Раздел 4. Дискретные случайные величины.

Пусть производится некоторое испытание, результатом которого является одно из несовместных случайных событий Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru (число событий или конечно или счетно, то есть события можно пронумеровать). Каждому исходу Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru поставлено в соответствие некоторое действительное число Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru , то есть на множестве случайных событий задана действительная функция Х со значениями Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru . Эта функция Х называется дискретной случайной величиной (термин «дискретная» используется потому, что значения случайной величины – это отдельные числа, в отличии от непрерывных функций). Поскольку значения случайной величины изменяются в зависимости от случайных событий, то основной интерес представляют вероятности, с которыми случайная величина принимает различные числовые значения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы. Для дискретной случайной величины законом распределения является совокупность пар чисел ( Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru ), где Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru – возможные значения случайной величины, а Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru – вероятности, с которыми она принимает эти значения: Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru . При этом Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru .

Пары Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru можно рассматривать, как точки в некоторой системе координат. Соединив эти точки отрезками прямых, мы получим графическое изображение закона распределения – многоугольник распределения. Чаще всего закон распределения дискретной случайной величины записывается в виде таблицы, в которую внесены пары Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru .

X Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru
p Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru

Пример. Монета подброшена два раза. Составить закон распределения числа выпадения «гербов» в данном испытании.

Решение. Случайная величина Х – число выпадений «герба» в данном испытании. Очевидно, что Х может принимать одно из трех значений: 0, 1, 2. Вероятность появления «герба» при одном подбрасывании монеты равна р=0,5, а выпадения «решки» q = 1 – p = 0,5. Вероятности, с которыми случайная величина принимает перечисленные значения, найдем по формуле Бернулли: Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru .

Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru

Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru

Закон распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы распределения

Х
Р 0,25 0,5 0,25

Контроль: Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru .

Некоторые законы распределения дискретных случайных величин, часто встречающиеся при решении различных задач, получили специальные названия: геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, распределение Пуассона и другие.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения F(x), которая равна вероятности того, что случайная величина Х будет принимать значения на промежутке (-¥,х): F(x) = P(X<x).

Функция F(х) определена на всей действительной оси и обладает следующими свойствами:

1) £ F(х) £ 1;

2) F(х) – неубывающая функция;

3) F(-¥) = 0, F(+¥) = 1;

4) F(b) – F(a) = P(a £ X < b) – вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке [a,b).

График функции F(x) для дискретной случайной величины состоит из отрезков прямых и лучей, параллельных оси ОХ или совпадающих с ней.

Пример. Случайная величина Х задана таблицей распределения:

Х - 1
Р 0,1 0,3 0,4 0,2

Составить функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график.

Решение. Если х£-1, то F(x)=P(X<x)=0;

если –1<x£2, то F(x)=P(X<x)=P(X=-1)=0;

если 2<х£3, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4;

если 3<x£5, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)=0,1+0,3+0,4=0,8;

если х>5, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)+ Р(Х=5)=1

Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru

Построим график (рис. 3).

Раздел 4. Дискретные случайные величины. - student2.ru

Рис. 1. График функции распределения.

Наши рекомендации