Практическая работа 2. Анализ моделей на чувствительность к изменению параметров.
Цель: Ознакомить студентов с методикой постановки задач линейного программирования и способом графического их решения.
В результате проработки темы студент должен научиться переводить словесное описание задачи в математическую постановку в виде линейных уравнений, неравенств, определять область допустимых решений и графически находить оптимальное решение задачи.
Актуальность темы: Постановка задач является ключевым моментомпри математическом моделировании. Графический метод решения – простейший для задач линейного программирования.
Теоретическая часть
На основе известных законов (природы, физики, экономики и других) составляются уравнения, неравенства или их системы, описывающие либо равновесие спроса и предложения, либо баланс материальных и денежных ресурсов, а также физические законы сохранения материи, энергии, вещества, соотношения денежного обмена и т. п. Составление этих математических задач как раз и является сутью математического моделирования, а результаты их решения описывают различные аспекты моделируемого явления.
Задания к практическому занятию.
Составить математическую модель и решить задачу в соответствии со своим вариантом.
Базовый уровень:
(Варианты 1 – 30)
ЗАДАНИЕ 1.
Построить математическую модель задачи линейного программирования.
1.1. Для производства двух видов изделий A и B предприятие использует три вида сырья. Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий B надо выпустить не менее, чем изделий A. Запасы сырья 1,2,3 видов, прибыль от реализации 1 изделия в условных денежных единицах, а также нормы расхода сырья на 1 кг. изделия заданы таблицей:
| Вид сырья | Нормы расхода сырья на 1 кг изд. | Запасы сырья, кг | |
| A | B | ||
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| Прибыль от реализации 1 изд., усл. ед. | ___ |
1.2. Озеро можно заселить двумя видами рыб: А и В. Средняя масса рыбы равна 2 кг для вида А и 1 кг для вида В. В озере имеется два вида пищи: Р1 и Р2, средние потребности одной рыбы вида А составляет одна единица корма Р1 и 3 ед. корма Р2 в день. Аналогично для рыб вида В – 2 ед. и 3 ед. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне 500 ед. вида Р1 и 900 ед. вида Р2. Как следует заселить озеро рыбами, чтобы максимизировать общую массу рыб?
1.3. Завод может изготовить два типа изделий. Изделия проходят обработку в трех цехах. В планируемом периоде требуется изготовить хотя бы по одному изделию каждого типа. Определить производственную программу завода для получения максимальной прибыли
| № цеха | Трудоемкость изготовления одного изделия в тыс. нормо-часов | Полезный фонд времени работы в тыс. нормо-часов | |
| I | II | ||
| I | |||
| II | |||
| II | |||
| Прибыль в млн. р. | --- |
1.4. Для изготовления шкафов и сервантов дерево отделочный завод применяет древесину 4-х видов. Запасы древесины, кол-во единиц древесины каждого вида , необходимых для изготовления одного шкафа и одного серванта, а также прибыль от реализации ед. продукции даны в таблице. Составить такой план выпуска продукции, который обеспечил бы наибольшую прибыль от реализации продукции.
| Изделие | Древесина | Прибыль | |||
| Шкаф | |||||
| Сервант | |||||
| Запасы древесины |
1.5. Для изготовления шкафов и столов употребляется два вида древесины. Расход каждого вида древесины на каждое изделие задано таблицей (в куб. м.). Доход мастерской от реализации одного стола – 12 усл. ед., а шкафа – 15 усл. ед. Определить, сколько столов и шкафов должна произвести мастерская, чтобы обеспечить максимальный доход.
| Изделие | Древесина | |
| I | II | |
| Стол | 0,15 | 0,2 |
| Шкаф | 0,2 | 0,1 |
| Запасы древесины |
1.6. Кирпичный завод выпускает кирпичи двух марок. Для их изготовления применяется глина трех видов А, В и С, по месячному плану завод должен выпускать 10 усл. ед. кирпича марки I и 15 усл. ед. кирпича марки II. В таблице указаны расходы глины разных видов для производства 1 усл. ед. кирпича каждой марки и месячный запас глины. Какова наибольшая прибыль, если известно, что от реализации 1 усл. ед. кирпича марки I завод получает прибыль 4 ден. ед., а марки II – 7 ден. ед. Сравнить с плановой прибылью.
| Марка кирпича | Кол-во глины на 1 усл. ед. кирпича | ||
| А | В | С | |
| 1(I) | |||
| 2(II) | |||
| Запасы глины |
1.7. Имеются два склада готовой продукции А 
и А 
с запасами однородного груза 300 и 200 т. Груз необходимо доставить трем потребителям В , В и В 
в количестве 100, 150, 250 т. соответственно. Стоимость перевозки 1 т. груза из склада А потребителям В , В и В равна 5,3,6 денежных единиц, а из склада А тем же потребителям- 3, 4,2 д.е. соответственно. Составить план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.
