Формула Эйлера для стержня с защемленными концами

Для стержня, оба конца которого жестко защемлены, форма потери устойчивости такова, что одна полуволна синусоиды занимает половину длины стержня (рис. 12.2, в). Поэтому приведенная длина стержня равна ( ), а формула эйлеровой нагрузки .

Критической ( ) принято называть истинную, а эйлеровой ( ) – теоретическую нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости стержня.

Формула Эйлера получена из предположения, что в момент потери устойчивости напряжения сжатия в стержне не превышают предела пропорциональности : . Модуль Юнга (Е) в формуле Эйлера свидетельствует о том, что вплоть до момента потери устойчивости выполнялся закон Гука. Если потеря устойчивости происходит при напряжении меньшем, чем , то .

Для стержней, теряющих устойчивость при напряжении, превышающем предел пропорциональности ( ), использование формулы Эйлера принципиально неправильно и крайне опасно, поскольку критическая нагрузка (истинная нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости) меньше эйлеровой нагрузки: .

______________

Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена Леонардом Эйлером. Эйлер вывел расчетную формулу для критической силы и показал, что ее величина существенно зависит от способа закрепления стержня. Идея метода Эйлера заключается в установлении условий, при которых кроме прямолинейной возможна и смежная (т.е. сколь угодно близкая к исходной) криволинейная форма равновесия стержня при постоянной нагрузке.

Предположим, что шарнирно закрепленный по концам прямой стержень, сжатый силой P=P_k, был выведен некоторой горизонтальной силой из состояния прямолинейного равновесия и остался изогнутым после устранения горизонтальной силы (рис. 13.4). Если прогибы стержня малы, то приближенное дифференциальное уравнение его оси будет иметь такой же вид, как и при поперечном изгибе бруса:

.

(13.2)

Рис. 13.4.

Совмещая начало координат с центром нижнего сечения, направим ось у в сторону прогибов стержня, а ось х - по оси стержня.

В теории продольного изгиба принято сжимающую силу считать положительной. Поэтому, определяя изгибающий момент в текущем сечении рассматриваемого стержня, получаем

.

Но, как следует из рис. 13.4, при выбранном направлении осей у^//<0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси у на противоположное, то одновременно изменятся знаки у и у^// и знак минус в правой части уравнения (13.2) сохранится.

Следовательно, уравнение упругой линии стержня имеет вид

.

Полагая α²=Рк/EI, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение

,

(13.3)

общий интеграл которого

.

Здесь A и B - постоянные интегрирования, определяемые из условий закрепления стержня, так называемых граничных или краевых условий.

Горизонтальное смещение нижнего конца стержня, как видно из рис. 13.4, равно нулю, т. е. при х=0 прогиб у=0. Это условие будет выполнено, если B=0. Следовательно, изогнутая ось стержня является синусоидой

.

(13.4)

Горизонтальное смещение верхнего конца стержня также равно нулю, поэтому

.

Константа A, представляющая собой наибольший прогиб стержня, не может быть равна нулю, так как при A=0 возможна только прямолинейная форма равновесия, а мы ищем условие, при котором возможна и криволинейная форма равновесия. Поэтому должно быть sinαl=0. Отсюда следует, что криволинейные формы равновесия стержня могут существовать, если αl принимает значения π,2π,.nπ. Величина αl не может быть равна нулю, так как это решение соответствует случаю

или .

Приравнивая αl = nπ и подставляя

,

получаем

.

(13.5)

Выражение (13.5) называется формулой Эйлера. По ней можно вычислить критическую силу Рк при выпучивании стержня в одной из двух главных его плоскостей, так как только при этом условии справедливо уравнение (13.2), а следовательно и формула (13.5).

Выпучивание стержня происходит в сторону наименьшей жесткости, если нет специальных устройств, препятствующих изгибу стержня в этом направлении. Поэтому в формулу Эйлера надо подставлять I_min - меньшей из главных центральных моментов инерции поперечного сечения стержня.

Величина наибольшего прогиба стержня A в приведенном решении остается неопределенной, она принята произвольной, но предполагается малой.

Величина критической силы, определяемая формулой (13.5), зависит от коэффициента n. Выясним геометрический смысл этого коэффициента.

Выше мы установили, что изогнутая ось стержня является синусоидой, уравнение которой после подстановки α=πn/l в выражение (13.4) принимает вид

.

