Отступление. Напомним основные положения комбинаторики-

– раздела дискретной математики, отвечающего на вопрос, сколькими способами можно выполнить некоторое действие. Они понадобятся нам для определения числа исходов, образующих событие (благоприятствующих ему) и использования в решении задач классического определения вероятности

Комбинаторные формулы и правила

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m· n способами.

Замечание. Набор (множество) элементов, для которых важен порядок следования, называется упорядоченным.

Правило (Принцип) Дирихле. Если вы хотите распределить n объектов по m (условным) ящикам, причем m строго меньше , m<n, то найдется по крайней мере один ящик, в котором будет находиться больше одно объекта

Замечание. Иногда можно встретить этот принцип под названием «принцип голубей» (рассаживание голубей по клеткам, в переводной литературе) или принцип кроликов (рассаживание кроликов по ящикам, в отечественной)

Определение. Множество (набор элементов) называется упорядоченным, если в нем важен порядок следования элементов. В противном случае множество называется неупорядоченным. Примером упорядоченных множеств могут служить номера телефонов, порядок лекций в расписании, набор цифр при последовательном наборе кода замка. Неупорядоченных – набор цифр кода при одновременном наборе цифр, множество членов семьи и пр.

Определения.

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его U_n. Перестановкой из n элементов называется заданный упорядоченный набор всех элементов множества U_n.

Примеры перестановок:

1)распределение n различных должностей среди n человек;

2)расположение n различных предметов в одном ряду.

Сколько различных перестановок можно образовать во множествеU_n? Число перестановок обозначается P_n (читаетсяР из n).

Чтобы вывести формулу числа перестановок, вспомним правило произведения и представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2,...n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы U_nв этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно n-1 способом заполнить вторую ячейку (иначе: при каждом способе заполнения первой ячейки находится n-1 способов заполнения второй ячейки). Таким образом существует n(n-1) способов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти n-2 способов заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно . Отсюда

P_n = n(n - 1)(n - 2)...×3×2×1

Число n(n - 1)(n - 2)...×3×2×1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется факториалом (читается "n-факториал") и обозначается n!. Отсюда P_n = n!

Пример. Сколькими способами можно поставить в шеренгу 5 человек? .

Замечание .По соглашению считается: 1!=1; 0!=1.

Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества U_n-(множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается (читается "А из n по k").

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета

1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

Для подсчета используем тот же метод, что использовался для подсчета P_n ,только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно заполнить n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить n-1 способами. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней k-й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых k-1 ячейках можно заполнить n-(k-1) способами (или n-k+1). Таким образом, все k ячеек заполняются числом способов, равным

Отсюда получаем:

Пример. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Замечание. При этом, если немного изменить условие на выбор 4 специалистов в состав одной делегации , то подмножество станет неупорядоченным, порядок следования специалистов неважен (не привязан к странам), важно лишь наличие того или иного человека в группе.

Замечание. В задачах о размещениях полагается k<n. В случае, если k=n, легко получить То есть перестановку из n элементов можно назвать размещением из n элементов по n.

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества U_n(множества, состоящего из n элементов).

Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается (читается "C из n по k").

Замечание. Очевидно, что число сочетаний из n элементов по k элементов меньше числа размещений n элементов по k элементов в k! (число перестановок из k элементов) раз

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа сочетаний:

1) Сколькими способами можно из 15 человек выбрать 6 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг?

Выведем формулу для подсчета числа сочетаний. Пусть имеется множество U_nи нужно образовать упорядоченное подмножество множества U_n, содержащее k элементов (то есть образовать размещение). Делаем это так:

1) выделим какие-либо k элементов из n элементов множества U_nЭто, согласно сказанному выше, можно сделать способами;

2) упорядочим выделенные k элементов, что можно сделать способами. Всего можно получить вариантов (упорядоченных подмножеств), откуда следует: ,то есть

Пример: 6 человек из 15 можно выбрать числом способов, равным

Замечание. В англоязычной литературе (и в некоторых отечественных учебниках) принято другое обозначение для числа сочетаний из n по k :

Задачи на подсчет числа подмножеств конечного множества называются комбинаторными. Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи.

1.Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех различных заказов. Сколькими способами можно разместить заказы?

Так как все заводы различны, и из условия ясно, что каждый завод может либо получить один заказ, либо не получить ни одного, здесь нужно считать число размещений

2.Если из текста задачи 1 убрать условие различия трех заказов, сохранив все остальные условия, получим другую задачу. Теперь способ размещения заказов определяется только выбором тройки заводов, так как все эти заводы получат одинаковые заказы, и число вариантов определяется как число сочетаний.

3.Имеются 7 заводов. Сколькими способами организация может разместить на них три различных производственных заказа? (Заказ нельзя дробить, то есть распределять его на несколько заводов).

В отличие от условия первой задачи, здесь организация может отдать все три заказа первому заводу или, например, отдать два заказа второму заводу, а один - седьмому.

Задача решается так. Первый заказ может быть размещен семью различными способами (на первом заводе, на втором и т.д.). Разместив первый заказ, имеем семь вариантов размещения второго (иначе, каждый способ размещения первого заказа может сопровождаться семью способами размещения второго). Таким образом, существует 7×7=49 способов размещения первых двух заказов. Разместив их каким-либо образом, можем найти 7 вариантов размещения третьего (иначе, каждый способ размещения первых двух заказов может сопровождаться семью различными способами распределения третьего заказа). Следовательно, существуют 49×7=7³ способов размещения трех заказов. (Если бы заказов было n, то получилось бы 7ⁿ способов размещения).

4.Как решать задачу 3, если в ее тексте вместо слов "различных производственных заказа" поставить "одинаковых производственных заказа"?

5.Добавим к условию задачи 1 одну фразу: организация также должна распределить три различных заказа на изготовление деревянных перекрытий среди 4-х лесопилок. Сколькими способами могут быть распределены все заказы?

Каждый из способов распределения заказов на заводах может сопровождаться способами размещения заказов на лесопилках. Общее число возможных способов размещения всех заказов будет равно