1.8. Завод располагает 36 тоннами стали. Из этой стали можно изготовить либо комбайны, либо тракторы. На каждый комбайн уходит 4 т стали, а на трактор – 800 кг. Доход от продажи одного комбайна 2 тыс. рублей, а от одного трактора – 300 руб. Какой должна быть производственная программа завода, чтобы доход от продажи был наибольшим? На какой доход может располагать завод, если он должен в планируемом периоде выпустить не менее пяти тракторов? На сколько % максимальный доход предприятия больше этого дохода?
1.9. Для производства двух видов изделий А и В. используются три типа технологического оборудования. На производство ед. изделия А оборудования I типа используется 3 часа, II типа – 4 часа, оборудование III типа – 5 ч. На производство единицы продукции В соответственно 6 ч., 3ч и 2ч. На производство всех изделий предприятие может представить оборудование I типа не более чем на 102 часа, II типа – не более чем на 91 час, III типа – не более чем на 105 часов. Прибыль от реализации ед. изделия А составляет 7 руб., а от изделия В – 9 руб. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
1.10. На промышленном предприятии изготавливается 2 вида продукта 1 и 2. Эта продукция производится с помощью оборудования U1, U2 и U3, которое в течение дня может работать соответственно 24000, 27000 и 40000 сек. Нормы времени необходимы для производства единицы продукции с помощью соотв. оборудования приводятся в таблице. Прибыль от производства изделия 1 составляет 9 ед., а изделия 2 – 6 ед. Найти такой объем производства, чтобы прибыль была максимальной (24000 сек = 24тыс. сек ).
| Изделия | Оборудование | ||
| U1 | U2 | U3 | |
| 1 | |||
| 2 | |||
| Время работы в течение дня |
1.11. Завод изготавливает 2 вида изделий на экспорт с помощью машин U1 и U2. Максимальное время работы машин U1 – 8 часов, а машин U2 – 12 часов в сутки. Расход времени машин в сутки представлен в таблице (в час). Валютная прибыль 1 сост. 3 долл., а 2 – 4 долл. Рассчитать производственный план на сутки при max валютной прибыли.
| Изделие | Машины | |
| U1 | U2 | |
| 1 | 2,5 | |
| 2 | ||
1.12. Предприятие выпускает два вида изделий. Эта продукция производится с помощью оборудования U1, U2 и U3, максимальный ходовой фонд времени каждого составляет соответственно 24000, 50000 и 42000 часов. Данные о затрате времени работы оборудования на производство ед. изделия приведены в таблице. Прибыль от производства изделия 1-го вида составляет 10 ед., а второго – 5 ед. Найти такой производственный план, чтобы прибыль была максимальной.
| Изделие | Затраты времени оборудования | ||
| U1 | U2 | U3 | |
| 1 | |||
| 2 |
1.13. Предприятие имеет три типа металлообрабатывающих станков А, В и С, на которых изготовляются изделия вида 1 и 2. Изделия 1-го вида вырабатываются на станках А и С, а 2-го вида на станках всех трех видов, т.е. А, В и С. Производственная мощность станков отдельных типов представленная в таблице. Прибыль на ед. изделия составляет 2 усл. ед., на изделие 2- 4 усл. ед. Определить такие объемы производства изделий 1 и 2, чтобы предприятие получило максимальную прибыль.
| Тип станка | Производственная мощность (тыс. штук в год) |
| А | 6 изделий 1 или 6 изделий 2 |
| В | 4 изделия 2 |
| С | 5 изделий 1 или 10 изделий 2 |
1.14. Производственная мощность цеха сборки составляет 120 изделий типа А и 360 изделий типа В. Технический контроль пропускает в сутки 200 изделий того или иного типа. Изделие типа А вчетверо дороже изделий типа В. Требуется спланировать выпуск отвой продукции та, чтобы предприятие получило наибольшую прибыль.
