Средние прямоугольники (посредине)

Рис 3

Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Рис 4

– ширина прямоугольников

Формула левых прямоугольников:

Формула правых прямоугольников:

Формула средних прямоугольников.

Погрешности методов

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

Для формулы прямоугольников (средних)

Метод трапеций.

Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл , где подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b].

Разобьем отрезок [a;b] на n равных интервалов длины h точками

.

В этом случае шаг разбиения находим как h=(b-a)/n и узлы определяем из равенства

.

Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках

Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n):

Рис. 5

На каждом отрезке заменим функцию y=f(x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами и .

В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение , то есть, примем .

Площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями и высотой h, в последнем случае определенный интеграл

приближенно равен площади трапеции с основаниями и шагом h, взятым со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций, которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене

.

Если вместо интегралов подставить их приближенные значения, то получится формула метода трапеций:

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций.

Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.