробел =
5. Щелкните левой кнопкой по свободному месту документа и на экране вы увидите результат:
6. Сохраняете изменения в документе Арифметика.
Задание 6. Самостоятельно вычислите значение выражения
при
Ввести новое значение переменной можно как в виде числа, так и в виде математического выражения, содержащего другие переменные и функции. Например:
Функции
Функции в MathCAD записываются в обычной для математики форме f(x,y,…). Используемые в системе функции можно разделить на два вида: встроенные функции и функции, определенные пользователем. Применение функций обоих типов в расчетах совершенно одинаково с тем исключением, что любую встроенную функцию можно сразу использовать в любом месте документа, а пользовательскую функцию необходимо предварительно определить в документе до момента вычисления ее значения.
Ввод встроенных функций удобно осуществлять с помощью диалогового окна Insert Function (Вставить функцию), которое можно вызвать одноименной командой на панели инструментов Стандартные.
Рис. 2. Диалоговое окно для выбора стандартных функций
Перечень стандартных функций приведен в приложении 1.
Пользовательские функции могут содержать любое количество переменных, операторов и функций.
Задание 7. Определите функцию пользователя, выполнив следующие операции:
1. Введите текстовую область Задание 7.
2. Введите имя функции: f(x,y) и оператор присваивания.
3. Введите в появившийся местозаполнитель выражение, определяющее пользовательскую функцию, например: x2·cos(x+y).
4. На экране появится запись:
Все переменные, присутствующие справа в выражении определения функции, либо должны входить в список аргументов функции (в скобках, слева после имени функции), либо должны быть определены ранее. В противном случае будет выведено сообщение об ошибке, причем имя неопределенной переменной будет выделено красным цветом.
Рис. 3. Сообщение об ошибке: Эта переменная или функция ранее не определена
Перечень возможных ошибок и их расшифровка приведены в приложении 2.
Если значение переменных, входящих в функцию определены, то значение этой функции может быть рассчитано с помощью вычислительного процессора MathCAD. Запуск вычислительного процессора осуществляется установкой символа Равно после имени функции. Например:
Вывод значений переменных и функций может быть осуществлен самыми различными способами, например:
или
Вводя знак равенства для вычисления математических выражений, вы применяете оператор вычисления, или численного вывода (numerical evaluation). Наряду с численным выводом, в MathCAD имеется возможность символьного, или аналитического, вычисления значения выражения. Для символьных вычислений имеется ряд специальных средств. Самое простое из них – это оператор символьного вывода (symbolic evaluation). Он обозначается символом g и в большинстве случаев применяется так же, как оператор численного вывода, однако внутренне различие между действием этих двух операторов огромно. Если численный вывод – это в обычном смысле этого слова «запрограммированный» расчет по формулам и численным методам, то символьный вывод – результат работы системы искусственного интеллекта, встроенной в MathCAD и называемой символьным процессором. Работа символьного процессора заключается в анализе самого текста математических выражений. Конечно, гораздо более узкий круг формул можно рассчитать символьно, хотя бы потому, что только небольшая часть математических задач допускает аналитическое решение.
Задание 8. Вычислите символьно следующее выражение B·sin(arcsin(C·x)), где B,C,x –некоторые переменные.
Порядок выполнения задания:
1. Введите текстовую область Задание 8.
2. Введите выражение
Для ввода arcsin(C·x) используйте встроенные функции диалогового окна Insert Function (Вставить функцию).
3. Выделите все выражение синей рамкой и вставьте оператор символьного вывода g Symbolic Evaluation (Символьный знак равенства), используя палитру Symbolic (Символы).
4. Нажмите клавишу Enter и вы получите выражение:
5. Сохраните изменения в текущем документе.
Операторы
Каждый оператор в MathCAD обозначает некоторое математическое действие в виде символа. В полном соответствии с терминологией, принятой в математике, ряд действий (например, сложение, деление, транспонирование матрицы и т.д.) реализован в MathCAD в виде встроенных операторов, а другие действия (например, sin, erf и т.п.) – в виде встроенных функций. Каждый оператор действует на одно или два числа (переменную или функцию), которые называются операндами. Операнды вводятся в соответствующие местозаполнители. Кнопки вызова операторов располагаются на панели инструментов Math (Математика) и вызываемых ее палитрах.
Арифметические операторы. Операторы, обеспечивающие основные арифметические действия, вводятся с палитры Calculator (Арифметика). Использование этих операторов никаких трудностей у пользователя не вызывает.
Вычислительные операторы. Вычислительные операторы вводятся в документ с помощью палитры Calculus (Матанализ). После ввода какого-либо вычислительного оператора имеется возможность вычислить его значение либо численно, нажав клавишу Равно, либо символьно, с помощью оператора символьного вывода.
Задание 9. Откройте новый документ и самостоятельно проделайте следующие операции:
1. Вычислите производные:
2. Вычислить определенный и неопределенный интеграл:
3. Вычислить суммы и произведения:
4. Вычислить пределы:
Сохраните документ в своей папке под именем Операторы.
Логические операторы. Результатом действия логических, или булевых, операторов являются только числа 0 (ложно) или 1 (истинно). Для ввода логических операторов используется палитра Boolean (Булево).
