Построение равноугольной спирали с использованием чисел Фибоначчи

Начнем с квадрата со стороной, равной единице, пристроим к нему другой такой же квадрат, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 2, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 3. Продолжая в том же духе, получим квадраты со сторонами, равными 5, 8, 13, 21, 34 и так далее.

(Воспроизводится с разрешения Fascinating Fibonaccis by Trudy Ha.rn.mel Garland; © 1987 by Dale Seymour Publications, P. O. Box 10888, Palo Alto, CA 94303.)

На основе двух их сторон строится примыкающий к ним квадрат со стороной удвоенного размера, затем квадраты со сторонами утроен­ного, упятеренного и т.д. размера. Заметьте, что таким образом строится последовательность прямоугольников, причем отношения между сторонами следующих друг за другом членов последователь­ности образуют золотую пропорцию. Затем соединяем противопо­ложные углы квадратов, начиная с наименьшего, дугами, являю­щимися продолжением друг друга, и получаем спираль.

Нам знакома эта спираль, повторяемая в форме некоторых га­лактик, бараньего рога, многих морских раковин или гребешков океанских волн, по которым скользят любители серфинга. Способ построения делает ее форму неизменной, и она не зависит от размера первого квадрата, с которого началось построение: форма с ростом не меняется. Журналист Уильям Хоффер заметил: «Большая золо­тая спираль кажется естественным способом наращивания количе­ства без изменения качества»².

Кое-кто верит, что числа Фибоначчи можно использовать для различных предсказаний, в особенности относительно курса акций; такие предсказания сбываются достаточно часто, чтобы поддержи­вать постоянный интерес к ним. Ряд Фибоначчи настолько попу­лярен, что в Калифорнии существует даже Американская ассоци­ация Фибоначчи при университете Санта-Клары, опубликовавшая с 1962 года тысячи страниц исследований по этой теме.

«Liber Abaci» Фибоначчи стала впечатляющим первым шагом на пути создания инструмента, являющегося ключом к прируче­нию риска. Но общество еще не было готово к применению чисел для анализа связанных с риском ситуаций. Во времена Фибоначчи люди чаще связывали риск с капризами природы. Им нужно было еще научиться рассматривать его как творение рук человеческих и набраться смелости бороться с судьбой, прежде чем они смогли по­дойти к технологии его укрощения. Для этого понадобилось не ме­нее двухсот лет.

Мы сможем в полной мере постигнуть значение достижений Фибоначчи, только обратив свой взгляд к эпохе, предшествующей его рассуждениям о том, как выразить различие между 10 и 100. Даже в ней мы найдем несколько замечательных новаторов.

Примитивный человек вроде неандертальца умел считать, но необходимость в счете возникала не часто. Он отмечал прошедшие дни зарубками на камнях или стволах деревьев или выкладывал дорожку камней, фиксируя число убитых животных. Время дня оп­ределялось по солнцу, и разница между пятью минутами и получа­сом вряд ли имела значение.

Первые систематические попытки измерений и счета были пред­приняты за несколько тысячелетий до Рождества Христова³. Это началось, когда люди стали расселяться, чтобы выращивать хлеб, по долинам таких крупных рек, как Тигр и Евфрат, Нил, Инд, Ян­цзы, Миссисипи и Амазонка. Реки скоро превратились в торговые пути, по которым предприимчивые люди выходили к океанам и мо­рям. Чтобы путешествовать на всё большие и большие расстояния, понадобились календарь, навигация и география, а они потребова­ли еще более точных расчетов.

Жрецы были первыми астрономами, а от астрономии произошла математика. Когда люди заметили, что зарубок на деревьях и кам­нях и дорожек из них уже недостаточно для решения новых задач, они стали группировать числа в десятки и двадцатки, которые было легко считать по пальцам на руках и ногах.

Хотя египтяне стали мастерами в астрономии и предсказании разливов и спада воды в Ниле, им, по-видимому, никогда не при­ходило в голову вмешиваться в подобные процессы и оказывать влияние на будущий ход событий. Их интеллекту, в котором до­минировали обычаи, привычка к повторению годового цикла пере­мен и уважение к прошлому, были чужды перемены и активное отношение к будущему.

