Однопериодная биномиальная модель
Пусть в текущий момент времени цена актива равна
. Предположим, что в момент времени
возможны только два исхода: цена
актива равна:
при
или
при
![]() |
|
![]() |
Вычислим текущую цену с опциона колл на этот актив со временем исполнения и ценой исполнения
.
Опцион будет реализован, если рыночная цена актива окажется выше, чем цена исполнения.
Следовательно, цена опциона в момент исполнения:
Возможные значения цены опциона обозначаются
и
. Они равны:
или
Сформируем безрисковый портфель в момент времени , состоящий из одной акции и
опционов колл.
Число подбирается так, чтобы цена портфеля в момент
была одинаковой при любом из двух возможных значений
. В этом случае портфель будет безрисковым и в момент времени
.
Если цена актива , то цена портфеля в момент времени
равна
Если цена актива , то цена портфеля в момент времени
равна
Приравнивая эти цены, получим уравнение для .
Значит,
Легко сообразить, что полученное число отрицательное. Это означает, что
опционов, входящих в безрисковый портфель, нужно продавать.
Цена безрискового портфеля в момент времени
равна
Согласно формуле (3.1), цена этого портфеля в момент времени
вычисляется по формуле (предполагается постоянный процент – коэффициент дисконтирования)
Естественно считать, что ожидаемая прибыль от актива пропорциональна цене актива
и времени работы актива
.
Если неопределенность рыночной цены отсутствует, и коэффициент пропорциональности прибыли от цены актива и времени равен , то цена актива
(при условии, что
достаточно мало, так что коэффициент пропорциональности
не изменяется) удовлетворяет уравнению:
(2.1)
или
При уравнение (2.1) становится дифференциальным
Его решение определяет цену
актива в момент времени
.
С другой стороны, цена портфеля равна
где - текущая цена опциона
Из двух равенств
и
следует:
или
, (3.8)
где
Напомним, что
и
Аналогично, цена опциона пут вычисляется по формуле:
, где
,
.
Двухпериодная биномиальная модель
![]() |
|
![]() |
Вычисление цены опциона на актив с исполнением в конце второго периода по цене нужно начинать с конца.
Если в конце первого периода цена актива равна , то цену
опциона можно вычислить в рамках однопериодной модели по формуле (3.8):
или для другого варианта цены, а именно :
Тогда цена опциона в начальный момент времени выражается через
и
по формуле (3.8). Подставляя полученные выражения для
и
получим
,
где