Раздел 1.4.3. Понятие случайной величины с абсолютно непрерывным законом распределения
Определение. Случайная величина, принимающая несчетное число значений (значения которой заполняют некоторый промежуток) и имеющая плотность, называется случайной величиной с абсолютно непрерывным законом распределения или (абсолютно) непрерывной случайной величиной..
В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).
При описании непрерывной случайной величины невозможно выписать и пронумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество.
Замечание. Вернемся к нашей аналогии со стержнем. Теперь на нем не точечные массы, а сам он представляет собой стержень переменной плотности, протянувшийся от наименьшего до наибольшего значения случайной величины. Очевидно, что вопрос о массе в конкретной точке теперь невозможно поставить, а можно лишь говорить о массе, распределенной в некотором объеме (на некотором участке нашего стержня).
Таким образом, вместо вероятности-массы мы получаем плотность (вероятности). Из-за схожести физической и вероятностной плотности последнюю чаще всего обозначают, как в физике, буквой ρ (греческая ро). Другой распространенный вариант – р – подчеркивает связь с вероятностью.
Замечание. Если Х – непрерывная случайная величина, то равенство Х = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что, однако, не влечёт за собой невозможности события. Поэтому, применительно к абсолютно непрерывным случайным величинам, говорят только о вероятности попасть в промежуток.
Пусть Х – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < Х < х + Dх
P(х < Х < х + Dх).
Здесь Dх – величина малого интервала.
Очевидно, что если Dх ® 0, то P(х < Х < х + Dх)® 0. Обозначим r(х) предел отношения P(х < Х < х + Dх) к при Dх ® 0, если такой предел существует:
Функция r(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из этой формулы следует равенство, справедливое для малых величин Dх, которое также можно считать определением функции r(х):
P(х < Х < х + Dх) r(x)Dх
Очевидно, что r(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина Х примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х2,¼, хn удовлетворяющие условию а=х0<х1<x2<¼<xn<b=xn+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х0, х1), [х1, х2), ¼,[хn, b]. Введём обозначения:
Dх0= х1 – х0, Dх1= х2 – х1, ¼, Dхn = b – хn,
и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина Dхi стремится к нулю. Будем считать функцию r (x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы
будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:
P(a £ Х £ b) = (3)
|
![Раздел 1.4.3. Понятие случайной величины с абсолютно непрерывным законом распределения Раздел 1.4.3. Понятие случайной величины с абсолютно непрерывным законом распределения - student2.ru](/images/matematika/razdel-1-4-3-ponyatie-sluchaynoy-velichiny-s-absolyutno-nepreryvnym-zakonom-raspredeleniya-509216-7.gif)
Замечание. С другой стороны, вероятность попасть в промежуток есть разность значений функции распределения на концах промежутка.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для r (х) – её плотности распределения справедливо равенство
Для удобства иногда считают функцию r(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.
Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция r(х), удовлетворяющая двум условиям:
1) r(х) ³ 0;
2)
Определение. Законом распределения непрерывной случайной величины является ее плотность.
Можно задавать случайную величину, задавая функцию r(х), удовлетворяющую этим условиям.
В качестве примера рассмотрим случайную величину Х, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае r(х) постоянна внутри этого промежутка:
По свойству 2) функции r (х)
Отсюда
. График функции
r (х) представлен на рисунке 2.
Замечанание. Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.
Напоминание. Пусть Х – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством
,
называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины Х. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению
. Плотность распределения r (х) называют еще дифференциальной функцией распределения.
Замечание. Определение.Иногда плотность (закон распределения) определяют «в обратную сторону»: Плотность есть подинтегральная функция функции распределения абсолютно непрерывной случайной величины.
.
Замечание.Таким образом, если известна плотность распределения случайной величины, для нахождения функции распределения необходимо взять от нее указанный выше интеграл, а если, наоборот, известна функция распределения, то плотность находится дифференцированием (взятием производной) этой функции.
Нахождение неизвестного параметра плотности находится с помощью свойства 2) – равенства 1 интеграла от плотности по всей числовой оси.
Например, если на всей оси Х r(х) = 2С / (1 + x2) Найти С. Рассмотрев интеграл от r по всей оси, получим С = 1/2p
Отступление.