Методика получения выражения для критерия

Организации СД

Вид выражения для К во многом зависит от выбора критерия организации СД. В качестве К можно выбрать вероятность нахождения СД в одном или нескольких интересных для нас состояниях. Для большинства технических объектов такие состояния – работоспособные. При этом определяется готовность ОД к использованию. Воспользуемся критерием организации СД – показателем готовности Пг, определяющим вероятность того, что ОД работоспособен в произвольный момент времени.

Методика получения выражения для К в случаях, когда переход СД из состояния в состояние вероятностный (марковский или полумарковский), сводится к следующему:

1. Определение совокупности состояний СД S = {s_i}, на основе анализа режимов эксплуатации.

2. Построение графа G(P,Q). Множество вершин Р = р_i, графа соответствуют числу n обобщенных состояний и представляет собой множество вероятностей нахождения СД в соответствующих состояниях. Множество ветвей Q = q_ij, определяет множество возможных переходов СД из состояния в состояние.

Если процесс переходов принят однородным марковским случайным процессом (ОМП), то каждой i-й вершине (состояние s_i) графа соответствует вероятность нахождения СД в i-м состоянии, а оператор ветви графа переходов представляет собой интенсивность перехода q_ij = const.

Если процесс перехода СД из состояния в состояние принят полумарковским случайным процессом (ПМП), то вершинам графа соответствуют вероятности нахождения СД в этом состоянии, а каждая ветвь характеризуется вероятностью р_ij перехода из i-го состояния в j-е состояние и условной средней длительностью пребывания СД в состоянии s_i до перехода в состояние s_j при условии, что переход осуществляется мгновенно.

3. Составление системы уравнений по графу G(P,Q) на основе правила, что алгебраическая сумма входящих в вершину сигналов равна 0. При этом сигнал представляется произведением вероятности нахождения в состоянии на оператор ветви. Знак "+" присваивается входящему сигналу, знак "-" – выходящему. Число уравнений соответствует числу вершин в графе.

Если процесс переходов ОМП, то система уравнений связывает вероятности р_i пребывания СД в различных состояниях с интенсивностями переходов и при может быть представлена матричным уравнением вида:

PB=0= 0, (14.3)

при условии ,

где Р – вектор вероятностей; В – матрица коэффициентов.

Если процесс переходов ПМП, то система уравнений имеет вид:

(14.4)

при условии ,

где p_i – стационарная вероятность пребывания СД в состоянии s_i без учета средней длительности Т_i пребывания в этом состоянии; р_ij – стационарная вероятность пребывания СД в состоянии s_i с учетом длительности Т_i пребывания в этом состоянии.

4. Решение системы уравнений (14.3) для случая ОМП или (14.4) для случая ПМП относительно р_i и . Затем, выбрав одну из этих вероятностей (р_i или ) в качестве базовой (р_б или ), приводят все остальные вероятности к базовой введением коэффициентов А_i или А_j, причем для случая ОМП А_i = р_i/р_б, а для случая ПМП .

5. Выбор совокупности S из m состояний ( ), которая интересует проектировщика СД. При оценивании готовности ОД в эту совокупность входят все состояния, характеризующие работоспособность ОД, а критерий К трансформируется в показатель готовности П_Г. В общем случае эта совокупность может включать и другие состояния.

6. Определение вероятности нахождения СД в интересующих нас состояниях.

Если процесс переходов ОМП, то вероятность будет

. (14.5)

Если процесс переходов ПМП, то вероятность

. (14.6)

Для всех n состояний в этом случае определяют безусловную длительность T_i пребывания СД в каждом из них

.

Для каждого из m состояний определяют среднее значение T_оi безусловной длительности отсутствия дефектов в течение T_i

,

где р_о(t) – вероятность того, что в течение времени t в ОД не возникнет дефект.

Значение К, полученное из выражений (14.5) или (14.6), выбирается в качестве критерия организации СД.

