Геометрический смысл основных понятий
Дифференциальное уравнение геометрически представляет собой поле направлений касательных к интегральным кривым.
Общее решение – уравнение семейства интегральных кривых , где параметр С=const .
)
Частное решение – уравнение интегральной кривой семейства, проходящей через точку
.
Особые точки-точки плоскости, через которые либо проходит несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Определение 3.1Дифференциальные уравнения первого порядка (2.2) и (2.3) называются уравнениями с разделяющимися переменными ,если они представимы в виде
(3.1)
или
(3.2).
В уравнениях (3.1) и (3.2) разделим переменные и проинтегрируем.
или
.
После интегрирования получим либо общий интеграл, либо общее решение.
Если заданы начальные условия , то найдем частное решение, подставив С
, найденное по начальным условиям, вместо С .
Пример 3.1
Решить задачу Коши .
Решение:
-это уравнение с разделяющимися переменными, т.к.
. Разделим переменные:
и проинтегрируем
или
- общий интеграл.
Решим задачу Коши: В общий интеграл подставим начальные условия:1 -0
=2С, С=
. Запишем частный интеграл, подставив С=
в общий интеграл дифференциального уравнения.
- частный интеграл.
Геометрический смысл дифференциального уравнения и его решений.
Геометрически решение данного дифференциального уравнения представляет собой семейство равносторонних гипербол
, а частный интеграл, соответствующий решению задачи Коши
- это гипербола
, проходящая через заданную точку.(Рис.2)
Пример 3.2
Решить уравнение .
Решение.
Разделим обе части уравнения на , получим уравнение с разделяющимися переменными
. Проинтегрируем это уравнение и получим
- общий интеграл дифференциального уравнения
.
Потенцируя последнее равенство, получим общее решение уравнения ,
.Заметим , что решение
входит в общее решение при С=0.
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся уравнения вида при помощи подстановки
, где
- постоянные.
Подставим в уравнение
.Получим
, т.е.
. Проинтегрируем и получим
. В общем интеграле вернемся к прежней переменной
.
Пример 3.3.
Решить задачу Коши .
Решение.
Пусть , тогда
, или
. Разделим переменные и проинтегрируем
.
Потенцируем полученное уравнение: или
.
- общее решение.
Найдем частное решение:
.
Подставим С в общее решение. - частное решение.
Задачи для самостоятельного решения
Найти общее (частное) решение уравнения
3.1. .
3.2. ,
3.3.
3.4. ;
3.5.
Ответы:
3.1. ;
3.2. ;
3.3.
3.4. ;
3.5.