Комплексные числа и действия над ними

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Извлечение корня из отрицательного числа – невыполнимая операция на множестве действительных чисел. Значит есть потребность в дальнейшем расширении понятия числа – эти числа назвали комплексные числа. Они введены в алгебру в середине 16-го века, с конца 17-го века они применяются и в анализе.

Алгебраическая форма комплексного числа и его геометрическое изображение.

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара (х, у)действительныхчисел, которую можно записать выражением

z = х + i у,

где х и у – действительные числа,

i - мнимая единица, i ² = - 1 , = i.

х – действительная часть к.ч. (Re z),

у – мнимая часть к.ч. (Im z).

Обозначение i для мнимой единицы ввел Леонард Эйлер в 1777 году. Математик, физик, механик, астроном – он родился в Швейцарии в 1707 году и окончил Базельский университет в 1724 году. По приглашению Петербургской Академии приехал в Россию в 1727. До конца жизни с небольшим перерывом он работал в Петербурге.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение х² + 4 = 0.

РЕШЕНИЕ. х² = - 4 ,

ОТВЕТ: х₁ = 2 i , х₂ = - 2 i.

Алгебраическая запись комплексного числа

z = х + iу,

х = Re z - действительная часть к. ч.,

у = Im z - мнимая часть к .ч.

если х = 0, то число i у – чисто мнимое,

если у = 0, то число отождествляется с действительным числом.

– сопряженные числа

(отличаются знаком мнимых частей).

На плоскости зададим прямоугольную декартову систему координат.

Комплексному числу z = х + i у ставим в соответствие точку М этой плоскости с координатами (х, у), вследствие этого:

Ох - действительная ось,

Оу - мнимая ось.

Всякое комплексное число z = х + i у можно изображать радиус-вектором .

модуль комплексного числа:

r =│z│= (длина вектора)

аргумент комплексного числа:

Arg z =φ = (уголрадиус-вектора)

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен.

Аргумент комплексного числа z ≠ 0величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πκ, где κ – целое число.

Главное значение аргумента заключено в промежутке (-π, π].

Формы записи комплексных чисел.

Алгебраическая форма

z = x + iy.

Тригонометрическая форма

z = r (cos φ + i sin φ).

3) Показательная форма

z = reⁱ^φ.

ПРИМЕР .Записать число z = -1 + i в тригонометрической и показательной формах.

РЕШЕНИЕ.

1) Найдем модуль к.ч.: имеем х = -1, у = 1,

тогда .

2) Найдем аргумент к.ч. :

φ = , т.к. вектор во 2-ой четверти.

3) Тригонометрическая форма

z = - 1 + i =

4) Показательная форма- 1 + i = .

Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

Основные понятия.

1) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a; b], если при всех х [a; b] имеет место равенство

или

Теорема. Если F(x) – некоторая первообразнаядля функции f(x), х [a; b], то множество всех первообразных для f(x) имеет вид F(x)+С, где С – произвольная постоянная.

2) Множество всех первообразных F(x)+ С для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

f(x) – подынтегральная функция,

f(x)dx – подынтегральное выражение.

Пример. Найти неопределенный интеграл

Решение.

Проверка.

3) Действие нахождения неопределенного интеграла (первообразной) называется интегрированием (это действие обратное дифференцированию).

4) Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство (множество) «параллельных кривых»

у =F(x)+ С.

График каждой первообразной называется интегральной кривой.

5) Функция f(x), имеющая неопределенный интеграл, называется интегрируемой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

9.2 Свойства неопределенного интеграла

1. ;

(Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному дифференциалу).

(Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной).

(Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

(Интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме интегралов от этих слагаемых)

5.Интеграл не зависит от переменной интегрирования

Таблица основных неопределенных интегралов

За переменную интегрирования в таблице принимаем u.

Обозначим: С – постоянное число,

а, п – натуральные числа.

	= и + С
	= , п ≠ – 1
	=
	=
	= е^и + С
	= sin u + C
	= cos u + C
	= –
	=
	= tg u + C
	= – ctg u +C
	= arcsin u + C
	=
	=
	=
	=
	=
	=
	=

9.4 МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Табличное интегрирование

Чтобы приступить к действию интегрирования, необходимо наизусть знать

таблицу производных и интегралов.

Примеры: 1) ;

2) ;

3) .

Метод подстановки

Метод подстановки, или замена переменной в неопределенном интеграле состоит в том, чтобы в подынтегральной функции ввести новую переменную с целью привести исходный интеграл к табличному варианту.

Примеры:

1) ; 2) ; 3) ;

3) ; 4) ; 5) .

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем после нахождения du и v используется формула интегрирования по частям:

Пример 1. Найти =

= .

При выборе обозначения сомножителей обычно за dv выбирают сомножитель, который легко интегрировать, оставшиеся сомножители обозначают за u.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

Пусть Р(х) – многочлен, k – число.

1) В интегралах вида:

обозначим:

за u = P(x), за dv - остальные множители.

2) В интегралах вида:

; ; ;

обозначим:

dv = P(x)dx, u - остальные множители.