Раздел 1.4.3. Понятие случайной величины с абсолютно непрерывным законом распределения

Определение. Случайная величина, принимающая несчетное число значений (значения которой заполняют некоторый промежуток) и имеющая плотность, называется случайной величиной с абсолютно непрерывным законом распределения или (абсолютно) непрерывной случайной величиной..

В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полу­бесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).

При описании непрерывной случайной величины невозможно выписать и пронумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество.

Замечание. Вернемся к нашей аналогии со стержнем. Теперь на нем не точечные массы, а сам он представляет собой стержень переменной плотности, протянувшийся от наименьшего до наибольшего значения случайной величины. Очевидно, что вопрос о массе в конкретной точке теперь невозможно поставить, а можно лишь говорить о массе, распределенной в некотором объеме (на некотором участке нашего стержня).

Таким образом, вместо вероятности-массы мы получаем плотность (вероятности). Из-за схожести физической и вероятностной плотности последнюю чаще всего обозначают, как в физике, буквой ρ (греческая ро). Другой распространенный вариант – р – подчеркивает связь с вероятностью.

Замечание. Если Х – непрерывная случайная величина, то равенство Х = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что, однако, не влечёт за собой невозможности события. Поэтому, применительно к абсолютно непрерывным случайным величинам, говорят только о вероятности попасть в промежуток.

Пусть Х – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < Х < х + Dх

P(х < Х < х + Dх).

Здесь Dх – величина малого интервала.

Очевидно, что если Dх ® 0, то P(х < Х < х + Dх)® 0. Обозначим r(х) предел отношения P(х < Х < х + Dх) к при Dх ® 0, если такой предел существует:

Функция r(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из этой формулы следует равенство, справедливое для малых величин Dх, которое также можно считать определением функции r(х):

P(х < Х < х + Dх) r(x)Dх

Очевидно, что r(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина Х примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x₁, х₂,¼, х_n удовлетворяющие условию а=х₀<х₁<x₂<¼<x_n<b=x_n+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х₀, х₁), [х₁, х₂), ¼,[х_n, b]. Введём обозначения:

Dх₀= х₁ – х₀, Dх₁= х₂ – х₁, ¼, Dх_n = b – х_n,

и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина Dх_i стремится к нулю. Будем считать функцию r (x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:

P(a £ Х £ b) = (3)

Рис. 1

Замечание. Это равенство можно также рассматривать как определение функции r (х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х₁, х₂) равна площади фигуры, образованной отрезком [х₁, х₂] оси х,графиком функции r(х) и вертикальными прямыми х = х₁, х = х₂, как изображено на рисунке 1.

Замечание. С другой стороны, вероятность попасть в промежуток есть разность значений функции распределения на концах промежутка.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для r (х) – её плотности распре­деления справедливо равенство

Для удобства иногда считают функцию r(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция r(х), удовлетворяющая двум условиям:

1) r(х) ³ 0;

2)

Определение. Законом распределения непрерывной случайной величины является ее плотность.

Можно задавать случайную величину, задавая функцию r(х), удовлетворяющую этим условиям.

В качестве примера рассмотрим случайную величину Х, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае r(х) постоянна внутри этого промежутка:

По свойству 2) функции r (х)

Отсюда . График функции

r (х) представлен на рисунке 2.

Замечанание. Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

Напоминание. Пусть Х – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством

,

называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины Х. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения r (х) называют еще дифференциальной функцией распределения.

Замечание. Определение.Иногда плотность (закон распределения) определяют «в обратную сторону»: Плотность есть подинтегральная функция функции распределения абсолютно непрерывной случайной величины.

.

Замечание.Таким образом, если известна плотность распределения случайной величины, для нахождения функции распределения необходимо взять от нее указанный выше интеграл, а если, наоборот, известна функция распределения, то плотность находится дифференцированием (взятием производной) этой функции.

Нахождение неизвестного параметра плотности находится с помощью свойства 2) – равенства 1 интеграла от плотности по всей числовой оси.

Например, если на всей оси Х r(х) = 2С / (1 + x²) Найти С. Рассмотрев интеграл от r по всей оси, получим С = 1/2p

Отступление.