Математическая модель уравнивания сети
Для уравнивания сети рассмотрим задачу:
Рис.1.48
Пусть имеется геодезическая сеть с исходными пунктами А,В,С(рис.1.48); определяемые пункты – 1,2,3, по каждой стороне измерены приращения координат ∆x,∆y,∆z в геоцентрической системе координат; координаты пунктов А,В,С – даны в проекции Гаусса-Крюгера. Найти координаты пунктов 1,2,3, в этой же проекции
Решение:
1) Координаты исходных пунктов А,В,С перевычисляют из проекции Гаусса-Крюгера в геодезические координаты (x,y → B,L)
2) По широтам и долготам B,L и геодезическим высотам исходных пунктов Н(рис.1.49) находят прямоугольные геоцентрические координаты x,y,z.
|
|
|
Рис.1.49
Найденные x,y,z относятся к не системе WGS-84, а к системе СК-42 (можно вместо СК-42 принять СК-53, если x и y даны в системе СК-53). Поскольку между СК-42 и WGS-84 есть различия, то необходимо установить связь между этими системами.
Рис.1.50
Связь между ними определяется 6 элементами – тремя линейными элементами ориентирования системы С1,С2, С3(рис.1.50) и 3 угловыми элементами α1,α2,α3 (углами Эйлера), седьмой элемент связи – масштабный фактор М.
Через Т обозначим систему СК-42, S - WGS-84.
Запишем уравнение связи между этими системами:
(1.51)
,где
Неизвестными элементами в данной системе являются элементы ориентирования α1,α2,α3, М,с1,с2,с3.
Их нужно найти для того, чтобы перевычислить измеренные приращения координат из системы WGS-84 в систему СК-42 и выполнить уравнивание всей сети в системе СК-42 или наоборот – перевычислить координаты пунктов А,В,С в систему WGS-84 и обработать всю систему в WGS-84.
В (1.51) матрица П определяется так
(1.52)
где
(1.53)
(1.54)
(1.55)
Поскольку углы Эйлера небольшие, то систему (1.51) записывают еще и так
(1.56)
В уравнении (1.51) или (1.56) 7 неизвестных. Для определения этих неизвестных нужно составить 7 и более уравнений для пунктов, координаты которых известны в обоих системах (такие пункты называются идентичными). Эта система нелинейная, ее приводят к линейномувиду – разложением в ряд Тейлора по неизвестным параметрам.
Приближенные значения неизвестных параметров принимаются такие:
На этом основании составляется линейное уравнение поправок:
+ (1.57)
Свободные члены l 1,l2,l3 – это разность между координатами идентичной точки в системе S? вычисленны по приближенным значениям параметров связи и заданными. Из решения по МНК находят поправки в приближенные значения параметров и вычисляют:
По полученным параметрам перевычисляют измеренные координаты из WGS-84 в СК-42. Уравнивают сеть и вычисляют координаты пунктов 1,2,3 в системе СК-42. Далее из x,y,z переходят в B,L,H, от B,L,H переходят к x,y,Н (проекция Гаусса-Крюгера).
Замечание: поскольку измеряются приращения координат, то для преобразования значения с1,с2,с3 не нужны, а только лишь α1,α2,α3, М. Тогда уравнение связи по приращениям координат составляется так:
Пусть для пункта А можно записать
(1.58)
Для пункта В :
(1.59)
Для приращения координат:
(1.60)
Разложением в ряд Тейлора по неизвестным α1,α2,α3,М составляют систему линейных уравнений:
(1.61)
В данном случае - вектор поправок в измеренные приращения координат, и - векторы поправок в координаты определяемых пунктов.
Если приращения координат измерены между исходными пунктами,
то уравнение (1.62) можно записать так
(1.62)
Из решения (1.62) по методу наименьших квадратов находят поправки в приближенные значения углов Эйлера и масштаба. По исправленным значениям этих величин перевычисляют измеренные приращения из WGS-84 в СК-42
(1.63)
Уравнивают сеть в СК-42, находят X,Y,Z.
По известным формулам высшей геодезии переходим из геоцентрической системы СК-42 в геодезическую. После – из геодезической системы по широтам и долготам (В,L,H) вычисляем координаты в системе Гаусса-Крюгера (x,y,h)
Нормальные высоты (высоты над уровнем моря) находят по формуле
(1.64)
где Н - высота точки над поверхностью уровенного эллипсоида, а ξ – высота геоида над эллипсоидом.