Количественные показатели надежности

Сведения из теории вероятностей и математической

Статистики

Случайным процессом называется случайная функция, значения которой при каждом данном значении неслучайного аргумента времени t являются случайной величиной X(t). Случайные процессы представляют собой упорядоченные семейства случайных величин, поставленные в соответствии со значениями некоторого неслучайного параметра t так, что каждому значению t соответствует некоторая случайная величина x с определенным законом распределения и с известными характеристиками этого закона. Множество значений x(t), которые принимает случайная функция, полученная в течение одного интервала наблюдения, называется реализацией случайного процесса.

Обычно случайные процессы обозначают большими буквами латинского алфавита, например X,Y и т.д. (рис.2.1).

Считается, что при каждом значении аргумента t значение случайной функции X(t) является случайной величиной непрерывного типа. Одномерная функция распределения F(x) значений случайной функции X(t) при фиксированном t представляет собой функцию распределения

F(x) = P[X(t)<x].

Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Зная F(x) случайной функции X(t), можно определить вероятность попадания этой функции на любой данный интервал числовой оси X. График функции распределения вероятностей представляет собой непрерывную монотонную кривую, причем в точках дифференцируемости справедливо равенство

.

Функция f(x) называется одномерной плотностью вероятности (плотностью распределения) или дифференциальным законом распределения значений случайной функции. На рис.2.2 приведено графическое представление плотности распределения случайной величины. При известной функции плотности распределения вероятность того, что случайная величина x < a, равна:

.

Квантилем u_х распределения случайной величины называется действительное число, удовлетворяющее условию

P{_X<u_х}=p.

Кроме квантиля, случайная величина характеризуется еще рядом параметров распределения, таких, как математическое ожидание, медиана, мода, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Математическое ожидание представляет собой среднее значение случайной величины. При известной плотности распределения математическое ожидание определяется по формуле:

.

Для оценивания математического ожидания x по данным наблюдений N случайных величин используется следующая формула:

.

Медианой является значение случайной величины, соответствующее вероятности P(x_c) = 0,5 или x_c = x при P(x) = 0,5. Медианное значение случайной величины разделяет площадь под графиком функции плотности распределения на две равновеликие части.

Модой называется точка максимума плотности, если этот максимум существует: .

Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. При заданном законе распределения дисперсия

.

Оценивание дисперсии по данным наблюдений проводится по формуле:

.

Среднеквадратичное отклонение через дисперсию определяется:

.

В основу определения функций плотности распределения и параметров случайных величин могут быть положены как априорные (принимаемые без проведения опытов) соображения, так и результаты статистической обработки наблюдений.

При наличии большого числа незначительных, действующих независимо друг от друга факторов часто принимаемой моделью плотности распределения является нормальный закон вида

при ,

где – среднеквадратичное отклонение случайной величины х;

– математическое ожидание случайной величины.

На рис.2.3 показана графическая интерпретация нормального закона распределения. Кривая плотности распределения тем острее (рис. 2.3,а) и выше (при одном и том же числе наблюдений), чем меньше среднеквадратичное отклонение и чем дальше удаляется от начала координат (рис. 2.3,б) из-за большего ее математического ожидания. Кажущийся недостаток нормального закона распределения заключается в том, что распространяется от до . Но этот недостаток не является существенным для практики, так как вероятность выхода случайной величины за пределы значения составляет всего 0,135%, а за пределы - соответственно 2,17%.

В большинстве изделий изменение параметров носит постепенный характер. Поэтому, как правило, используют закон нормального распределения. Оценка вида закона изменения случайной величины может быть установлена по результатам экспериментальных наблюдений и их статистической обработки. В результате N таких наблюдений получается массив заданных чисел х₁,...,x_i,...,x_N. На основании этого массива данных обычно строится так называемая гистограмма распределения случайной величины (рис.2.4).

Вертикальная (по оси ординат) сторона каждого прямоугольника гистограммы отображает частоту нахождения случайной величины х в интервале ее значений [х_i,x_i+1]. По точкам из середин этих прямоугольников проводят кривую, которая отображает функцию закона распределения случайной величины.

По ее внешнему виду можно предположительно установить функцию распределения, близко совпадающую с одним из стандартных законов (нормальным, экспоненциальным, Вейбулла). Корректность такого предположения проверяют с помощью так называемых критериев согласия, которые позволяют оценить степень близости фактического закона распределения принятому теоретическому и ответить на вопрос: обусловлено ли расхождение недостаточным числом наблюдений или существенными различиями, связанными с плохим воспроизводством фактического распределения принятым теоретическим законом.