Математическая модель напряженно-деформированного состояния тела

Введение

Информатика –

1) наука, изучающая законы и методы накопления, передачи и обработки информации с помощью ЭВМ;

2) родовое понятие, охватывающее все виды человеческой деятельности, связанные с применением ЭВМ.

Предметом информатики является изучение закономерностей взаимодействия человека с ЭВМ во всех видах его деятельности.

В основе методологии в информатике лежит принцип исследования любого явления (физического, социального, биологического и т.д.) как процесса обработки информации, на основании единых законов обработки информации.

Как фундаментальная наука информатика связана с философией – через учение об информации как общенаучной категории и теорию познания, с математикой через понятия математического моделирования, логику и теорию алгоритмов; с лингвистикой – через учение о формальном языке и знаковых системах, а также со специальными науками: теория информации, кибернетика, системотехника и др.

С предметом информатики тесно связаны определенные виды человеческой деятельности, к которым относятся: математическое моделирование (фиксация результатов познавательного процесса в виде математической модели); алгоритмизация (реализация причинно-следственных связей и других закономерностей в виде направленного процесса обработки информации по формальным правилам); программирование (реализация алгоритма на ЭВМ); вычислительный эксперимент (получение нового знания об изучаемом явлении с помощью вычислений на ЭВМ); решение конкретных задач, относящихся к кругу объектов и явлений, описанных исходной моделью.

Известно, что при проектировании любой конструкции неизбежен этап расчета на прочность (способность конструкции выдерживать определенную нагрузку не разрушаясь) и жесткость (способность конструкции противостоять внешним нагрузкам при ограниченных деформациях), устойчивость (способность элементов конструкции сохранять определенную начальную форму упругого равновесия).

В этом направлении, задача строительной информатики (как вида информатики вообще) состоит в разработке и применении компьютерных технологий для проведения инженерного анализа конструкции сооружений (или для решения задач строительного профиля).

Необходимость решения широкого спектра прикладных задач, привела к возникновению большого количества программного обеспечения, относительно доступного массовому пользователю.

Современные инженеры-расчетчики, для решения задач расчета строительных конструкций, широко используют компьютерные технологии и специализированные пакеты прикладных программ, такие как, SCAD, ANSYS, Lira, NASTRAN, COSMOS, ADINA, MIDAS и др. Данные программы позволяют значительно расширить круг решаемых задач, в плане усложнения используемых расчетных схем, детализирования расчетных моделей, увеличения размерности, и т.д. Математической основой, на которой построен вычислительный аппарат этих программных продуктов, является метод конечных элементов. В сущности, не имеет значения, какой пакет использовать для расчета конструкций методом конечных элементов, принцип работы с ним напоминает работу с «черным ящиком» с помощью которого, задавая только входные данные и не вникая в сущность алгоритмов, на выходе получают результат. Так что выбор готовой программы это выбор в пользу соотношения «цена\качество», где цена – это время освоения пакета, а качество – знания, приобретаемые в процессе обучения. Неплохим способом может служить написание собственного пакета, реализующего метод конечных элементов, если имеется достаточное количество базовых знаний.

Розин Л.А. « От расчетчика пользователя программными комплексами, интересующегося напряженно-деформированным состоянием, не требуется детального знания всех математических, вычислительных и компьютерных проблем. Однако ему необходимо иметь представление о том, как математически формулируются задачи и что представляют собой численные методы их решения. Без этого трудно рационально выбрать расчетную схему и правильно оценить достоверность окончательных результатов».

Главной задачей курса является разобраться в структуре общего подхода к решению задач расчета строительных конструкций.

Основные вопросы курса:

1. Математическая постановка расчетных инженерных задач.

2. Обсуждение алгоритмов и численных методов решения задач расчета конструкций.

3. Выбор программного обеспечения для реализации расчетов.

Требования к уровню подготовки слушателей:

1. Высшая математика;

2. Строительная механика;

3. Опыт выполнения расчетов с использованием ЭВМ.