Около 450 года до Рождества Христова греки изобрели буквен­ную систему счисления, которая использовала 24 буквы греческого алфавита и три буквы, которые впоследствии вышли из употребле­ния. Каждому числу от 1 до 9 соответствовала буква, а числа, крат­ные десяти, имели свои буквы. Например, символ я (пи) как пер­вая буква греческого слова tievte (пента), что означало 'пять', пред­ставлял 5; 8 (дельта), первая буква от 8£ха (дека), что означало 'де­сять', представляла 10; а (альфа), первая буква алфавита, представ­ляла 1, и р (ро) представляла 100. Таким образом, 115 писалось как ро-дека-пента, или рбтг. Евреи, пусть и семиты, а не индоевропейцы, использовали такую же буквенно-цифровую систему счисления⁴.

Хотя относительное удобство этих буквочисел помогало людям строить сложные сооружения, путешествовать на большие расстоя­ния и точнее фиксировать время, такая система счисления наклады­вала серьезные ограничения. Для сложения, вычитания, умножения и деления буквы можно использовать только с большим трудом, а считать в уме практически невозможно. Эти заместители чисел пригодны только для записи результатов вычислений, выполнен­ных другими методами, чаще всего с помощью счетов. Счеты — древнейшее вычислительное устройство в истории — были незаме­нимы при выполнении расчетов, пока между 1000-м и 1200 годами после Рождества Христова на сцену не выступила индо-арабская цифровая система счисления.

На счетах каждому разряду числа соответствовали колонки из десяти костей; когда при сложении, например, в соответствующей колонке получалось число, большее десяти, сдвигалась фишка на следующей колонке, а на первой фиксировалось превышение ре­зультатом десяти, и т.д. Наши выражения «один в уме» и «три свер­ху» ведут свое происхождение от счетов⁵.

Несмотря на ограниченные возможности этих ранних форм ма­тематики, они сделали возможным значительное развитие знания, в частности в геометрии — языке фигур — и ее многочисленных при­ложениях в астрономии, навигации и механике. Наиболее впечат­ляющих результатов добились греки и их коллеги в Александрии. Только Библия выдержала больше изданий и напечатана в большем количестве экземпляров, чем самая знаменитая книга Евклида «На­чала» («Elements»).

Однако не научные открытия представляются нам самым глав­ным достижением греков. В конце концов, храмовые жрецы Египта и Вавилона неплохо изучили геометрию задолго до Евклида, и даже знаменитая теорема Пифагора — квадрат гипотенузы прямоугольно­го треугольника равен сумме квадратов катетов — использовалась в долине Тигра и Евфрата за 2000 лет до Рождества Христова.

Уникальной чертой греческого духа была приверженность к до­казательствам. «Почему?» было для них важнее, чем «что?». Они смогли заново сформулировать самые сложные вопросы потому, что их цивилизация была первой в истории, относительно свободной от смирительной рубашки всемогущего жреческого сословия. Эти же обстоятельства сделали греков первыми в мире путешественниками и колонизаторами, превратившими бассейн Средиземного моря в сфе­ру своих интересов.

Будучи в большей степени гражданами мира, греки отвергли про­стые и ясные заветы, оставленные им предшествующими обществами. Их не интересовали образцы; они искали универсальные понятия, применимые везде, в любом случае. Например, с помощью простого измерения можно убедиться, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Но греков интересует, почему это так во всех прямоугольных треугольниках, больших и ма­лых, без единого исключения. Именно с этого времени доказательст­во, а не вычисление стало доминировать в математической науке.

Эта радикальная особенность древнегреческой методологии по­стижения мира заставляет нас еще раз задать вопрос — как случи­лось, что греки не открыли законы вероятности, вычислительные методы и даже простую алгебру. По-видимому, это объясняется тем, что, несмотря на все свои достижения, они зависели от неудобной системы счисления, использующей буквы вместо цифр. Тем же не­достатком страдала и римская система, в которой для изображения, к примеру, числа 9 нужны две буквы и нельзя написать 32 как III и II, потому что было бы неясно, имеется в виду 32, 302, 3020 или еще большее число, представляемое комбинацией 3, 2 и 0. Такая сис­тема непригодна для вычислений.

Открытие более совершенной системы счисления задержалось примерно до 500 года после Рождества Христова, когда индусы изоб­рели цифры, которыми мы сегодня пользуемся. Кто придумал это удивительное новшество и какие обстоятельства привели к его рас­пространению по всему Индийскому полуострову, остается тайной. Арабы впервые познакомились с новыми числами примерно через девяносто лет после того, как Мухаммед в 622 году основал ислам и его последователи, объединившись в могучую нацию, проникли в Индию и за ее пределы.

