Видоизмененный (упрощенный) метод Ньютона
![]() |
Если производная на отрезке
изменяется мало, то в формуле
можно положить
Отсюда для корня уравнения
получаем последовательные приближения
. (14.14)
Геометрически этот способ означает, что мы заменяем касательные в точках прямыми, параллельными касательной к кривой
в ее фиксированной точке
Формула (14.14) избавляет от необходимости каждый раз вычислять значения производной . Она очень полезна, когда функция
сложна и трудно дифференцируется.
Комбинированный метод (хорд и касательных).
Пусть сохраняют постоянные знаки на отрезке
. Объединяя способ пропорциональных частей (метод хорд) и метод Ньютона (метод касательных), получаем метод, на каждом этапе которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня
уравнения
.
Теоретически возможны четыре случая:
1). ;
2). ;
3). ;
4).
.
Ограничимся рассмотрением 1-го случая. Остальные случаи изучаются аналогично.
![]() |
Итак, пусть при
. Полагаем
;
,
и (метод хорд),
(метод касательных). (14.15)
Очевидно, что , поэтому
. (14.16)
Если допустимая абсолютная погрешность приближенного корня задана заранее и равна
, т.е.
, то процесс сближения прекращается в тот момент, когда будет обнаружено, что
. По окончании процесса за значение корня
лучше всего взять среднее арифметическое полученных последних значений:
.
Пример. Вычислить с точностью до 0,0005 единственный положительный корень уравнения .
Решение. Из самого уравнения видно, что корни надо искать в окрестности точки . Находим, что
. Поэтому
.
Имеем: и
Видим, что в выбранном нами интервале
т.е. знаки производных сохраняются.
Применим комбинированный метод, полагая и
Вычисляем ;
.
Подставляя эти значения в уравнения (14,15), получаем:
Оцениваем при
:
.
Видим, что точность пока недостаточная. Поэтому находим следующую пару приближений:
;
.
Опять оцениваем .
Нужная степень точности достигнута.
За значение искомого корня можно принять
.
Абсолютная погрешность складывается из и
ошибки округления .
Метод итераций
(метод последовательных приближений)
Метод итераций является одним из наиболее важных способов численного решения уравнений. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение: (14.7)
где -непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим уравнение (14.7) равносильным уравнением
(14.8)
Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня и подставим его в правую часть уравнения (14.8). Получаем некоторое число
. (14.9)
Подставляя теперь в правую часть равенства (14.9) вместо число
, получим новое число
.
Повторяя этот процесс, получаем последовательность чисел
. (14.10)
Если эта последовательность сходящаяся, т.е. существует предел , то, переходя к пределу в равенстве (14.10) и, предполагая функцию
непрерывной, найдем:
или
. (14.11)
Таким образом, предел является корнем уравнения (14.8) и может быть вычислен по формуле (14.10) с любой степенью точности.
Геометрически способ итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости графики функций
и
Каждый действительный корень уравнения (14.8) является абсциссой точки пересечения М кривой
с прямой
(см. рис. 13.11).
Начиная с точки , строим ломаную линию
("лестницу"), звенья которой попеременно параллельны то оси
, то оси
. Вершины
лежат на кривой
,
- на прямой
. Общие абсциссы точек
,…, представляют собой последовательные приближения
корня
.
Возможен и другой вид ломаной - "спираль":
![]() |
Нетрудно видеть, что решение в виде «лестницы» получается, когда производная положительна, а решение в виде «спирали», если
отрицательна.
На приведенных рисунках кривые - пологие, т.е.
, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где
, то процесс итерации может быть расходящимся. Поэтому надо выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.
Теорема. Последовательность сходится к корню x уравнения
, если для любых
и
, принадлежащих
, выполняется условие Липшица:
. При этом нулевое приближение
.
Доказательство.Так как xn+1 = j (xn) по условию итерации, а из того факта, что x - корень уравнения
, очевидно равенство
.
Но так как q< 1, то . Из этих неравенств и из условия
при q < 1следует неравенство
,
где .
.
Следовательно, и
, что и требовалось доказать.
Равносильной предыдущей является следующая
Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке
. Тогда, если существует q такое, что
при a< x < b, то: 1) процесс итерации
сходится независимо от начального значения ;
2) предельное значение является единственным корнем уравнения
на отрезке [a, b].
![]() |
Первая часть последней теоремы доказывается аналогично предыдущей. Пункт 2) очевиден из рисунка. Для того чтобы график функции в окрестности значения x = x еще раз пересекся с графиком y1 = x (условие наличия второго корня), он обязательно должен иметь на некоторых участках такое направление, которое требует выполнение условия
. А это противоречит условию теоремы. Следовательно, второго корня уравнения
на [a, b] не существует.
Замечание 1. Теорема остается верной, если функция j(x) определена и дифференцируема в бесконечном интервале -¥ < x < +¥, причем при x Î (-¥, +¥) выполнено неравенство .
Замечание 2. В условиях теоремы процесс итерации сходится при любом выборе начального значения x0 из [a, b]. Благодаря этому он является «самоисправляющимся», то есть отдельная ошибка в вычислениях, не выводящая за пределы отрезка [a, b], не повлияет на конечный результат, так как ошибочное значение можно рассматривать как новое начальное значение x0. Может возрасти лишь объем работы. Это свойство самоисправленияделает метод итерации одним из надежнейших методов вычислений.