1.15. Колхоз отвел три земельных массива размером 5000, 8000, 9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана с таблице. За 1 ц. Ржи колхоз получает 2 ден.ед., за 1 ц., пшеницы – 2,8 д.е., за 1 ц., кукурузы – 1,4 д.е. Сколько гектаров и на каких массивах колхоз должен отвести на каждую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если он планирует сдать не менее 1900 т. ржи, 158000 т. пшеницы т 30000 т. кукурузы?
| Посевы | Массивы | ||
| Рожь | |||
| Пшеница | |||
| Кукуруза |
1.16. Для изготовления изделий двух видов склад может отпустить металла не более 80 кг, причем на изделие I вида 2 кг, а на изделие II вида – 1 кг металла. Требуется спланировать производство так, чтобы обеспечить наибольшую прибыль, если известно, что изделий I вида требуется не более 30 шт., а второго – не более 40 шт., причем одно изделие I вида стоит 5 руб., а II вида – 3 руб.
1.17. Информации о производстве двух видов продукции дана в таблице. Решить задачу оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости.
| Ресурсы | Нормы затрат на ед. продукции | Запасы | |
| I | II | ||
| Труд | |||
| Сырье | |||
| Оборудование |
1.18. На двух станках №1 и №2 производится два вида продукции А1 и А2. Для изготовления ед. продукции А1станок №1 использует 2 часа, а станок №2 – один час; для А2 соответственно 1 час и 2 часа. В течение суток станок №1 может работать не более 10 часов, а №2 – не более 8 часов. Составить план, обеспечивающий производству наибольшую прибыль, если прибыль от реализации ед. продукции А1 составляет 5 руб., а ед. продукции А2 – 2 руб.
1.19. Имеются два изделия, которые должны в процессе производства пройти обработку на четырех станках: 1,2,3,4. Время обработки каждого изделия на каждом из этих станков задано таблицей. Станки 1,2,3 и 4 вида можно использовать соответственно в течение 45,100,300 и 50 часов. Продажная цена изделия А-6 руб., В- 4 руб.В каком отношении следует производить изделия А и В, чтобы получить максимальную прибыль?
| Станки/ Изделия | ||||
| А | ||||
| В |  |
1.20. Фермер имеет 10 га пашни и 460 человек трудовых ресурсов планирует использовать на производство картофеля и лука с целью получения максимальной прибыли. Сбыт по видам не ограничен.
| Покупатели | Картофель | Лук |
| Затраты труда на 1 га, чел-дней | ||
| Урожайность, ц/га | ||
| Себестоимость 1ц. в тыс. руб. | ||
| Цена реализации 1ц, тыс. руб. |
1.21. Для изготовления продукции 2-х видов А и В требуется использовать сырье четырех видов S1, S2, S3 и S4 . Запасы сырья ограничены и выражены в условных единицах. Кол-во ед. сырья, необходимое для изготовления ед. каждого из видов продукции, и от реализации ед. продукции даны в таблице. Составить план выпуска продукции, чтобы доход был максимальный.
| Группы оборудования | Виды продукции | Кол-во оборудования в группе | |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Д | |||
| Доход |
1.22. На производство товарного картофеля и лука выдан участок пашни 200 га и 8500 чел.-дней трудовых ресурсов. Найти оптимальное сочетание площадей их размещения с целью получения максимальной прибыли. Сбыт продукции по видам не ограничен.
| Покупатели | Картофель | Лук |
| Затраты труда на 1 га чел./дней | ||
| Урожайность, ц/га | ||
| Себестоимость,1ц в руб. | ||
| Цена реализации 1ц е.руб. |
1.23. Для изготовления продукции 2-х видов А и В требуется использовать сырье четырех видов S1, S2, S3 и S4 . Запасы сырья ограничены и выражены в условных единицах. Кол-во ед. сырья, необходимое для изготовления ед. каждого из видов продукции, и от реализации ед. продукции даны в таблице. Составить план выпуска продукции, чтобы доход был максимальный.
| Виды сырья | Виды продукции | Запасы | |
| А | В | ||
| S1 | |||
| S2 | |||
| S3 | |||
| S4 | |||
| Доход | --- |
1.24. На предприятии, в составе которого 4 производственных цеха, изготавливают изделия двух видов. Производственные мощности цехов (в часах) в расчете на сутки соответственно составляют m1 = 12, m2 = 8, m3 =16, m4 = 12. Нормы времени, необходимого для для изготовления ед. изделия в соот. цехах, даны в таблице. Прибыль от продажи ед. изделия 1 составляет 2 тыс. усл. ед., а изделия 2 – 3 тыс. усл. ед. Составить такой производственный план, при котором обеспечивается максимальная прибыль.
