Теорема деления тензоров (критерий тензорности)
Рассмотрим удобный критерий для характеристики геометрических и физических величин при помощи тензоров. Пусть некоторая величина в прямоугольных координатах и
определяется при помощи
чисел
и
соответственно, и пусть для любых трех векторов
,
,
справедливо равенство:
(114)
т.е. левая и правая части равенства – скаляры. Тогда можно показать, что и
являются компонентами тензора 3-его ранга относительно координатных систем
и
соответственно. Для доказательства выразим в равенстве (114) компоненты векторов в старой системе
через компоненты в новой системе
:
,
,
и подставим в (114):
, или
(115)
Левая часть этого равенства представляет собой тройную сумму по индексам . Она может тождественно равняться нулю лишь в том случае, когда обращаются в нуль все ее коэффициенты при компонентах векторов, т.е. когда для всех значений индексов
выражение в скобках равно нулю:
. Отсюда получим:
(116)
т.е. величины в старой системе координат преобразуются в величины
в новой системе так же, как компоненты тензора 3-его ранга. Аналогично можно провести рассуждения и для обратного перехода от новой системы к старой. Следовательно, приходим к выводу, что
– это тензор 3-его ранга.
Аналогично можно показать, что – тензор 3-его ранга, если известно, что
есть вектор при любом выборе тензора 2-ого ранга
.
Для краткости мы рассмотрели лишь тензор 3-его ранга, но можно получить обобщение для тензоров любого ранга. Изложенный критерий является частным случаем известной в тензорной алгебре теоремы деления тензоров.
§18. - тензор Леви-Чивиты (единичный тензор 3-го ранга).
Во многих случаях очень удобным оказывается использование так называемого символа Леви-Чивиты:
(117)
Круговые перестановки – это 123, 231, 312. Некруговые перестановки – это 132, 213, 321. Следствием этого определения являются следующие соотношения:
(118)
Справедливость их следует из того, что перестановки и
являются круговыми из первоначальной перестановки
, а перестановки
,
,
круговыми не являются.
Приведем полезные соотношения, связанные с символом Леви-Чивиты:
,
,
(119)
Рассмотрим применение символа Леви-Чивиты. Как известно из курса векторной алгебры, смешанное произведение трех векторов записывается в виде определителя:
(120)
С помощью символа Леви-Чивиты смешанное произведение записывается компактно:
(121)
Чтобы доказать это, проведем суммирование по индексам , принимая во внимание определение (117):
С другой стороны, если раскрыть определитель (120), то получим то же самое.
Как известно, смешанное произведение, т.е. определитель (120), положительно, если тройка перемножаемых векторов и тройка базисных векторов имеют одинаковую ориентацию (например, обе – правые). В противном случае смешанное произведение отрицательно. Отсюда следует, что при переходе от правой системы координат к левой и наоборот, смешанное произведение меняет знак. Такие величины называются псевдоскалярами, в отличие от истинных скаляров, которые не меняются при любых преобразованиях. В частности, модуль смешанного произведения, т.е. объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, является истинным скаляром.
Выведем закон преобразования символа Леви-Чивиты при преобразованиях координат. Обозначим компоненты символа Леви-Чивиты в новой координатной системе через , а компоненты векторов, участвующих в смешанном произведении, через
. В новой координатной системе смешанное произведение запишется как
, и имеет место равенство:
, (122)
где знак плюс берется, если при преобразовании координат ориентация базисных векторов не меняет знак, и знак минус – в противном случае. Вспоминая закон преобразования векторов (формулы (40), (41)), получим из (122): , или
.
Рассуждая теперь так же, как в параграфе 17, получим:
(123)
Аналогично получается и обратная формула:
(124)
Этими формулами определяется закон преобразования символа Леви-Чивиты. С точностью до знака он совпадает с законом преобразования тензора 3-его ранга.
Если при преобразовании ориентация системы координат не меняется, т.е. если, например, правая система остается правой, то в формулах (123) и (124) нужно брать знак плюс, если же правая система переходит в левую, или наоборот, – то знак минус. Геометрический объект, преобразующийся по формулам (123) и (124), называется псевдотензором, в данном случае 3-его ранга. Если ограничиться только правыми системами координат, что мы и будем подразумевать в дальнейшем за небольшими исключениями, то символ Леви-Чивиты будет истинным тензором 3-его ранга. Он так и называется тензором Леви-Чивиты или - тензором. Из определений (117) и (118) следует, что
- тензор является полностью антисимметричным по всем трем индексам.