Новая система счисления пробудила интеллектуальную актив­ность в странах к западу от Индии. Багдад, уже тогда бывший сре­доточием арабской культуры, стал центром математических иссле­дований, и халифы приглашали еврейских ученых для перевода трудов таких выдающихся математиков, как Птолемей и Евклид. Математическая литература получила широкое распространение в арабской империи и около IX или X века дошла до Испании.

Вообще говоря, если уж быть точными, на Западе был один че­ловек, предложивший цифровую систему счисления еще за 200 лет до индусов. Около 250 года после Рождества Христова в Александ­рии математик по имени Диофант написал трактат, в котором до­казывал выгодность замены буквенной системы счисления настоя­щими числами⁶.

О самом Диофанте мало что известно, но то немногое, что мы знаем, поразительно. Историк математики Герберт Уоррен Тернбулл (Turnbull) приводит посвященную ему греческую эпиграмму, в ко­торой говорится: «Его детство длилось Ve ^его жизни; борода выросла у него на Vi2 позднее; на i/₇ после этого он женился, и через пять лет у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца, а отец пе­режил сына на четыре года». В каком возрасте умер Диофант?⁷ От­вет на этот вопрос любители алгебры могут найти в конце главы.

Диофанту принадлежит далеко ведущая идея алгебраической символики — использование символов вместо чисел; ему, правда, не удалось воспользоваться ею в полной мере. Он сетует, что «невоз­можно решение абсурдного уравнения 4 = 4л; + 20»⁸. Невозможно? Абсурдное уравнение? Уравнение приводит к отрицательному зна­чению: д: = -4. Без понятия ноля, которого Диофант не знал, поня­тие отрицательного числа логически невозможно.

Замечательные новшества Диофанта, кажется, были проигнори­рованы последующими поколениями. Прошло полторы тысячи лет, пока его работы были замечены и должным образом оценены: его трактат сыграл центральную роль в расцвете алгебры в XVII веке. Всем известные сегодня линейные алгебраические уравнения ви-да а + Ъх = с носят его имя.

Главным изобретением индо-арабской системы счисления яви­лось понятие ноля — sunya, как его называли индусы, или cifr по-арабски⁹().Слово дошло до нас как cipher, что означает 'пусто' и относится к пустой линейке на счетах ³.(Русское слово цифра тоже арабского происхождения).

Людям, использующим ряды камешков для подсчета убитых животных, прошедших дней или пройденного пути, освоить поня­тие ноля было крайне трудно. Для таких подсчетов ноль не нужен. Как отмечает английский философ XX века Альфред Норт Уайтхед (Whitehead),

относительно ноля следует заметить, что в повседневной жизни мы этим понятием не пользуемся. Никому не придет в голову купить ноль рыбы. В известном смысле ноль — это самое деликатное из всех чис­лительных, и потребность в нем возникает у нас только на более высо­ком уровне мышления¹⁰

Слова Уайтхеда о «более высоком уровне мышления» указывают на то, что понятие ноля расчистило путь чему-то более значительно­му, чем совершенствование способов счета и вычислений. Уже Дио­фант осознал, что совершенная система счисления должна обеспе­чить возможность использования математики в развитии и абстракт­ных наук, и техники измерений. Ноль раздвинул границы познания и прогресса.

Заслуживают внимания два аспекта развития системы счисле­ния, обусловленных появлением ноля. Во-первых, люди смогли об­ходиться только десятью символами от 0 до 9 для записи с их помо­щью любых чисел и выполнения всевозможных вычислений. Во-вто­рых, последовательность чисел типа 1, 10, 100 показывает, что сле­дующим числом в последовательности является 1000. Ноль, прояс­нив систему счисления, довел ее до полной прозрачности. Возьмите римские числа I, X и С или V, L и D и попробуйте сказать, каким должно быть следующее число в этой последовательности!

Первая известная нам арабская книга по арифметике была напи­сана ал-Хорезми — математиком, жившим около 825 года, пример­но за четыреста лет до Фибоначчи¹¹. Хотя те немногие, кто использо­вал его работу, вероятно, кое-что слышали о нем, большинству из нас он известен косвенно. Попробуйте быстро произнести «ал-Хорез­ми». Вы услышите слово «алгоритм», что значит «правило вычис­лений»¹². Именно ал-Хорезми был первым математиком, устано­вившим правила сложения, вычитания, умножения и деления с новыми индийскими цифрами. В другом своем трактате «Hisab al-jabr w'almuqabalah», или «Книге о восстановлении и противопо­ставлении», он описывает процесс решения алгебраических урав­нений. От слова al-jabr произошло слово алгебра, или наука об уравнениях¹³.

