Основные свойства определенных интегралов
Наиболее просто и естественно установить эти свойства, опираясь на какой-либо наглядный смысл определенного интеграла. Например, на то, что любой определенный интеграл 
связан, согласно (3), (5) и (6), с площадями криволинейных трапеций. Но использовать этот геометрический смысл определенного интеграла для вывода его свойств в самом общем случае, то есть в случае знакопеременной функции y = f(x), не очень удобно. Гораздо удобнее и нагляднее установить эти свойства, если, в соответствии с (12), считать определенный интеграл работой А силы f(x) (силы любого направления, а значит, и любого знака), когда точка приложения х этой силы перемещается вдоль оси ох из положения а в положение b (рис. 10).
(22)
Тогда сразу становятся очевидными следующие
Свойства определенных интегралов:
1)  – число | (23) |
(число А может быть любого знака).
2)  | (24) |
(переменную интегрирования в определенном интеграле можно обозначить как угодно – результат не изменится).
3)  | (25) |
(ибо если перемещение точки отсутствует, то работа любой силы f(x) равна нулю).
4)  | (26) |
(ибо если сила отсутствует, то и работа отсутствует).
5)  | (27) |
(ибо работа постоянной единичной силы численно равна перемещению точки под действием этой силы).
6)  | (28) |
7) Для любых трех чисел a,b и c ( при всех возможных их расположениях относительно друг друга, см рисунки ниже ) справедливо равенство
 |
 | (29) |
8)  (30) |
9)  | (31) |
10) Если f(x) ≤ g(x) для всех xÎ[a; b], то  | (32) |
(физический смысл последних пяти свойств продумать самостоятельно).
11) Пусть m = [f(x)]наим и М = [f(x)]наиб – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на промежутке [a; b]. Тогда
 | (33) |
Действительно, так как m ≤ f(x)≤ M для всех xÎ [a; b], то применяя свойство (32) и затем свойства (31) и (27), мы и получим двойное неравенство (33). Это неравенство часто используется для прикидки (грубой оценки) величины .
12) ( теорема о среднем ). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то на этом отрезке найдется такая точка 
, что справедливо следующее равенство:
 | (34) |
Пример 1. Оценить величину 
.
Решение. Так как функция 
монотонно возрастает на отрезке [1; 3], то 
Поэтому по формуле грубой оценки (33) получаем:
Пример 2. Оценить величину 
.
Решение. Минимальное m и максимальное M значения функции 
на промежутке [0; p] не очевидны, так как с возрастанием х в выражении x + cos x первое слагаемое растет, а второе убывает. Чтобы разобраться в поведении функции y, найдем ее производную:
.
Так как sin x ≤ 1 для всех х, то 
для всех х. А значит, функция 
убывает на всей области своего определения, в том числе и на отрезке [0; p]. Таким образом, на отрезке [0; p]
Следовательно, оценка (4.18) для данного интеграла имеет вид:
