Здесь исходное уравнение

(1.80)

Если брать n_jспутников, то число независимых разностей будет n_j-1. Тогда, в левой части будет (n_j - 1)n_t – дубль разностей для n_t эпох. Следовательно, должно выполнятся условие

(1.81)

отсюда

(1.82)

при n_j=4 находим

(1.83)

Триппл – разности

Исходное уравнение

(1.84)

можно составить

(1.86)

(1.85)

(1.87)

(1.88)

Таких уравнений необходимо как минимум 12

Рассмотрим некоторые схемы полевых наблюдений.

Статика.

Ref Rover

Рис. 1.24

если приемник Rover находится на одном месте 10 и более минут, а приемник Ref – базовый, то такой режим называется статикой

Быстрая статика

Ref Rover

Rover

Rover

Рис. 1.25

Если Rover находится на одном месте 5-10 минут, то такой режим называется быстрой статикой

Ref Rover Rover Rover

Рис. 1.26

Если Rover движется с остановками (минутными) – полукинематический режим

Кинематика – это фиксирование положения непрерывно движущегося приемника через определенные интервалы времени

Точность кинематического способа 20 см, полукинематического - 10 см, быстрой статики – 5 см, статики – 1 см и менее в зависимости от времени наблюдения спутников [12].

К настоящему времени используется только относительное позиционирование (дифференциальный метод). Суть дифференциального метода заключается в следующем:

Рис.1.24

Приемники находятся в точках А и В. Точка А – исходная, координаты ее известны (в любой системе координат). Ее координаты определяются относительно четырех спутников второй разности. Находятся разности между этими координатами. По этой разности определяются поправки в измерения за счет влияния помех атмосферы и ионосферы. Потом эти поправки вводятся, когда измеряются псевдодальности на пункт В. С учетом этих поправок координаты точек А и В определяются точнее. Например, точка А для Новгородской области находится на здании Новгородского аэрогеодезического предприятия (точечное позиционирование), координаты ее известны.

1.5. Математическая модель планирования измерений и расчет базовых линий

Рис.1.25

Точка М – район выполнения геодезических работ

Плоскость ij – плоскость горизонта. Положение спутника относительно приемника определяется азимутом, углом наклона и дальностью.

Планирование измерений заключается в том, чтобы, во-первых, обеспечить количество пунктов видимых над горизонтом больше четырех, во-вторых, созвездие спутников должно быть так конфигурировано, чтобы приращение координат определялись с максимальной точностью. Отметим, что наименьшая высота спутника над горизонтом должна быть 15° (ν). Для определения точностных параметров планирования вводятся следующие показатели:

GDOP(geometric dilution of precision) – понижение точности из-за геометрического фактора

РDOP(position dilution of precision) – понижение точности вызванное положением спутника

ТDOP(time dilution of precision) – понижение точности вызванное временным фактором

НDOP(horizontal dilution of precision) – параметр, характеризующий точность положения точки в системе ху, где ось х-направлена на север, у – на восток

VDOP(vertical dilution of precision) – положение точки по высоте

Известно, что положение приемника определяется линейной засечкой со спутников. Линейная засечка должна быть не очень тупой и не очень острой. Пространственные засечки определяются углом наклона υ спутника над горизонтом. Этот угол υ – называется углом подсечки.

υ

Рис.1.26

При планировании задача состоит в том, что бы определить время суток при котором:

1. углы подсечки оптимальные;

2. имеется достаточное количество спутников и вследствие этого GDOP, PDOP, HDOP, VDOP допустимы.

Теоретическая суть планирования заключается в следующем: при заданных средних координатах φ‚ λ района работ (это могут быть координаты (B,L) с точностью до десятых долей градусов) и заданном времени t определить положение A_i, υ_i наблюдаемых спутников и выделить те из них для которых PDOP допустимое.

Объясним, как определяются GPOD, VDOP, TDOP,HDOP, PDOP.

В основу выводов полагается система линейных уравнений (1.39)

(1.89)

Согласно МОГИ (параметрического способа уравнивания), на основе этих уравнений поправок точечного позиционирования можно составить матрицу нормальных уравнений:

= N (1.90)

Корреляционная матрица неизвестных в параметрическом способе уравнивания равна

(1.91)

(1.92)

GDOP= (1.93)

PDOP = (1.94)

TDOP= (1.95)

На практике можно подобрать такие спутники, чтобы эти величины были минимальны.

Из выведенных выражений следует, что минимизировать можно каждое из них, но обычно находят минимум одной из них, например PDOP

PDOP = (1.96)

Находится на этапе планирования измерений такое время наблюдения определенных спутников, при котором PDOP=min. Или, наоборот, подбираются такие спутники, чтобы достигался указанный минимум.

Для этого составляется электронная карта положения траекторий спутников, видимых над горизонтом в данном месте производства работ (для любого момента времени). Для построения такой карты используется топоцентрическая система координат. Считаем, что координаты точки А известны:

φ, λ – средняя широта и долгота средней точки административного района (точность координат 0,1°)

Для каждого спутника необходимо найти две величины: азимут - А и угол наклона над горизонтом – ν, т.е. необходимо составить как минимум 2 уравнения.

след

90-ν

Рис.1.27

Решение: вводится понятие единичного вектора псевдодальности , т.е. такого вектора модуль которого равен единице

.

Базовыми для решения являются три уравнения скалярного произведения единичного вектора на единичные векторы i, j, k

a

υ b

m

Рис.1.28

В общем виде скалярное произведение (рис.1.28) выражается формулой

(1.97)

Для применения данной формулы необходимо знать углы , составляемые вектором и векторами i, j, k, или косинусы этих углов - направляющие косинусы.

Для вычисления направляющих косинусов установим связь между координатами произвольной точки в системе координат ijk и в системе, образованной вектором и плоскостью, образующей след (рис.1.28)в плоскости ij.

Такая связь представляется следующей зависимостью

,

или

(1.98)

Все элементы настоящей матрицы – направляющие косинусы, причем последняя строка -направляющие косинусы вектора относительно векторов i,j,k. Очевидно, что тогда можно записать искомые скалярные произведения

(1.99)

(1.100)

(1.101)

Z k

i

j

φ

у

Х

Рис.1.29

В этих уравнения должны быть известны левые части, то есть значения скалярных произведений, а именно , , . Скалярные произведения не зависят от системы координат, поэтому для простоты составим их в геоцентрической системе координат в виде следующих выражений:

(1.102)

Заменим составляющие в скалярном произведении их значениями , ,

(1.103)

(1.104)

Координаты , , - обычно известны в геоцентрической системе координат, если известны φ,λ или В, L. Тогда по правилам высшей геодезии можно вычислить геоцентрические координаты точки А. По геоцентрическим координатам находят приращения , а вычисление значений в геоцентрической системе покажем на примере вектора i. Найдем вначале проекцию iпр вектора i на плоскость экватора (рис.1.30).

Рис.1.30

Она будет равна

iпр=i cos(90-φ)

Проекции этой величины на оси X,Y, согласно рис.1.31 будут равны

Рис.1.31.

ix=iпр cosL=- i cos(90-φ) cosL

iy=iпр sinL=- i cos(90-φ) sinL

Одновременно из рис.1.30 следует, что

iz=i sin(90-φ)= i cosφ

Поскольку вектор i единичный, то очевидно, что

(1.105)

Знак минус в данных выражениях обозначает обратное направление оси i к осям Х,У.

Аналогично находятся составляющие векторов j и k.

(1.106)

(1.107)

Все составляющие векторов найдены. Образуя из них скалярные произведения и подставляя эти произведения в исходные уравнения(1.99-1.101), получают 3 уравнения с двумя неизвестными А и ν

(1.108)

	(1.109)

	(1.110)

Из этих уравнений находятся А и ν для определенного спутника для каждого момента времени и строится карта его орбиты.

В табл. 1 в качестве примера для определенных моментов времени приведены значения А и ν. Соответствующая карта орбиты спутника приведена на рис.1.32

Таблица 1. Полярные координаты спутника

Номера по порядку	Время в часах московского времени	А в градусах	ν в градусах
	9.00
	12.00
	15.00

Рис.1.32

По данной карте выбираются те спутники, при которых точность определения максимальная (т.е. PDOP – min). Номера спутников передаются в программу приемника, с них принимаются сигналы, а потом вычисляются приращения. Приращения координат определяются в геоцентрической системе координат (т.е. в спутниковой системе координат). Но необходимо иметь эти приращения в топоцентрической системе координат или в проекции Гаусса-Крюгера.