Новое определение вектора
Пусть имеется вектор 
. Подобно тому, как точку с координатами 
для краткости обозначают через 
, вектор с компонентами 
обозначим через 
. При переходе к новой системе координат компоненты вектора преобразуются по формуле:
(40)
Проиллюстрируем применение символа Кронекера для обращения формулы (40). Умножим обе части (40) на 
:
, т.е.
(41)
При выводе (41) мы использовали формулы (36) и (39). Формулы (40) и (41) положены в основу нового определения вектора.
Определение. Вектор – это геометрический объект, который в любой прямоугольной системе координат определяется тремя числами – его компонентами, которые при преобразовании системы координат преобразуются по формулам (40) и (41).
Вектор существует независимо от системы координат, он инвариантен, а вот его координаты меняются при преобразованиях системы координат. Новое определение вектора сохраняет все известные из курса линейной алгебры операции с векторами:
1) Сложение векторов:
(42)
2) Сложение ассоциативно, т.е.
(43)
3) Умножение вектора на скаляр:
(44)
4) Дистрибутивность умножения:
(45)
Если компоненты вектора зависят от некоторого параметра 
, то производные 
тоже образуют вектор 
, который называется производной исходного вектора 
по 
. Аналогично определяется и производная более высокого порядка вектора по скалярному параметру.
Рассмотрим скалярное произведение двух векторов 
и 
:
(46)
Докажем, что скалярное произведение – скаляр и инвариантно относительно преобразования системы координат. В новой системе координат компоненты векторов обозначим 
и 
. Тогда скалярное произведение будет равно:
(47)
Модуль вектора, определяемый скалярным произведением вектора самого на себя, запишется так:
(48)
Записывать квадрат модуля в виде 
нецелесообразно, т.к. при такой записи не ясно, что 
представляет собой немой индекс. Вектор, модуль которого равен единице, называется, как известно, единичным вектором или ортом. Направление в пространстве обычно задается единичным вектором. Рассмотрим единичный вектор 
. Скалярное произведение 
определяет проекцию 
на направление 
:
(49)
Поскольку компонентами единичного вектора являются направляющие косинусы 
,
или короче 
, (50)
то 
(51)
Формула (51) линейна и однородна относительно направляющих косинусов. Она означает, что для любого направления в пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие скаляр – проекцию вектора на это направление, посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Выясним, какой смысл имеют числа в (51). Совместим направление 
с положительным направлением оси 
. Тогда 
, а 
и 
, т.е. 
– это проекция вектора 
на направление оси . Аналогично доказывается, что 
и 
– это проекции вектора на две другие оси. Следовательно, проекция вектора на произвольное направление определяется его проекциями на три фиксированных направления координатных осей.
Формула (51) будет играть в дальнейшем определяющую роль, поскольку она допускает далеко идущие обобщения.
§8. Задачи.
Задача 1. Старая система координат 
преобразуется к новой системе 
, заданной следующими углами: 
, 
, 
, 
. Написать матрицу преобразования и проверить ее ортогональные свойства.
Решение. Имеем:
, 
,
, 
,
, 
, 
,
.
 |
 |
 |
 |
 |
| Рис.5 |
 |
 |
(52)
 |
| |
Задача 2. Пусть новая система координат получена из старой в результате вращения вокруг оси 
на угол 
против часовой стрелки. Написать матрицу преобразования.
Решение.
| |
 |
| |
 |
| |
 |
| Рис.6 |
, 
,
| |
| |
,
| |
, 
, 
,
, 
,
| |
| |
Тогда матрица преобразования имеет
| |
| |
(53) Задача 3. Исследовать влияние преобразования координат
| |
| |
| |
| Рис.7 |
| |
| |
на компоненты вектора.
| |
| |
| |
| |
. Первоначальная правая система координат 
преобразуется в левую 
. Матрица преобразования имеет вид: 
(54) Вектор преобразуется по формуле (40):
(55)
или 
Таким образом, указанная инверсия изменяет только компоненту 
, две другие компоненты при этом не меняются.
Задача 4. Найти преобразование компонент вектора при вращении, описанном в задаче 2.
Решение. Используя матрицу преобразования (53) и формулу (55), получим:
(56)
Задача 5.. Доказать равенство 
(57)
Решение. Имеем:
Задача 6. Компоненты единичного вектора 
являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра 
. Показать, что вектор 
перпендикулярен вектору .