Задание 10. Самостоятельно выполните следующие логические операции.
1. Операции сравнения:
Обратите внимание на то, что в выражениях первый знак равенства означает Equal to (Булево равенство) и обозначается жирными штрихами, а второй знак равенства означает обычную операцию численного вычисления.
2. Булевы операторы:
Или (Or) И (And) Исключающее Или Отрицание (Not)
(Exclusive Or)
Сохраните изменения в текущем документе.
Остальные операторы, входящие в палитры, будут рассмотрены ниже.
Данные в MathCAD
Типы данных
Процессорами системы MathCAD обрабатываются следующие основные типы данных:
- числа (в том числе, действительные, комплексные, а также встроенные константы) – MathCAD хранит все числа в формате двойной точности с плавающей точкой (не разделяя их на целые, булевы и т.п.);
- строки – любой текст, заключенный в кавычки;
- массивы (в том числе, ранжированные переменные, векторы и матрицы) – упорядоченные последовательности чисел или строк.
Действительные числа. Любое выражение, начинающееся с цифры, MathCAD интерпретирует как число. Несмотря на то, что MathCAD хранит все числа в одинаковом формате, вводить их можно в наиболее подходящем представлении, исходя из контекста документа:
- как целое число;
- как десятичное число с любым количеством десятичных цифр после точки;
- в представлении с порядком – в так называемом научном формате;
- как числа в других системах счисления.
Задание 11. Введите следующие действительные числа:
Комплексные числа. Большинство операций в среде MathCAD по умолчанию осуществляется над комплексными числами. Комплексное число является суммой действительного и мнимого числа, получающегося путем умножения любого действительного числа на мнимую единицу i. По определению, или .
Задание 12. Введите следующие комплексные переменные и выведите их значение:
Встроенные константы. Некоторые имена в MathCAD зарезервированы под системные переменные, которые называются встроенными константами. Встроенные константы делятся на два типа: математические, хранящие значения некоторых общеупотребляемых специальных математических символов, и системные, определяющие работу большинства численных алгоритмов, реализованных в MathCAD.
Математические константы (math constants):
- ∞ - символ бесконечности;
- e – основание натурального логарифма;
- π - число «пи»;
- i,j – мнимая единица;
- % символ процента, эквивалентный 0,01.
Математические константы по-разному интерпретируются при численных и символьных вычислениях. Вычислительный процессор просто воспринимает их как некоторые числа, а символьный распознает каждую их них, исходя из математического контекста в качестве результата.
Например:
Системные переменные (system variables):
- TOL – точность численных методов;
- CTOL – точность выполнения выражений, используемая в некоторых численных методах;
- ORIGIN – номер начального индекса в массивах;
- PRNPRECISION – установка формата данных при выводе в файл;
- PRNCOLWIDTH – установка формата столбца при выводе в файл;
- CWD – строковое представление пути к текущей рабочей папке.
Значения системных переменных, назначенные по умолчанию:
Их можно поменять в любой части документа, присвоив соответствующей переменной новое значение. Кроме того, предопределение значения переменной для всего документа производится при помощи вкладки Built-In Variables (Переменные) диалогового окна Math Options (Параметры), которое открывается командой Math, Options (Математика, Параметры) (рис. 4).
Рис. 4. Диалоговое окно для установки системных переменных
Чтобы в любой момент вернуть значения по умолчанию нажмите кнопку Restore Defaults (Восстановить по умолчанию).
Строковые выражения. Значением переменной или функции может быть не только число, но и строка, состоящая из любой последовательности символов, заключенных в кавычки. Например:
Размерные переменные
В MathCAD числовые переменные и функции могут обладать размерностью. Сделано это для упрощения инженерных и физических расчетов. В систему встроено большое количество единиц измерения, с помощью которых и создаются размерные переменные.
Задание 13. Создайте размерную переменную, определяющую силу тока в 10 ампер, выполнив следующие команды:
1. Присвойте переменной I значение10.
2. Сразу после ввода 10 введите символ умножения.
3. Откройте диалоговое окно Insert Unit (Вставить Единицы) с помощью команды Insert, Unit (Вставка, Единицы измерения).
4. В списке Unit (Единицы) выберите нужную единицу измерения Ampere (A) и нажмите кнопку ОК.
Работая с размерными переменными, приготовьтесь к тому, что MathCAD будет постоянно контролировать корректность расчетов. Например, нельзя складывать переменные разной размерности, в противном случае будет получено сообщение об ошибке. Над размерными переменными можно производить любые корректные с физической точки зрения расчеты. Например:
Результат выведен не в Омах. Можно поменять единицу измерения с помощью диалогового окна Вставить Единицы или включить автоматический перевод единиц измерения в более простые единицы. Для этого в диалоговом окне Формат Результата (Result Format), открывающемся командой Формат, Результат, на вкладке, посвященной размерностям (Отображение модулей, Unit Display) установить флажок Упрощать модули когда возможно (Simplify units when possible).