(С точки зрения логики всякое понятие имеет содержание (отличительные признаки понятия) и объем (множество обобщенных в нем предметов). Например «товар» – любая вещь, участвующая в свободном обмене на другие вещи. Объем понятия «товар» – множество всех изделий, предлагаемых рынку как сейчас, так и в прошлом и в будущем. Родовым называется понятие, объем которого шире и полностью включает в себя объем другого понятия. Видовым называется понятие, объем которого составляет лишь часть объема другого понятия).

Математическая модель напряженно-деформированного состояния тела

Решение задачи расчета конструкции, начинается с разработки математической модели деформирования этой конструкции, основанной на законах и теоремах общей механики и положениях теории упругости.

Под математической моделью понимают совокупность математических объектов и соотношений, которые приближенно отображают реальные объекты и отношения некоторой предметной области.

При построении математической модели принимаются некоторые гипотетические предположения, которые не противоречат физическим законам, законам природы, практике (эксперименту) и здравому смыслу.

Рассмотрим основные гипотезы, используемые в теории упругости.

1. Гипотеза сплошной среды. Модель сплошной среды

а) предполагает, что масса (вещество) не сосредоточена в молекулах и атомах, а непрерывно распределена (размазана) по всему объёму, занятому физическим телом;

б) учитывает деформацию тела под действием приложенных сил;

в) позволяет использовать аппарат непрерывных функций, дифференциального и интегрального исчисления.

2. Гипотеза о физической однородности. Согласно ей все физические характеристики тела (модули упругости, коэффициенты Пуассона, плотности и т.д.) не зависят от координат точек тела.

3. Гипотеза, согласно которой материал тела является идеально упругим (форма и размеры полностью восстанавливаются после устранения причин, вызвавших деформации), а между деформациями и напряжениями существует линейная зависимость (закон Гука).

Далее, при построении математической модели необходимо определить исходные данные (входные параметры), переменные задачи и искомые величины (параметры результаты). В задачах деформации заданными можно считать геометрию тела, свойства материала, внешнюю нагрузку, способ закрепления. Поскольку, напряженно-деформированное состояние определяется в каждой точке тела, то переменными задачи считают координаты точки , и возможно, время (в задачах динамики).

Напряженно-деформируемое состояние в точке тела полностью характеризуется векторными функциями: перемещением, деформацией и напряжением. Гипотеза сплошной среды позволяет рассматривать эти функции как непрерывные функции координат и использовать анализ бесконечно малых. Между этим функциями существует определённая связь, в виде математических соотношений, которые в линейной теории упругости строятся на нескольких простых естественных предположениях:

1. Перемещения точек тела предполагаются малыми по сравнению с его характерным размером и углы поворота прямолинейных отрезков в точках тела малы по сравнению с единицей. Отсюда следует, малость деформаций, т.е. малость относительных удлинений и сдвигов по сравнению с единицей.

2. Уравнения, связывающие напряжения и деформации, имеют вид линейных алгебраических соотношений.

3. В процессе деформирования не происходит изменений характера контакта между отдельными частями внутри тела, а также на границе при взаимодействии его с другими телами.

Рассмотрим основные характеристики напряженно-деформированного тела и связывающие их зависимости.

Пусть на трехмерное тело, закрепленное определенным образом (невозможно смещение тела, как единого целого), действуют нагрузки. Отнесем это тело к системе координат . Под действием приложенных нагрузок тело деформируется (меняет свою форму и внутренние свойства).

Изменение формы тела связано с перемещениями его точек. Это значит, что каждая точка , имеющая координаты до деформации, в результате деформации перемещается в новое положение с координатами . Приращение координат точки называются перемещениями этой точки вдоль осей . Вектор называется вектором перемещений. Компоненты вектора перемещений зависят от координат точки , , и являются непрерывными функциями.

Рис. 1. Перемещение точек тела

Бесконечно близкая к точке точка (конец отрезка) получит перемещения с координатами и переместиться в точку .

Рис. 2. Деформация прямолинейного отрезка

Под деформацией сплошного тела понимается такое изменение положения его точек, при котором изменяются взаимные расстояния между ними.

Отрезок соединяющий точку с любой точкой , находящейся в её бесконечно малой окрестности после деформации переместится в отрезок длиной .

Проекции отрезка будут определяться соотношениями:

,

, (1)

.

Очевидно, что

,

.

