Совместное распределение двух случайных величин.

Пусть пространство элементарных исходов W случайного эксперимента таково, что каждому исходу w_ij ставиться в соответствие значение случайной величины X, равное x_i и значение случайной величины Y, равное y_j.

Примеры:

1. Представим себе упаковку деталей, характеризующихся 2-я габаритными размерами. Случайный эксперимент заключается в случайном выборе одной детали. Эта деталь имеет длину, которую будем обозначать X и толщину—Y

2. Если результат эксперимента – выбор студента для представления к повышенной стипендии. Тогда Х и Y – средние баллы за последние две сессии

В этом случае мы можем говорить о совместном распределении случайных величин X и Y или о “двумерной” случайной величине.

Если X и Y дискретны и принимают конечное число значений (X – n значений, а Y – m значений), то закон совместного распределения случайных величин X и Y можно задать, если каждой паре чисел x_i, y_j (где x_i принадлежит множеству значений X, а y _j—множеству значений Y) поставить в соответствие вероятность p_ij, равную вероятности события, объединяющего все исходы w_ij (и состоящего лишь из этих исходов), которые приводят к значениям X = x_i; Y = y _j.

Такой закон распределения можно задать в виде таблицы:

а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины Y. Таблица является законом распределения двумерной дискретной случайной величины, если сумма вероятностей в последней строке или в последнем столбце (и соответственно, сумма вероятностей внутри таблицы) = 1.

Пользуясь этой таблицей, по аналогии с одномерным случаем, можно определить совместную функцию распределения. Для этого необходимо просуммировать р_ij по всем i, j для которых x_i < x, y_j< y

Рассмотрим пример («ТВ» МГТУ им.Баумана)

В соответствии со схемой Бернулли с вероятностью успеха p, и вероятностью неудачи q =1-p проводятся 2 испытания.

Рассмотрим распределение двумерного вектора ( Х₁, Х₂ ), каждая из которых может принимать 2 значения : 0 или 1 (число успехов в соответствующем опыте) . Число успехов в обоих испытаниях равно 0, когда произойдут 2 неудачи, а это в силу независимости равно qq. Поэтому

и на пересечении «0» столбцов пишем q² .

Совместная функция распределения F (x₁ , x₂ ) задает поверхность в трехмерном пространстве.

Определение. Условным законом распределения (X |Y=y_j )(j сохраняет одно и то же значение при всех значениях Х) называют совокупность условных вероятноястей р(x₁|y_j ), р(x₂|y_j),… р(x_n|y_j), а условные вероятности вычисляются по формулам:

р(X=x_i |Y=y_j ) = р(X=x_i ,Y=y_j ) / р(Y=y_j )

Пример. Задана дискретная двумерная величина

	х1= 2	х2= 5	х3= 8
y1 =0,4	0,15	0,3	0,35
y2 =0,8	0,05	0,12	0,03

Найти безусловные законы распределения и условный закон распределения Х при условии Y=0,4

Сложив вероятности по строкам и столбцам, получим соответственно законы распределения Y и X

Y	0,4	0,8
P	0,8	0,2

X
P	0,2	0,32	0,48

р(X=x₁ |Y=y₁ ) = р(X=x₁ ,Y=y₁ ) / р(Y=y₁ )= 0,15/0,8 = 3/16

р(X=x₂ |Y=y₁ ) = р(X=x₂ ,Y=y₁ ) / р(Y=y₁ )=0,3/0,8 = 3/8

р(X=x₃ |Y=y₁ ) = р(X=x₃ ,Y=y₁ ) / р(Y=y₁ ) = 0,35/0,8 = 7/16

X
р(X |Y=y1 )	3/16	3/8	7/16

Проверка: сумма вероятностей равна 1.

Замечание. Таким образом, можно проверить и независимость случайных величин. Аналогично случаю независимости событий, независимость случайных величин может быть определена через условные вероятности. Остается только сравнить условный и безусловный законы распределения.

Пример.

Рассмотрим коробку, в которой лежат две карточки с цифрой 1 и три карточки с цифрой 2. Одна за другой вынимаются две карточки. X – номер на первой карточке. Y – на второй. Найти совместный закон распределения (X,Y)

Используем формулу произведения вероятностей P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10

(X,Y)	(1,1)	(1,2)	(2,1)	(2,2)
P	1/10	3/10	3/10	3/10

Сумма вероятностей = 1.