Массивы
Массивами (arrays) называют упорядоченные последовательности чисел, или элементов массива. Доступ к любому элементу массива возможен по индексу, т. е. номеру. Например:
В MathCAD условно выделяют два типа массивов:
1. Векторы (одноиндексные массивы), матрицы (двухиндексные массивы) и тензоры (многоиндексные).
2. ранжированные переменные (range variables) – векторы, элементы которых определенным образом зависят от их индекса.
Двухмерный массив (матрица) имеет следующий вид:
Создание массивов
Существует несколько способов создания массива:
- ввод всех элементов вручную с помощью диалогового окна Insert Matrix (Вставить матрицу);
- определение отдельных элементов массива;
- создание таблицы данных и ввод в нее чисел;
- применения встроенных функций создания массива;
- создание связей с другим приложением, например, Excel или MATLAB;
- чтение из внешнего файла данных;
- импорт их внешнего файла данных.
Самый простой и наглядный способ создания вектора или матрицы - использование диалогового окна:
1. Откройте новый документ.
2. Нажмите кнопку Matrix or Vector (Создать матрицу или вектор) на палитре Matrix (Матрица), либо выберите команду меню Insert, Matrix (Вставка, Матрица), либо набор клавиш Ctrl и M.
3. В диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы) укажите число строк и столбцов, например, 3х1.
4. Нажмите кнопку ОК или Insert (Вставка) – в результате в документ будет введена заготовка матрицы с определенным числом строк и столбцов.
5. Введите любые значения в местозаполнители элементов матрицы.
В местозаполнители элементов матрицы можно вставлять не только числа (действительные или комплексные), но и любые математические выражения, состоящие из переменных, операторов, встроенных и пользовательских функций.
Задание 14. Реализуйте следующий пример:
Определение отдельных элементов – удобный способ создания тензоров (многоиндексных массивов). Можно создать тензор путем определения вложенного массива. Для этого необходимо присвоить каждому элементу массива значение в виде другого вектора ими матрицы.
Задание 15. Создайте тензор, выполнив следующие операции:
1. Определите элементы тензора как векторы:
2. Выведите полученную матрицу командой
3. выведите элементы тензора:
4. Обратите внимание на то, что система по умолчанию не отображает трехмерную структуру тензора, а вместо этого показывает информацию о размерах каждого элемента матрицы s. Развернуть вложенные массивы можно с помощью вкладки Display Options (Параметры экрана) диалогового окна Формат результата, открываемого командой Format, Result (Формат, Результат). На вкладке нужно выставить флажок Expand Nested Arrays (Развернуть вложенные массивы). Тензор будет выглядеть так:
5. Сохраните документ под именем Массивы.
В документе MathCAD могут присутствовать разнообразные объекты, созданные в других приложениях, например, Microsoft Excel.
Задание 16. Создайте матрицу с помощью таблицы ввода, выполнив следующие операции:
1. Выберите место на документе для размещения нового фрагмента.
2. Откройте диалоговое окно Component Wizard (Мастер компонентов) командой Insert, Component (Вставка, Компонент), в списке выберите команду Input table (Таблица ввода) и нажмите кнопку Finish (Финиш).
3. Вставьте имя матрицы в местозаполнитель и введите данные в ячейки таблицы
4. Выведите значение матрицы
5. Сохраните изменения в текущем документе.
По умолчанию нумерация индексов массивов начинается с нуля. Стартовый индекс задается значением переменной ORIGIN. Если вы привыкли нумеровать элементы векторов и матриц с единицы, присвойте этой переменной значение равное 1.
С другими способами создания массивов можно познакомиться в [1].
Ранжированные переменные
Ранжированные переменные (дискретные переменные) в MathCAD являются разновидностью векторов и предназначены, главным образом, для создания циклов или итерационных вычислений. Простейший пример ранжированной переменной – это массив с числами, лежащими в некотором диапазоне с некоторым шагом. Например:
0, 2, 4, 6, 8, 10.
Задание 17. Создайте несколько ранжированных переменных, выполнив следующие команды:
1. Выберите место расположения переменной.
2. Введите имя переменной и оператор присваивания
Рис. 5. Создание ранжированной переменной
3. Нажмите кнопку Range Variable (Задать диапазон дискретной величины) на палитре Matrix (Матрицы), либо введите символ точки с запятой с помощью клавиатуры.
4. В появившиеся местозаполнители (рис. 5) ведите левую и правую границу диапазона изменения ранжированной переменной, например: 0 и 5 и нажмите клавишу Enter.
5. Выведите значение дискретной переменной.
6. Чтобы создать ранжированную переменную с шагом отличные от 1, выполните следующие шаги:
- введите имя переменной, оператор присваивания и создайте ранжированную переменную y.
- в первый местозаполнитель введите левую границу диапазона (первый элемент массива), затем вставьте запятую и запишите значение второго элемента.
- во второй местозаполнитель вставьте последнее значение диапазона, нажмите клавишу Enter и выведите значения созданной ранжированной переменной
7. Сохраните изменения в текущем документе.
Реализуйте следующие примеры использования ранжированных переменных:
Последнее задание:
1. Самостоятельно формулируйте выводы из проведенных исследований.
2. Сохраните результаты всей работы в отдельной папке.