Интеграл с переменным верхним пределом

Для функции f(x), интегрируемой для всех x ³a, значение интеграла зависит от значения верхнего предела x; можно рассмотреть функцию переменной x: каждому значению x ставится в соответствие число, равное значению интеграла . Таким образом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнего предела: ; функция Ф(х) определена в области интегрируемости подынтегральной функции f(x),. Если F(x)первообразная для f(x), то значение Ф(х)можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница :

.

Функцию

можно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой при x ³ a функции f(x), справедливы следующие утверждения: Ф(х)непрерывна на промежутке [a, ∞), причем Ф(а) = 0; если f(x)>0, при х ³ а, то Ф(х)монотонно возрастает на промежутке [a, ∞); если f(x), непрерывна при х ³ а, то Ф(х) дифференцируема на промежутке [a, ∞), причем

Замечание. То обстоятельство, что производная от интеграла с переменным верхним пределом есть подинтегральная функция, является одним из ключевых в математическом анализе. Это свойство интеграла с переменным верхним пределом является связующим звеном между дифференциальным и интегральным исчислением.

Отступление.

Несобственный интеграл

Пусть функция y = f(x)определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a;¥), тогда интеграл с бесконечным верхним пределом (несобственный интеграл) понимается как , если этот предел существует. Если этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится.

Аналогично

и

Функция распределения F_Х(x) случайной величины Х имеет следующие свойства.

1. F_Х(x) — непрерывная возрастающая функция.

2. ;

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x).

3. Приращение F(x) на промежутке (х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина Х принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) – F(x₁) = P(x₁ £Х < x₂)

Доказательство.

F(x₂) = P(Х < x₂) = P(Х < x₁) + P(x₁ £ Х < x₂) = F(x₁) + P(x₁ £Х < x₂)

Отсюда

P(x₁ £ Х < x₂) = F(x₂) – F(x₁)

Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

Рис. 3

График функции F(x) представлен на рисунке 3.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции r (х), либо функции F(x).

Примеры абсолютно непрерывных распределений.

Равномерное непрерывное распределение было рассмотрено выше

Экспоненциальное распределение. Это распределение с плотностью ρ(х)=

, λ > 0 – параметр экспоненциального распределения, его

функция распределения имеет вид

Плотность Функция распределения

Рис.4

Экспоненциальное распределение возникает как предельный вариант геометрического распределения. В качестве успехов и неудач рассматривается, произошло ли событие А в течение (стремящихся к нулю) промежутков времени.

Нормальное распределение.

Случайная величина имеет нормальный закон распределения c параметрами, m и σ², N (m, σ²) если ее плотность имеет вид

А функция распределения, соответственно,

Если m=0, σ =1, распределение называется стандартным нормальным законом. Плотность в этом случае – уже известная функция Гаусса.

Поэтому в случае нормального закона плотность и функция распределения обозначаются φ и Ф, а не ρ и F.

Рис. 5

Как следует из этих рисунков, параметр m определяет положение центра симметрии плотности нормального распределения, а σ – разброс значений случайной величины относительно центра симметрии. И, соответственно,

высоту и «крутизну» пика графика плотности (чем больше σ, тем ниже пик и медленнее стремление к нулю)

К абсолютно непрерывным распределениям относятся также крайне важные в статистической практике распределения χ² и Стьюдента. Но ввиду сложности формул этих распределений (они содержат гамма-функцию Эйлера), мы не будем их здесь приводить.

Понятие случайного вектора.

В прикладных задачах часто приходится рассматривать не одну случайную величину, а несколько, наблюдаемых одновременно в эксперименте.

Определение.Совокупность случайных величин Х₁ , Х₂ , … Х_n , заданных на одном и том же вероятностном пространстве (W,A, Р), называются n-мерным случайным вектором или n-мерной случайной величиной. Сами случайные величины называются при этом координатами случайного вектора.При n=2 случайная величина называется двумерной. Мы ограничимся рассмотрением этого случая.

Итак,

Пара случайных величин (X,Y) (или (ξ,η) , заданных на одном вероятностном пространстве. называется двумерной случайной величиной (двумерным случайным вектором)

Когда речь идет о двух случайных величинах, мы можем интересоваться распределением каждой из них «самой по себе», а также условным распределением (одной, при условии, что вторая приняла какие-то значения).

Соответствующее распределение случайного вектора называется совместным распределением.

(Совместная) функция распределения F(a₁,a₂)=P{X< a₁, Y< a₂} в данном случае есть вероятность попасть в квадрант , верхним правым углом которого является точка (a₁,a₂)

Рис.6

Определение. Двумерная величина (X,Y) называется дискретной, если дискретной является каждая из величин Х и Y. Мы ограничимся рассмотрением случая двумерной дискретной случайной величины.

Определение. Две случайные величины

Х = {x₁,x₂,¼,x_n}; Y = {у₁, у₂,¼,у_m},

определённые на одном и том же пространстве элементарных исходов, имеющие законы распределения

X	х1	¼	xi	¼		Y	y1	¼	yj	¼
Р		¼		¼		Р		¼		¼

(верхние индексы – это не степени, а указатель на принадлежность той или иной случайной величине)

называются независимыми, если при любых i и j выполняется равенство

Р((X = х_i) ∩ (Y = y_j)) =

Замечание. В общем случае, случайные величины независимы, если совместная функция их распределения равна произведению функций распределения X и Y.

Или, в терминах вероятности, P(X<x, Y<y) = P(X<x) × P(Y<y)

Пример. Брошены две игральных кости. Число очков, выпавшее на первой кости, – случайная величина Х. Число очков, выпавшее на второй кости – случайная величина Y. Считаем, что все исходы ((X = i)∩(Y = j)) (i = 1,2,¼,6; j = 1,2, ¼,6) равновероятны, всего их 36 (см Тема 1), поэтому

P((X = i)∩(Y = j)) =

Так как P(X = i) = и P(Y = j)) = , очевидно, что по определению X и Y – независимые случайные величины.

Пример 2. Даны две независимые случайные величины X и Y с заданными законами распределения

X				Y
Р				Р

Определим случайные величины a и b следующим образом: a = X + Y, b = XY. Выясним, являются ли независимыми случайные величины a и b.

Составим закон распределения a.

a					b
Р	1/12	2/12+3/12=5/12	6/12=1/2		Р	1/12+3/12=1/3	2/12=1/6	6/12

Наименьшее значение a равняется 1. Вероятность события a = 1 равна вероятности события (X = 0)∩(Y = 1), которая в силу независимости X и Y равна . Событие a = 2 совпадает с событием ((X = 0)∩(Y = 2)) + ((X = 1)∩(Y = 1)). Его вероятность равна

.

Максимальное значение a, равное 3, имеет вероятность .

Рассмотрим события a = 3 и b = 0. Очевидно, что

Р(a = 3) Р(b = 0) =

С другой стороны, событие (a = 3)∩(b = 0) – невозможное, так как a = 3 только при X = 1, а b = 0 лишь при X = 0. Отсюда следует, что

Р((a = 3)∩(b = 0)) = 0,