Пример 1. Система диагностирования генераторного агрегата может находиться в двух состояниях: работоспособный ОД используется по назначению; неработоспособный ОД диагностируется и восстанавливается в специальном режиме. Используются абсолютно надежные ТСД. ЧО идеален. Необходимо получить выражение для критерия организации К.

Воспользуемся рассмотренной выше методикой.

1. Число состояний два: s₁ – работоспособный ОД находится в рабочем режиме; s₂ – неработоспособный ОД в специальном режиме диагностируется и восстанавливается.

2. Предположив, что процесс перехода из состояния в состояние ОМП, построим граф переходов (рис.14.5) и введем соответствующие обозначения вершин и операторов _рi, i = 1,2; q₁₂ – интенсивность отказов; q₂₁ – интенсивность восстановления.

3. По графу переходов составляем систему уравнений:

-р₁q₁₂ + р₂q₂₁ = 0;

-р₂q₂₁ + р₁q₁₂ = 0.

4. Решим систему уравнений относительно р_i

; .

Выбрав в качестве базовой вероятность р₁ = р_б, определим коэффициенты

; .

5. В качестве интересующего состояния для нахождения П_г выберем S = (s_l).

6. В соответствии с выражением (14.5) найдем выражение для П_г

.

Если q₁₂ = 1/T_о (T_о – наработка на отказ), q₂₁ = 1/T_в (T_в – среднее время восстановления), то

,

т.е. для рассматриваемого случая показатель готовности равен коэффициенту готовности. В данном случае П_г = f(П_l), т.е. зависит только от показателей ОД: безотказности Б_о = q₁₂ = l_о и ремонтопригодности Р_по = q₁₂ = 1/T_в (всего 2 показателя).

Пример 2. В качестве ОД выберем привод РПН трансформатора, который можно рассматривать как объект непрерывного использования, периодически диагностируемого в специальном режиме. Для упрощения расчетов допустим, что ТСД абсолютно надежны, а показатели ЧО уже учтены в показателях ОД и ТСД.

В соответствии с рассматриваемым порядком действий выполним следующее:

1. Определим множество возможных состояний системы диагностирования. В этом случае их будет четыре S = s_i, :

s₁ – работоспособный ОД в рабочем режиме;

s₂ – работоспособный ОД диагностируется;

s₃ – ОД в рабочем режиме отказал;

s₄ – неработоспособный ОД диагностируется и восстанавливается.

2. Предположив, что процесс переходов из состояния в состояние ОМП, построим граф возможных переходов (рис.14.6) и введем соответствующие обозначения вершин и операторов ветвей

р_i, :

q₁₂,q₃₄ – интенсивность диагностирования;

q₁₃ – интенсивность отказов;

q₂₁ – интенсивность проверки работоспособного ОД;

q₄₁ – интенсивность восстановления.

3. По графу переходов составляем систему уравнений

-р₁(q₁₃+q₁₂) + р₂q₂₁ + р₄q₄₁ = 0;

-р₂q₂₁ + р₁q₁₂ = 0;

-р₃q₃₄ + р₁q₁₃ = 0;

-р₄q₄₁ + р₃q₃₄ = 0.

4. Решаем систему относительно р_i

; ; ; .

Выбрав в качестве базовой вероятность р₁ = р_б, определим коэффициенты

; ; ; .

5. В качестве интересующих состояний для П_г выберем S^* = (s_l).

6. В соответствии с выражением (14.5) найдем выражение для П_г

.

В данном случае q₁₂ = q₃₄ = n – интенсивность диагностирования; q₄₁ = 1/T_в = – интенсивность восстановления объекта; q₁₃ = = 1/Tо – интенсивность отказов объекта; q₂₁ = – интенсивность перевода объекта из специального режима в рабочий. С учетом этого имеем

.

Причем Д = ( ), П_l = (Б_о,П_до,Р_по) = ( , , ).

Таким образом, имеем П_г = f(П_l,Д),т.е. учитываются показатели ОД и показатели режима диагностирования – всего четыре показателя.