Векторное произведение тоже очень просто записывается с помощью - тензора:
(125)
В курсе линейной алгебры векторное произведение определялось как вектор. Это не совсем так с точки зрения определения вектора, данного в параграфе 2. Там мы определяли вектор как объект, компоненты которого преобразуются по формулам (40), (41). Найдем закон преобразования компонент векторного произведения, имея в виду, что символ Леви-Чивиты преобразуется по формулам (123), (124), а векторы – по формулам (40), (41):
Поскольку в новой системе координат векторное произведение определяется той же формулой (125), то , и тогда
(126)
Аналогично получаем формулу обратного перехода, тоже с двумя знаками: плюс и минус:
(127)
Рис. 9а) |
Примерами аксиальных или псевдовекторов являются угловая скорость, момент количества движения, момент силы, ротор полярного вектора, напряженность и индукция магнитного поля. В то время как перемещение, скорость, ускорение, сила – это все полярные векторы. Аксиальный вектор характеризует вращение вокруг некоторой оси и поэтому изображается отрезком прямой определенной длины параллельно оси с указанием направления вращения вокруг оси. На рис. 9 показано символическое изображение полярного вектора (а) и аксиального вектора (б):
Рис. 9б) |
Допустим, что мы перешли от правой системы координат к левой посредством преобразования , т.е. изменили направление всех осей напротивоположные (рис. 10). Новые компоненты полярного вектора будут равны:
(128)
![]() |
![]() |
Рис. 10 |
![]() |
![]() |
![]() |
![Теорема деления тензоров (критерий тензорности) Теорема деления тензоров (критерий тензорности) - student2.ru](/images/matematika/teorema-deleniya-tenzorov-kriteriy-tenzornosti-459583-75.png)
т.е. аксиальный вектор не изменился.
![]() |
![]() |
![]() |
Бивектор.
Антисимметричный тензор 2-ого ранга называется иначе бивектором. Такое название проистекает из того, что этому тензору можно поставить в соответствие вектор (точнее аксиальный вектор, т.е. псевдовектор). Пусть – антисимметричный тензор 2-го ранга. Его матрица имеет вид:
(130)
Такой тензор имеет всего три, как говорят, существенные компоненты . Найдем компоненты тензора
в какой-либо другой системе, используя закон преобразования тензоров 2-ого ранга (70) и принимая во внимание его антисимметричность:
(131)
Как было показано в параграфе 12, свойство антисимметричности не зависит от системы координат. Поэтому и в новой системе существенными будут только три компоненты:
(132)
Проанализируем сначала первую из этих формул. В правой части в скобках выражения равны минорам элементов третьей строки матрицы преобразования (см. §3):
,
,
(133)
или, заменяя миноры алгебраическими дополнениями
, получим:
(134)
Аналогично для двух других существенных компонент получим:
,
(135)
В задаче 6 параграфа 8 было показано, что каждый элемент матрицы преобразования равен с точностью до знака своему алгебраическому дополнению. С учетом этого получаем:
,
(136)
Если при преобразовании координат ориентация новой системы не изменится, то в (136) следует брать знак плюс. Тогда:
(137)
Эти выражения напоминают закон преобразования компонент вектора. Последнее будет особенно заметно, если переобозначить существенные компоненты тензора так:
,
,
. Соответственно в новой системе:
,
,
. Тогда формулы (137) принимают знакомый вид:
(138)
или коротко: (139)
Если же ориентация новой системы изменилась, то:
(140)
Объединяя эти две формулы, окончательно получим:
(141)
Теперь видно, что три величины являются компонентами аксиального вектора. Матрица антисимметричного тензора 2-ого ранга (бивектора) выглядит теперь так:
(142)
Таким образом, всякий антисимметричный тензор 2-ого ранга эквивалентен аксиальному вектору. В правосторонних системах координат это будет истинный вектор. Используя - тензор, связь между вектором
и бивектором
можно записать так:
(143)
Чтобы убедиться в этом, распишем подробно:
. Тогда:
,
,
, что совпадает с введенными выше компонентами вектора
.
По формуле (143) можно найти аксиальный вектор , зная бивектор
. Можно получить и обратную формулу. Для этого умножим обе части (143) на
:
.
Воспользуемся третьей формулой (119):
или с учетом антисимметричности :
. Окончательно:
(144)
Эта формула позволяет найти бивектор , если известен вектор
.