Одним из самых значительных и, уж конечно, самым знамени­тым арабским математиком древности был Омар Хайям, живший приблизительно с 1050-го по ИЗО год и известный как автор собра­ния стихов под названием «Рубайят»¹⁴. (В русском переводе В. Державина «Рубайят» содержится 488 четверостиший, см.: Омар Хайям. Рубайят. Душанбе: Изд-во «Ирфон», 1965. — Примеч. переводчика.). Его знаменитый сборник из 75 четверостиший* (слово рубайят определяет поэтическую фор­му) во времена королевы Виктории был переведен на английский поэтом Эдвардом Фитцджералдом. В этой тоненькой книжице боль­ше воспеваются вино и мимолетность человеческого существования, чем наука и математика. Например, под номером 27 читаем:

Думал, казий и муфтий мне смогут помочь Верный путь обрести, скорбный дух превозмочь, Но, пожив, убедился, что эти всезнайки Знают, друг мой, как я, так же мало точь-в-точь*. (Перевод А. Кушнера. — Примеч. переводчика.)

Как сообщает Фитцджералд, в юности у Омара Хайяма было двое друзей, столь же блистательных, как и он сам: Низам ал-Мунк и Хасан ал-Сабах. Однажды Хасан предложил своим друзьям покля­сться, что, если кому-нибудь из троих суждено достичь богатства и могущества, «тот, кому выпадет удача, не станет стремиться к пре­имуществу перед двумя другими и поделит ее на троих». Они дали клятву, а через какое-то время Низам стал визирем султана. Дру­зья разыскали его и напомнили про клятву, которую он выполнил, как обещал.

Хасан потребовал и получил место в правительстве, но, неудов­летворенный своим положением, оставил его, чтобы стать потом главой секты фанатиков, терроризировавшей весь мусульманский мир. Много лет спустя он организовал предательское убийство сво­его друга Низама.

Омар Хайям не просил ни чинов, ни титулов. «Величайшая ми­лость, которую ты можешь оказать мне, — сказал он Низаму, — это позволить мне жить незаметно под сенью твоей славы, углубляясь в науку и молясь о ниспослании тебе Аллахом долгих лет жизни и преуспеяния». Хотя султан любил Омара Хайяма и был благоскло­нен к нему, «смелое эпикурейство мыслей и высказываний Омара вызывали в его время косые взгляды соотечественников».

Омар Хайям использовал новую систему счисления для совер­шенствования созданного усилиями ал-Хорезми языка вычисле­ний, послужившего основой нового, более сложного языка алгеб­ры. Кроме того, он использовал математические методы обработ­ки астрономических наблюдений для реформирования календаря и построения числового треугольника, облегчающего вычисление квадратов, кубов и высших степеней; этот треугольник позднее был использован в XVII веке французским математиком Блезом Паска­лем, одним из создателей теории выбора, оценки шансов и веро­ятностей.

Впечатляющие достижения арабов лишний раз показывают, как далеко может зайти и все же застрять на пороге логического завер­шения фундаментальная идея. Почему арабы со своими выдающи­мися математическими достижениями не смогли приблизиться к со­зданию теории вероятностей и управления риском? Я полагаю, это обусловлено их образом жизни. Кто определяет наше будущее: судь­ба, боги или мы сами? Идея управления риском всплывет только тогда, когда люди поверят, что они обладают некоторой степенью свободы. Подобно грекам и ранним христианам, склонные к фата­лизму мусульмане еще не были готовы к этому прыжку.

Около 1000 года новая система счисления преподавалась в мав­ританских университетах в Испании и еще кое-где, а также сара­цинами на Сицилии. Сицилийская монета норманнской чеканки, датированная «1134 Anno Domini»* (После Рождества Христова. — Примеч. переводчика.) — первый известный образец использования системы в действии. Однако широкого распростра­нения новые числа не получили вплоть до XIII века.

Несмотря на покровительство, оказанное книге Фибоначчи им­ператором Фридрихом, и широкую известность, которую она полу­чила в Европе, введение индо-арабской системы счисления вызы­вало сильное и ожесточенное неприятие до начала XVI века. И это можно понять.

Многовековая история учит, что всегда находятся силы, которые встречают в штыки любое изменение; новое всегда с трудом пробивает себе дорогу. Но была и другая причина, куда более серьезная: с новыми числами плутовать было легче, чем со старыми. Превращение 0 в 6 или 9 казалось заманчиво легким, а 1 могла без труда превратиться в 4, 6, 7, 9 (одна из причин, почему европейцы пишут 7 как 7). Даже после того, как новые числа уже утвердились в Италии, где образование было на высоком уровне, в 1229 году во Флоренции был издан эдикт, запрещающий банкирам использование «языческих» символов. В результате многие желающие изучить новую систему были вынуждены выдавать себя за мусульман¹⁵.