(13.6)

Синусоиды для n=1, n=2 изображены на рис. 13.5. Нетрудно заметить, что величина n представляет собой число полуволн синусоиды, по которой изогнется стержень. Очевидно, стержень всегда изогнется по наименьшему числу полуволн, допускаемому его опорными устройствами, так как согласно (13.5) наименьшему n соответствует наименьшая критическая сила. Только эта первая критическая сила и имеет реальный физический смысл.

Рис. 13.5.

Например, стержень с шарнирно опертыми концами изогнется, как только будет достигнуто наименьшее значение критической силы, соответствующее n=1, так как опорные устройства этого стержня допускают изгиб его по одной полуволне синусоиды. Критические силы, соответствующие n=2, n=3, и более, могут быть достигнуты только при наличии промежуточных опор (рис. 13.6). Для стержня с шарнирными концевыми опорами без промежуточных закреплений реальный смысл имеет первая критическая сила

.

(13.7)

Формула (13.5), как следует из ее вывода, справедлива не только для стержня с шарнирно закрепленными концами, но и для любого стержня, который изогнется при выпучивании по целому числу полуволн. Применим эту формулу, например, при определении критической силы для стержня, опорные устройства которого допускают только продольные смещения его концов (стойка с заделанными концами). Как видно из рисунка 13.7, число полуволн изогнутой оси в этом случае n=2 и, следовательно, критическая сила для стержня при данных опорных устройствах

.

Рис. 13.6

Рис.13.7

Эту формулу можно записать в виде

.

(13.8)

Рассмотрим далее пример, чтобы показать, какой вид имеет выражение для критической силы в случаях, когда стойка выпучивается не по целому числу полуволн синусоиды.

Предположим, что стойка с одним защемленным и другим свободным концом (рис. 13.8) сжата силой Р.

Рис. 13.8

Рис.13.9

Если сила P=P_k, то кроме прямолинейной может существовать также и криволинейная форма равновесия стойки (пунктир на рис. 13.8).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стойки в изображенной на рис. 13.8 системе координатных осей имеет прежний вид.

Общее решение этого уравнения:

.

Подчиняя это решение очевидным граничным условиям: y=0 при x=0 и y^/=0 при x=l, получаем B=0, Aαcosαl=0.

Мы предположили, что стойка изогнута, поэтому величина A не может быть равна нулю. Следовательно, cosαl=0. Наименьший отличный от нуля, корень этого уравнения αl=π/2 определяет первую критическую силу

,

(13.9)

которой соответствует изгиб стержня по синусоиде

.

Значениям αl=3π/2, αl=5π/2 и т.д, как было показано выше, соответствуют большие величины P_k и более сложные формы изогнутой оси стойки, которые могут практически существовать лишь при наличии промежуточных опор.

В качестве второго примера рассмотрим стойку с одним защемленным и вторым шарнирно опертым концом (рис. 13.9). Вследствие искривления оси стержня при P=P_k со стороны шарнирной опоры возникает горизонтальная реактивная сила R. Поэтому изгибающий момент в текущем сечении стержня

.

Дифференциальное уравнение упругой линии

или

.

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Используя условия на концах стержня, выразим постоянные A и B через R.

При x=0 прогиб у=0, следовательно, B=0.

При x=l угол поворота сечения равен нулю, поэтому y^/(l)=0. Из этого условия получаем

.

Итак, имеем следующее уравнение упругой линии стержня:

.

Условие y(l)=0 будет выполнено, если

.

Отсюда получаем следующее трансцендентное разрешающее уравнение для определения величины α:

.

Наименьший корень этого уравнения определяет первую критическую силу. Это уравнение решается методом подбора. Нетрудно поверить, что наименьший, отличный от нуля, корень этого уравнения αl=4.493=1.43π.

Принимая αl=1.43π, получаем следующее выражение для критической силы:

.

(13.10)

Сопоставляя формулы (13.7), (13.8), (13.9) и (13.10), нетрудно заметить, что все они имеют одинаковое строение, и их можно обобщить на случай любых опорных устройств стойки, если записать формулу Эйлера в виде

.

(13.11)

Здесь μ=1/n - величина, обратная числу полуволн n синусоиды, по которой изогнется стержень. Постоянная μ называется коэффициентом приведения длины, а произведение μl - приведенной длиной стержня. Приведенная длина есть длина полуволны синусоиды, по которой изгибается этот стержень.

Случай шарнирного закрепления концов стержня называется основным. Из сказанного выше следует, что критическая сила для любого случая закрепления стержня может быть вычислена по формуле для основного случая при замене в ней действительной длины стержня его приведенной длиной μl.

Коэффициенты приведения μ для некоторых стоек даны на рис. 17.10.

Рис. 13.10.