I.II. Асимптотический метод расчета пластин
Для прямоугольной пластины с закреплением, отличным от шарнирного опирания, по противолежащим сторонам, применяют различные приближенные методы. Рассмотрим асимптотический метод.
В пластинках, так же как и в балках, имеет место динамический краевой эффект, который заключается в том, что закрепление влияет на форму колебания только вблизи границы, а вдали от нее форма колебания определяется произведением синусов. Благодаря этому колебания можно представить как сумму функции гармоник и быстро затухающих с удалением от границ функций, которые позволяют выполнить граничные условия.
Рассмотрим применение этого метода на примере заделанной по контуру прямоугольной пластины размерами , у которой, как и ранее, размер а соответствует оси x. Ограничимся расчетом симметричных относительно осей
форм колебаний. В средней части пластины (начало координат располагается в центре тяжести пластины) принимаем
Вблизи границ :
где - быстро изменяющаяся функция, позволяющая удовлетворить условиям закрепления.
Аналогично вблизи границ :
Таким образом, общее выражение для имеет вид
В средней части пластинки функции и
пренебрежимо малы и поэтому первый член выражения должен удовлетворять уравнению колебаний. Отсюда находим
Вблизи границ существенными являются первый и второй члены выражения. Учитывая, что первый член удовлетворяет уравнению, потребуем, чтобы и второй удовлетворял ему:
Выполняя дифференцирование, приходим к уравнению:
которое распадается на два уравнения:
Так как , то затухающие решения имеет только первое из этих уравнений. Решение, затухающее с удалением от стороны
, имеет вид
где
В силу симметрии вблизи стороны :
Аналогично вблизи стороны :
где
и вблизи стороны :
Рассмотрим граничные условия при :
При вычислении и
учтем, что практически вдоль всей стороны
, за исключением окрестностей угловых точек, функция
равна нулю, поэтому
определяется первыми двумя слагаемыми выражения:
Для одновременного выполнения этих уравнений необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при и
, равнялся нулю, что приводит к уравнению:
Аналогично условия при приводят к уравнению:
Так как связаны с
, то определяем значения
и
, а затем вычисляем
и частоты:
Рассмотрим, например, колебания квадратной пластинки с одинаковым числом узловых линий в направлениях . В этом случае
и уравнения приводят к зависимости:
,
откуда
Частоты колебаний определяются формулой:
Достаточно хороший результат получается уже для низшей частоты:
Точное значение:
Как видно из вышеизложенного, при использовании асимптотического метода погрешность возникает вследствие приближенного выполнения граничных условий вблизи угловых точек.