Составляя разность квадратов расстояний, в которой пренебрегаем квадратами и произведениями производных от перемещений, получим

. (2)

Выясним смысл компонент, входящих в правую часть.

Рассмотрим элементарный отрезок параллельный оси и определим относительное удлинение отрезка :

.

Тогда ,

Сравнивая с формулой (2), получаем .

Аналогичным образом, и равны относительным удлинениям бесконечно малых отрезков , которые до деформации были параллельны осям координат .

Рассмотрим два бесконечно малых отрезка и , параллельных до деформации осям и , которые переместились в результате деформации в отрезки и .

Проекции отрезка после деформации равны , (в силу (1)). Угол, на который изменился прямой угол между отрезками и , обозначим .

В силу малости деформаций можно приближенно считать, что угол поворота ( ) отрезка равен .

Рис. 3 Изменение угловых величин в результате деформирования

Аналогично, угол поворота отрезка равен . Следовательно, прямой угол между отрезками и уменьшается при деформации на величину . Аналогично величины , имеют смысл изменений первоначально прямых углов между линейными элементами и в соответствующих плоскостях.

В итоге, формулу (2) можно переписать в виде

. (2’)

Отсюда следует, что длина (квадрат длины) отрезка в который перешел отрезок полностью определиться шестью величинами, , связанными с перемещения соотношениями

(3)

которые называются геометрическими соотношениями (в линейном теории упругости это формулы Коши).

Величины называются деформациям удлинения (продольными или линейными деформациями), величины и называются деформациям сдвига.

Шесть компонент деформаций , достаточных для того, чтобы полностью характеризовать деформированное состояние тела в окрестности данной точки, формально, можно считать компонентами вектора деформаций

.

Замечание 1. В задачах, в которых перемещения тела нельзя считать малыми, используются нелинейные геометрические уравнения. В таком случае говорят о геометрически-нелинейной теории упругости.

Рассмотрим силовые характеристики напряженно-деформированного состояния. Для того чтобы описать взаимодействие конструкции с окружающей средой вводиться понятие нагрузки, представляемой в расчетной схеме в виде системы сил. Взаимодействие рассматриваемого объекта с телами, расположенными за пределами условно очерченной границы, характеризуется силами, которые относятся к категории внешних сил. Различают поверхностные и объемные внешние силы. Поверхностные силы могут быть приложены к малым участкам поверхности (это сосредоточенные силы) или к конечным участкам поверхности (это распределённые силы). Они характеризуют взаимодействие объекта с другими телами или внешней средой (например, с потоком воздуха, жидкости). Объемные силы распределены по объёму тела (например, силы тяжести, инерции и т.п.). К числу внешних относят не только заданные силы, но также и реакция связей.

Взаимодействие между частями рассматриваемого объекта внутри очерченной области характеризуют внутренние силы.

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. Напряжение – силовой фактор, представляющий собой интенсивность действия внутренних сил, т.е. усилие, приходящееся на единицу площади, выделенную в какой-либо точке рассматриваемого сечения.

Рассмотрим сечение некоторого тела. Воздействие одной части тела на другую состоит в том, что на поверхности действуют силы, которые для тела в целом являются внутренними силами. Под действием этих сил и приложенных внешних сил каждая из частей находится в равновесии. Если рассматривать равновесие части (2), то действие на неё части (1) надо заменить силами, распределенными по поверхности . Выделим на поверхности площадку с нормалью , проведенную в некоторой средней точке .

Рис. 4 Вектор напряжения в точке тела

Обозначим через силу, действующую на элементарную площадку . Отношение называется средней поверхностной силой или средним напряжением, приходящимся на единицу площади.

Этот вектор обозначается

.

Стягивая в точку , получим

– полное напряжение в точке (плотность поверхностной силы).

Если провести через точку другую поверхность , можно получить другой вектор напряжений . Таким образом, в точке существует бесконечно много векторов напряжений , соответствующих бесконечному числу площадок . Однако между ними существует универсальная связь.

Выделим в теле элементарную (в отношении напряжений) пирамиду с вершиной в точке , три грани которой перпендикулярны выбранным осям координат . Обозначим через – единичный вектор нормали к наклонной грани . Пусть – напряжение, действующее на грани ; , , – напряжения, действующие на гранях, перпендикулярных к осям координат.