Изобретение в середине XV века книгопечатания с наборным шрифтом ускорило окончательный переход к использованию новых чисел. Теперь мошеннические подделки больше не проходили, а не­лепые сложности римских чисел стали очевидны каждому. Этот переворот привел к резкой активизации коммерческой деятельности. С тех пор таблицы умножения ал-Хорезми стали предметом изуче­ния во всех школах. И наконец, с первыми намеками на проникно­вение в тайны вероятностных закономерностей повсеместно уси­лился интерес к играм.

Здесь приводится алгебраическое решение эпиграммы о Дио­фанте. Приняв за х его возраст в день смерти, имеем:

х х х . х

х + — + — + — + 5 + — + 4.
6 12 7 2

Значит, Диофант умер в возрасте 84 лет.

Глава 3

Игроки Ренессанса

Пьеро делла Франческа, написавший Деву Марию («Мадонна с Младенцем и святыми»), жил с 1420-го по 1492 год, на двести с лишним лет позже Фибоначчи. Время его жизни совпало с расцветом итальянского Ренессанса, и разрыв между но­вым духом XV столетия и обветшавшим к тому времени духом Средневековья нашел яркое отражение в его творчестве.

На его полотнах фигуры, даже фигура Девы, воплощают земную человеческую жизнь. Они лишены нимбов, твердо стоят на земле, каждая несет на себе печать индивидуальности и занимает свое мес­то в трехмерном пространстве. Хотя предполагается, что все они со­брались, чтобы приветствовать Святую Деву и младенца Христа, кажется, что большинство из них занято чем-то своим. Тени, созда­ющие в готической архитектуре атмосферу таинственности, здесь призваны подчеркнуть весомость фактуры и протяженность обрам­ляющего фигуры пространства.

Яйцо кажется подвешенным над головой Девы. Более вниматель­ное изучение картины заставляет задуматься, на чем, собственно, подвешен этот небесный символ плодовитости. И почему эти земные, хотя и благочестивые мужчины и женщины не замечают эту стран­ную штуку, зависшую над ними?

Греческая философия перевернута вверх ногами. Теперь тайна пе­ренесена на небеса. На земле мужчины и женщины ведут свободную человеческую жизнь. Эти люди уважают все связанное с божествен­ными проявлениями, но ни в коем случае не подавлены ими — черта, вновь и вновь воспроизводимая в искусстве Ренессанса. Чарующая статуя Давида работы Донателло была одной из первых обнаженных мужских скульптур со времен классических Греции и Рима; великий герой и поэт Ветхого Завета, прекрасный в своей юношеской наготе, стоит перед нами без тени стыдливости, с головой Голиафа в ногах. Большой собор Брунеллески, как и кафедральный собор во Флорен­ции, с их четко вылепленными массами и строгим интерьером де­монстрируют, как религия буквально низведена на землю.

Ренессанс был временем открытий. В год смерти Пьеро Колумб отправился искать путь в Индию; вскоре появилась книга Копер­ника, радикально изменившая взгляд людей на небеса. Его откры­тия потребовали высокого уровня математического искусства, кото­рое в течение XVI века ознаменовалось впечатляющими достижени­ями, особенно в Италии. Следом за изобретением примерно в 1450 го­ду книгопечатания с наборным шрифтом произведения многих клас­сиков математической науки были переведены с латыни на итальян­ский, опубликованы на латыни или на языках других народов Евро­пы. Математики состязались в бурных публичных диспутах о реше­нии сложных алгебраических уравнений, и публика восторженно приветствовала своих фаворитов.

Этот интерес был вызван опубликованной в 1494 году замеча­тельной книгой францисканского монаха по имени Лука Пацциоли¹. Пацциоли родился около 1445 года на родине Пьеро делла Франческа в Борго-Сан-Сеполькро. Хотя семья понуждала мальчи­ка готовиться к карьере торговца, Пьеро занимался с ним чтением, рисованием, историей и приучил пользоваться знаменитой библио­текой в соседнем замке Урбино. Полученные здесь знания заложи­ли основу будущей известности Пацциоли как математика.

В двадцатилетнем возрасте он получил в Венеции место учителя сына богатого купца, стал посещать публичные лекции по филосо­фии и теологии и продолжил изучение математики с частным пре­подавателем. Будучи способным учеником, он еще в Венеции опуб­ликовал свою первую работу по математике. Одновременно он изу­чал архитектуру и военное искусство под руководством своего дяди Бенедетто, офицера на службе Венецианской республики.