Решение. Необходимо доказать, что скалярное произведение 
. Имеем:
Задача 7. Доказать, что каждый элемент ортогональной матрицы преобразования 
равен своему алгебраическому дополнению, взятому со знаком плюс или минус.
Решение. Матрица перехода от старой системы координат к новой имеет вид (15). Ее определитель, как было показано в параграфе 3, равен 
, где знак плюс берется в том случае, если старая и новая системы координат имеют одинаковую ориентацию (например, обе правые) и знак минус – в противном случае. По определению обратной матрицы имеем:
где 
– алгебраическое дополнение элементов матрицы . С другой стороны, как было показано в параграфе 3, обратная матрица получается транспонированием прямой матрицы, т.е. 
и имеет вид (17). Отсюда и получаем, что 
.
Подчеркнем еще раз, что знак плюс берется тогда, когда обе системы координат, старая и новая, имеют одинаковую ориентацию и знак минус – в противном случае.
Тензор второго ранга.
Вспомним задачу, приведшую нас в параграфе 1 к понятию тензора напряжений, и формулу (12). Сравним ее с формулой (51). Формула (51) любому направлению в пространстве 
сопоставляет скаляр 
, который мы назвали проекцией вектора на направление 
. Формула (12) идентична по структуре формуле (51), но с ее помощью любому направлению в пространстве сопоставляется не скаляр, а вектор тоже посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Из этого и будем исходить. Итак, пусть любому направлению в пространстве сопоставляется вектор 
с помощью линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения:
(58)
Геометрический объект с таким свойством называется тензором второго ранга и обозначается 
. Вектор называется проекцией тензора на направление или значением тензора в этом направлении. Выясним, какой смысл имеют векторы 
, 
, 
в формуле (58). Для этого совместим направление с направлением оси 
. Тогда 
, 
, 
. Получаем, что проекция тензора на ось равна вектору 
. Аналогично, совмещая направление с направлением осей 
и 
, получим, что векторы 
и 
суть проекции тензора на оси и . Таким образом, в любой прямоугольной системе координат тензор задается тремя векторами , , – своими проекциями на базисные направления. Компоненты векторов , , в системе координат 
обозначим 
, 
, 
.
Девять величин 
называются компонентами тензора в системе координат . Расположим их в виде матрицы:
, (59)
которая называется матрицей тензора. Столбцы матрицы определяют три проекции тензора на координатные оси.
В другой системе координат 
тензор также определяется тремя проекциями 
, 
, 
на новые координатные оси. Проекции тензора в новой и старой системах координат связаны друг с другом. Установим эту связь. Совместим в (58) направление 
с направлением оси 
. Получим проекцию тензора на ось 
:
(60)
Совместив с направлением оси 
, получим
, (61)
и наконец:
(62)
Стоящие в этих формулах косинусы – это элементы матрицы преобразования 
. Поэтому можно переписать:
(63)
.
Сокращенно это записывается так:
, 
, 
(64)
или еще короче: 
(65)
Видим, что закон преобразования проекций тензора такой же, как закон преобразования проекций вектора. Матрица тензора в новой системе координат состоит из компонент проекций тензора на эти новые оси. Первая проекция – вектор в новой системе имеет компоненты: 
. Аналогично 
и 
. Составленная из них матрица:
(66)
называется матрицей тензора в новой системе координат. Таким образом, матрица тензора в старой системе состоит из компонент проекций тензора на старые оси, а в новой системе – из компонент проекций тензора на новые оси.
Установим связь между компонентами тензора в старой и новой системах координат. Обозначим компоненты векторов 
в новом базисе через 
, т.е. 
. Компоненты векторов в новом базисе выразим через старые по формулам преобразования вектора:
(67)
Тогда первое равенство (64) в новых координатах запишется так:
(68)
Аналогично, две другие формулы (64) в новых координатах будут выглядеть так:
(69)
Или объединяя все три формулы:
(70)
По формуле (70) преобразуются компоненты тензора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем обратную формулу. Умножим обе части (70) на 
, воспользуемся ортогональностью матрицы перехода и свойством символа Кронекера:
(71)
Умножим теперь обе части на 
: 
или 
(72)
Формулы (70) и (72) определяют закон преобразования тензора второго ранга. Они положены в основу второго определения тензора. В любой прямоугольной системе координат тензор 2-го ранга определяется девятью компонентами, которые при преобразовании системы координат преобразуются по формулам (70) и (72).