С градиентным алгоритмом адаптации

Цель работы: изучение свойств системы с алгоритмом адаптации, синтезированным по градиентному методу, анализ влияния темпа параметрических возмущений на качество процессов и величину управляющего воздействия.

Основные сведения

Градиентный алгоритм относится к базовым алгоритмам адаптации. Вектор градиента всегда направлен в сторону максимального локального роста функции. Следовательно, если вектор скорости настраиваемых параметров направить в сторону антиградиента , то реализуется последовательный спуск в локальный минимум

(3.1)

Проведем синтез адаптивной системы для одноканального линейного объекта управления

, (3.2)

где u, y – управляющая и выходная переменные соответственно. Параметры объекта a_i, b_j точно не определены, но заданы (n + m + 1)-мер-ной областью возможных значений W_ab. Операторная запись уравнения (3.2) имеет вид

(3.3)

где a_n (p) = pⁿ + a_n–1 p^n–1 + …+ a₀, b_m (p) = b_m p^m + b_m–1 p^m-1 + … + b₀,
pⁱ = dⁱ / d tⁱ – оператор i-кратного дифференцирования.

Цель управления зададим предельным соотношением

(3.4)

где y_м(t) – эталонная траектория движения, которая удовлетворяет уравнению эталонной модели

(3.5)

здесь r – эталонное входное воздействие на систему. Оператор является устойчивым, т.е. корни уравнения имеют отрицательную действительную часть.

Для определения структуры «идеального» закона управления выполним преобразования уравнений (3.2) и (3.5). Вычтем из обеих частей уравнения (3.3) выражение (a_n (p) y):

0 = b_m (p) u – a_n (p) y. (3.6)

Полагая y = y_м, запишем уравнение (3.5)

. (3.7)

Прибавим к обеим частям уравнения (3.6) выражение ( ):

(3.8)

где Далее вычтем из (3.8) уравнение (3.5):

(3.9)

где e = y – y_м. Пусть «идеальный» закон управления имеет вид

(3.10)

тогда

(3.11)

Так как полином является устойчивым по условию, то e ® 0при t ® ¥, т.е. закон управления (3.10) позволяет обеспечить выполнение цели управления (3.4). Учитывая неизвестность коэффициентов поли-

номов b_m (p)и D_n-1(p), реальный закон управления запишем в виде

(3.12)

с операторами

Если в процессе настройки коэффициентов регулятора (3.12) будет выполнено при t ® ¥, то e ®0, что показывает достижение поставленной цели управления.

Для определения целевой функции введем новое рассогласование (s), которое возникает в результате замены y_м на y в уравнении эталонной модели (3.5),

(3.13)

Если вычесть из (3.13) уравнение (3.5), то получим уравнение, описывающее связь между рассогласованиями e и s:

. (3.14)

Из (3.14) следует, что если s ®0 при t® ¥, то в силу устойчивости имеем e ®0при t ® ¥. Следовательно, будет выполнена поставленная цель. Это позволяет задать целевую функцию в виде

(3.15)

Выполним преобразования уравнения (3.13). Просуммируем уравнения объекта (3.8) и регулятора (3.12):

,

приведем подобные и учтем (3.13):

(3.16)

Введем обозначения для вектора неизвестных параметров

вектора настраиваемых параметров

и вектора координатных переменных

Уравнение для рассогласования (3.16) примет вид

. (3.17)

Алгоритм настройки коэффициентов согласно (3.1), (3.15), (3.17) имеет вид

,

или

Методические указания

Объект управления имеет математическую модель вида

= A x + B u, y = C x, (3.18)

где – вектор координат состояния, y – выходная переменная, u – управляющее воздействие, y, u Î ; A, B, C – матрицы коэффициентов соответствующих размерностей;

A = , B = , C = , (3.19)

здесь , , b – неизвестные коэффициенты, которые могут быть как постоянными, так и переменными. Стационарный объект управления моделируется по схеме, изображенной на рис. 1.1, нестационарный – по схеме, представленной на рис. 1.2. Желаемое поведение системы описывают уравнения эталонной модели:

, (3.20)

где r – входная переменная,

= , = , = .

Рис. 1.1

\

Рис. 1.2

Коэффициенты определяются по заданным показателям качества переходного процесса, приведенным в табл. 1.1, статическая ошибка работы системы допускается равной 5 %.

Закон управления формируется в виде

,

или

. (3.21)

Т а б л и ц а 1.1

№ п/п	а0	а1	b	s%	а0
	0,1	0,5	0,1
	0.5	1.5	0.5

Коэффициенты регулятора изменяются по градиентному алгоритму адаптации:

,

, (3.22)

,

.

Структурная схема системы с градиентным алгоритмом адаптации (3.18)–(3.22) изображена на рис. 1.3. В данном случае предполагается «идеальное» измерение требуемых производных выходных переменных. Однако в большинстве реальных технических систем для оценки производных требуется введение наблюдателя состояния или фильтра оценки производных.

Уравнение асимптотического наблюдателя (идентификатора) имеет вид

,

где

причем – желаемый характеристический многочлен наблюдателя, коэффициенты которого определяются, исходя из требо-

ваний к динамическим свойствам: . Заметим, что

причем , . Для старшей производной выходной переменной наблюдателя, которая является оценкой соответствующей производной выходной переменной системы, справедливо выражение

или .

Структурная схема адаптивной системы с наблюдателем изображена на рис. 1.4.

Качество работы адаптивной системы оценить с помощью показателей: перерегулирование (s %), установившаяся ошибка ( ),

s % = , , = ,

где – максимальное значение выходной переменной. Оценкой быстродействия системы выбрано время переходного процесса ( ), которое равно интервалу времени с начала работы системы до момента установления значения выходной переменной в диапазоне

.

Моделирование адаптивной системы рекомендуется выполнять в среде MatLab, приложение Simulink.