В 1470 году Пацциоли переселился в Рим для продолжения своего образования и в двадцатисемилетнем возрасте стал фран­цисканским монахом. Однако его научные занятия не прервались. Он преподавал в Перудже, Риме, Неаполе, Пизе и Венеции, пока в 1496 году не занял место профессора математики в Милане. Деся­тью годами раньше ему уже была присвоена степень магистра, со­ответствующая нынешней степени доктора*(В России — кандидата наук. — Примеч. науч. редактора.).

Главный труд Пацциоли «Summa de arithmetic, geometria et proportionality» («Книга об арифметике, геометрии и пропорциях»; самые серьезные академические работы в то время еще писали на латыни) появился в 1494 году. В ней Пацциоли признаёт, что мно­гим обязан «Liber Abaci» Фибоначчи, появившейся тремя столетия­ми раньше. В «Summa», написанной во славу «величайшей абстрак­ции и утонченности математики», излагаются основы алгебры и со­держатся таблицы умножения до 60 х 60 — весьма полезная вещь для времени, когда с помощью книгопечатания получила широкое распространение новая система счисления.

Один из наиболее интересных разделов книги посвящен двой­ной бухгалтерии. Она не была изобретением Пацциоли, хотя он и занимался ею не один год. Понятие двойной бухгалтерии встреча­ется в «Liber Abaci» Фибоначчи и используется в опубликованной около 1305 года в Лондоне книге лондонского филиала некой ита­льянской фирмы. Каково бы ни было его происхождение, это рево­люционное новшество в методике бухгалтерских расчетов имело серьезные экономические последствия, сравнимые с изобретением паровой машины тремя столетиями позже.

В Милане Пацциоли познакомился с Леонардо да Винчи, став­шим его близким другом. Пацциоли был поражен талантом Леонар­до и восхищался его «бесценной работой о движении в пространстве, столкновениях, весах и всех силах»². У них, наверно, было много общего, потому что Пацциоли интересовали взаимосвязи между ма­тематикой и искусством. Однажды он заметил, что, «если вы гово­рите, что музыка услаждает одно из наших природных чувств — слух... [перспектива] делает то же со зрением, которое имеет гораздо большую цену, потому что является входной дверью интеллекта».

Леонардо был мало знаком с математикой до встречи с Паццио­ли, хотя имел интуитивное понимание пропорций и хорошее гео­метрическое воображение. Его записные книжки и раньше были заполнены изображениями прямоугольников и кругов, но Паццио­ли побудил его к математическому осмыслению понятий, ранее ис­пользуемых интуитивно. Мартин Кемп, один из биографов Леонар­до, отмечает, что Пацциоли «стимулировал внезапно появившиеся у Леонардо математические амбиции, обусловившие переориента­цию его интересов в направлении, на котором ни один из ученых современников ему не сопутствовал». Леонардо отблагодарил Пац­циоли, снабдив рисунками написанную им большую книгу «De Divine Proportione» («Божественная пропорция»), которая появилась в двух прекрасно оформленных манускриптах в 1498 году. Ее печатное из­дание вышло в свет в 1509 году.

Леонардо имел экземпляр «Summa» и, должно быть, прилежно проштудировал его. Его записные книжки свидетельствуют о по­вторяющихся попытках освоить умножение и дроби в применении к использованию пропорций. В одном месте он напоминает себе, что должен «изучить умножение корней по мастеру Луке». По ны­нешним меркам математические познания Леонардо соответствова­ли бы уровню третьего арифметического класса.

Тот факт, что у таких гениев Ренессанса, как Леонардо, было столько трудностей с элементарной арифметикой, дает представле­ние о состоянии математических знаний в конце XV века. Каким образом математики нашли в себе силы с этих позиций сделать пер­вые шаги к созданию методов измерения риска и контроля за ним?

Сам Пацциоли чувствовал, какие огромные возможности таятся в волшебстве чисел. В тексте «Summa» он предложил следующую задачу:

А и В играют в balla* (Игра в мяч. — Примеч. переводчика.). Они договорились играть, пока один из них не выиграет шесть конов. На самом деле игра прекратилась, когда А вы­играл пять, а В три кона. Как поделить банк?³

В течение XVI и XVII столетий математики вновь и вновь об­ращались к этой головоломке. Она имела много вариаций, но все­гда вопрос сводился к одному: как поделить банк в неоконченной игре? Предлагались разные ответы, разгорались горячие споры.