Рис. 5 Напряжение на наклонной площадке

Из теории упругости известна формула, связывающая напряжение, действующее на произвольную площадку с нормалью и площадки перпендикулярные осям координат

.

Формула называется формулой Коши для напряжения, действующего на площадку с нормалью .

Таким образом, зная три вектора напряжения, действующие на взаимно ортогональные площадки, можно найти напряжение на произвольно ориентированной площадке.

Обозначим проекции векторов, стоящих в правой части формулы, на оси прямоугольной декартовой системы координат:

, , .

Компоненты напряжений: называются нормальными напряжениями; компоненты напряжений: называются касательными напряжениями. В большинстве случаев справедлив закон парности касательных напряжений:

.

Таким образом, шесть величин однозначно характеризуют напряженное состояние в точке тела и можно рассматривать вектор напряжений

.

Среднее арифметическое трех нормальных компонентов напряжений называется средним напряжением в точке

.

Для оценки прочности в каждой точке твердого тела вводятся некоторые дополнительные характеристики напряженно- деформированного состояния:

интенсивность напряжений

,

интенсивность деформаций

.

Компоненты напряжений связаны с компонентами деформаций соотношениями, которые называют физическими соотношениями.

Физические отношения, связывающие напряжения и деформации, зависят от физических свойств конструкции (материала конструкции), которые проявляются в зависимости от уровня нагружения и длительности воздействия на конструкцию нагрузки (упругие, пластические, свойства ползучести и т.д.).

Тела, для которых справедлив закон Гука , называются линейно-упругими изотропными телами, где – модуль упругости материала.

Рис. 6 Диаграмма растяжения

В общем случае напряженного состояния справедлив обобщенный закон Гука

(4)

– коэффициент Пуассона, – модуль упругости второго рода или модуль сдвига.

Эти соотношения могут быть разрешены относительно компонент напряжений, и получим закон Гука в обратной форме:

(4’)

где , .

Замечание 2. Большое количество практических задач расчета строительных конструкций можно решить в пределах действия закона Гука. Если для материала не применим закон Гука, то опытным путем строят диаграмму растяжения образца « – », после чего записывается функциональная зависимость . Эти задачи называются физически нелинейными, они также рассматриваются в курсе нелинейной теории упругости.

Помимо физических соотношений компоненты напряжений должны удовлетворять уравнениям равновесия

(5)

где – проекции вектора объемной силы в точке тела.

Таким образом, задача определения напряженно-деформированного состояния тела сводится к разрешающей системе уравнений, состоящей из трех групп соотношений: геометрические, физические, уравнения равновесия. Эти 15 уравнений связывают 15 неизвестных. Для получения единственного решения система уравнений (3), (4), (5) должна быть дополнена краевыми условиями

кинематическими

(6)

или статическими

,

, (7)

.

Здесь – вектор заданных перемещений на границе тела , – вектор заданных поверхностных сил на границе тела , – направляющие косинусы внешней нормали к границе тела .

Если из геометрических уравнений (3) с помощью физических уравнений (4) исключить деформации, то напряжения можно выразить непосредственно через перемещения. Затем после подстановки напряжений в уравнения равновесия (5) и статические краевые условия (7), получим постановку задачи теории упругости в перемещениях, которая известна как краевая задача для перемещений.

Однако возможна и другая математическая постановка задачи для перемещений в упругом теле, основанная на одном из важнейших принципов механики – вариационном принципе Лагранжа, который формулируется так: среди всех возможных перемещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, действительными являются перемещения, приводящие к минимуму функционала полной потенциальной энергии.

Полная потенциальная энергия тела, объема

, (8)

где

(9)

– потенциальная энергия деформации;

– работа внешних сил:

,

– работа внешних объемных сил;

– работа поверхностных сил.

Рассматривая потенциальную энергию деформации как функционал шести компонентов деформации, математическая модель задачи теории упругости для перемещений, будет иметь вид вариационной задачи:

. (10)

Вариационная и краевая задачи связаны между собой. Характер этой связи будет рассмотрен в дальнейшем.