| Цех | Изделие | mi | |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 |
1.25. Производственный цех деревообрабатывающей промышленности ежемесячно имеет в своем распоряжении 48 м3 пиломатериалов и 45 м3 стекла. В цехах изготавливают два вида шкафов: конторские и библиотечные. Расход материалов на один шкаф каждого вида приведен в таблице. Сбытовая цена конторского шкафа – 2000 усл. ед., а библиотечного – 4000 усл. ед. Определить такой ассортимент производства, при котором месячный доход будет максимальным.
| Вид шкафа | Сырье | |
| Пиломат. | Стекло | |
| Конторский | 0,3 | |
| Библиотечный | 0,3 | 1,5 |
| Запасы |
1.26. Для производства продукции 2 видов В1 и В2 используются три вида сырья А1, А2 и А3 . Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором доход от реализации всей продукции максимален.
| Виды сырья | Запасы сырья | Виды продукции | |
| В1 | В2 | ||
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 | |||
| Доход | -- |
1.27. Четыре овощехранилища каждый день обеспечивают картофелем три магазина. Магазины подали заявки соответственно на 17, 12 и 32 т. Овощехранилища имеют соответственно 20, 20, 15 и 25 т. Составить план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы. Тарифы (в ден. Ед. за 1 т..) указаны в следующей таблице:
| Овощехранилища | Магазины | ||
1.28. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформаторов используются железо и проволока. Общийзапас железа – 3 т., проволоки – 18 т. На один трансформатор первого вида расходуется 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуется 3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает 3 ден.ед., второго – 4 ден. ед. Составить план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.
1.29. Из двух сортов бензина образуются две смеси- А и В. Смесь А содержит бензина 60% 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь В – 80% 1-го сорта и 20% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А 10 д.е., а смеси В – 12 д.е. Составить план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензина 50 т. 1-го сорта и 30 т. 2-го сорта.
1.30. Имеются два элеватора, в которых сосредоточено соответственно 4200 и 1200 т зерна. Зерно необходимо перевезти трем хлебозаводам в количестве 1000, 2000 и 1600 т. каждому. Расстояние от элеватора до хлебозаводов указано в следующей таблице. Затраты на перевозку 1 т продукта на 1 км составляют 25 д.е. Спланировать перевозки зерна из условия минимизации транспортных расходов.
| Элеваторы | Хлебозаводы | ||
Повышенный уровень:
ЗАДАНИЕ 2
Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется 
кг материала первого сорта, 
кг материала второго сорта, 
кг материала третьего сорта. На изготовление единицы изделия вида В расходуется 
кг материала первого сорта, 
кг материала второго сорта, 
кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта 
кг, материала второго сорта 
кг, материала третьего сорта 
кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль 
тыс. руб., а от продукции В прибыль составляет 
тыс. руб. Определить максимальную прибыль от реализации всей готовой продукции видов А и В.
Поставить задачу и решить ее графически. Исследовать модель на чувствительность к изменению параметров.
2.1. 
2.2 
2.3. 
2.4. 
2.5. 
2.6. 
2.7. 
2.8. 
2.9. 
2.10. 
2.11. 
2.12. 
2.13. 
2.14. 
2.15. 
2.16. 
2.17. 
2.18. 
2.19. 
2.20. 
2.21. 
2.22. 
2.23. 
2.24. 
2.25. 
2.26. 
2.27.
2.28. 
2.29. 
2.30. 
Вопросы для самостоятельной работы
Базовый уровень:
1. Чем отличается постановка задачи линейные программирования в канонической форме от постановки в общей форме?
2. В чем заключается геометрическая интерпретация задачи линейного программирования?
3. Чем отличается формулировка задачи линейного программирования от формулировки задачи математического программирования?
4. Что называется допустимым решением задачи линейного программирования?
5. Где следует искать оптимум задачи линейного программирования?
6. Что называется опорным решением ЗЛП?
Повышенный уровень:
7. Что подразумевают под исследованием модели на чувствительность к изменению параметров?
8. Что называют линией уровня целевой функции?
9. Какой вектор называется градиентом?
10. Как определяют направление оптимизации целевой функции?