Головоломка, получившая известность как задача об очках, име­ла более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд. Ее реше­ние ознаменовало начало систематического анализа вероятности — измерения нашего знания о том, что что-то должно произойти. Оно приводит нас на порог квантификации риска.

Получив представление о том, каким могучим барьером на пути ис­следования тайн теории вероятностей были предрассудки Средневеко­вья, интересно снова вернуться к вопросу, почему греки и даже рим­ляне не интересовались задачами, подобными головоломке Пацциоли.

Вообще-то греки понимали, что в будущем может произойти больше вещей, чем произойдет на самом деле. Они отмечали, что естественные науки — это, используя терминологию Платона, «науки о возможном». Аристотель в «De Caelo» говорил: «Добиться успе­ха во многих вещах или много раз трудно; например, выбросить не­кую комбинацию в кости десять тысяч раз подряд было бы невоз­можно, но сделать это один или два раза сравнительно легко»⁴.

Это подтверждалось простыми наблюдениями. Но следует заме­тить, что правила, по которым греки и римляне играли в случайные игры, в наше время показались бы весьма нелепыми. Это тем более странно, что в античном мире такие игры были очень популярны (гре­кам уже были известны шестигранные кости) и являлись настоящей лабораторией для изучения шансов и вероятностей.

Рассмотрим игры с применением таранных костей. В отличие от позднейших кубических костей они продолговатые, с двумя узкими и двумя широкими поверхностями. В играх обычно бросали сразу че­тыре кости. Шансы, что кость выпадет широкой стороной, конечно, выше, чем узкой. Поэтому было бы естественно ожидать, что узкая сторона должна приносить больше очков, чем широкая. Но сумма оч­ков, приносимых менее вероятными узкими сторонами — 1 на одной кости и 6 на другой, — приравнивалась тому, что приносили более ве­роятные широкие стороны, — 3 и 4. Результат же, называемый «Ве­нера», когда на вас смотрят все возможные игровые грани костей — 1, 3, 4, 6, — приносил максимум очков, хотя столь же вероятны ком­бинации 6, 6, 6, 6 или 1, 1, 1, 1, приносившие по правилам меньше очков⁵.

Кроме того, хотя было очевидно, что длинные серии выигры­шей или проигрышей менее вероятны, чем короткие, эти ожида­ния носили не количественный, а качественный характер: Аристо­тель говорил, что «...сделать это один или два раза сравнительно легко»⁶. И хотя в эти игры играли повсеместно и с диким азартом, никому не приходило в голову подсчитывать шансы.

Надо полагать, дело было в том, что греки вообще не проявляли интереса к экспериментированию; их занимали только теории и доказательства. Они, кажется, никогда не обсуждали возможность воспроизведения какого-либо явления достаточное для доказатель­ства гипотезы число раз, видимо, потому, что им была чужда мысль об упорядоченности событий на земле. Точность считалась монополией богов.

В отличие от античности во времена Ренессанса каждый, от ученого до изобретателя, от художника до архитектора, испытывал зуд исследований, экспериментирования и демонстрации результа­тов опыта. В этой интеллектуальной атмосфере кто-то из игроков должен был обратить внимание на регулярности, проявляющиеся при так называемой игре в длинную.

Такой игрок появился в XVI веке. Им оказался лекарь по име­ни Джироламо Кардано. Одной только репутации Кардано как азартного игрока, пытавшегося осмыслить закономерности игры, достаточно для упоминания его имени в истории освоения риска, но он проявил выдающиеся таланты и во многих других областях. Удивительно, что в наше время он сравнительно мало известен. Он был олицетворением Ренессанса⁷.

Кардано родился в Милане около 1500 года и умер в 1571 году. Он был современником Бенвенуто Челлини и, подобно Челлини, од­ним из первых знаменитостей, оставивших автобиографию. Свою книгу он назвал «De Vita Propria Liber» («Книга моей жизни»), и что это была за жизнь! Поистине, его любознательность была сильнее его самого. Характерно увлечение, с которым он, описывая собственную жизнь, обсуждает четыре выдающихся достижения своего времени: вступление в новую эру географических открытий, познакомивших европейцев с двумя третями земной поверхности, о которых древние ничего не знали, изобретение огнестрельного оружия, компаса и кни­гопечатания с использованием набора.

Кардано был худым, с длинной шеей, тяжелой нижней губой, бородавкой над глазом и таким громким голосом, что вызывал раз­дражение даже у друзей. По его собственному признанию, он стра­дал диареей, грыжей, болезнью почек, тахикардией и даже воспа­лением соска. Не без рисовки он пишет о себе: «Я был горяч, про­стодушен и падок на женщин», а также «хитер, силен, саркасти­чен, прилежен, дерзок, печален, вероломен, склонен к чародейству и колдовству, жалок, злобен, похотлив, непристоен, лжив, подобо­страстен, старчески болтлив».

Кардано был игрок из игроков. Он признавался в «неодолимой тя­ге к игорному столу и костям... Долгие годы... я играл не время от времени, но, стыдно сказать, каждый день». Он играл во всё — от ко­стей и карт до шахмат. Он зашел так далеко, что признавал благо­творность игры: «...в периоды потрясений и бедствий... я находил уте­шение в постоянной игре в кости». Кардано терпеть не мог непроше­ных советчиков и все знал о шулерских проделках, в частности осте­регался игроков, «которые натирали карты мылом, чтобы они легко скользили и были послушны в руках». Анализируя в своей книге ве­роятностные закономерности игры в кости, он не забывал осторожно оговориться: «...если игра ведется честно». Тем не менее ему приходилось проигрывать крупно и достаточно часто, чтобы заключить, что «лучший из возможных выигрышей — это отказ от игры». Он, кажет­ся, первым в истории взялся за серьезный анализ случайных игр.

Кардано был не только игроком и математиком «от случая к случаю», но и самым знаменитым врачом своего времени — его настойчиво стремились заполучить многие европейские дворы и Ватикан. Однако он не терпел придворные интриги и отклонял все высокие приглашения. Ему принадлежит первое клиническое опи­сание симптомов тифа, он писал о сифилисе и предложил новый метод операции грыжи. Он говорил, что «человек есть не что иное, как дух; если дух не в порядке, все плохо, если же он здоров, все остальное лечится просто», и был одним из первых пропагандистов купания и душа. Когда его в 1552 году пригласили в Эдинбург для лечения архиепископа Шотландского от астмы, он на основе своих знаний об аллергии порекомендовал пациенту набить перину не пе­рьями и пухом, а некрученым шелком, заменить кожаные наволоч­ки полотняными, а причесываться гребнем из слоновой кости. Перед отъездом из Милана в Эдинбург ему предложили за услуги ежеднев­ную плату в размере десяти золотых крон; когда же через сорок дней он покидал Эдинбург, благодарный пациент вручил ему 1400 крон, не считая дорогих подарков.

Кажется, Кардано был очень занятым человеком. Он опублико­вал 131 печатную работу, сжег, по его словам, еще 170, а после смер­ти оставил 111 неопубликованных рукописей. В его писаниях затра­гиваются самые разные вопросы, касающиеся математики, астро­номии, физики, состава мочи, зубов, жизни Девы Марии, гороско­па Иисуса Христа, морали, аморальности, жизни Нерона, музыки, снов. Его «De Subtilitate Rerum» («О сущности вещей») стала тог­дашним бестселлером и выдержала шесть изданий подряд; в ней обсуждаются научные и философские вопросы наряду с суевериями и загадочными историями.

У него было два сына, заставивших его испытать много горя. В «De Vita» Кардано пишет о старшем сыне Джамбаттисте, своем любимце, что он был «глух на правое ухо, с маленькими бесцветны­ми беспокойными глазами. На левой ноге у него было два пальца; третий и четвертый, если я не ошибаюсь, срослись с большим, обра­зуя гусиную лапу. Он был немного горбат...». Джамбаттиста женил­ся на девушке с подпорченной репутацией, которая была ему невер­на; по ее признанию, муж не был отцом ни одного из ее троих детей. После трех лет семейной жизни, ставшей для него адом, Джамбат­тиста приказал своему слуге приготовить пирог с мышьяком и дал его жене, которая тут же умерла. Кардано сделал все для спасения сына, но Джамбаттиста уже после освобождения из тюрьмы при­знался в убийстве жены. По пути к месту казни, где его обезглави­ли, палачи отрубили ему левую руку и пытали его. Младший сын, Альдр, постоянно обкрадывал своего отца и время от времени по­падал в тюрьму, где побывал не менее восьми раз.

У Кардано был молодой протеже, Лодовико Феррари, блестящий математик, какое-то время служивший секретарем у кардинала Мантуи. В возрасте 14 лет Феррари поселился у Кардано и скра­шивал его старость, называя себя «творением Кардано». Он защи­щал доказательства Кардано в нескольких диспутах с другими ма­тематиками, и