Практическая работа №5. Численное интегрирование

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и известна ее первообразная Ф(х), то определенный интеграл от этой функции вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

. (10)

Однако часто первообразная функция не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной, или подынтегральная функция задана таблично. В этих случаях применяются приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Обычный прием численного интегрирования состоит в том, что данную функцию f(x) на рассматриваемом промежутке заменяют интерполирующей функцией простого вида F(x), а затем приближенно полагают:

. (11)

Метод прямоугольников

Разобьем отрезок [a,b] на n равных промежутков точками x₀, x₁,…, x_n. Величина h = (b-a)/n – длина каждого промежутка разбиения – называется шагом интегрирования.

Заменим функцию f(x) на каждом промежутке постоянной функцией, принимающей значение, равное значению в левом (правом) конце промежутка. Получим при этом формулу левых (правых) прямоугольников (как площадь ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками).

Формула левых прямоугольников:

. (12)

Формула правых прямоугольников:

. (13)

Справедлива следующая оценка погрешности формул прямоугольников:

;

(14)

Формула трапеции

Величина интеграла может быть определена с большей точностью с тем же шагом интегрирования, если считать, что на каждом промежутке функция не постоянна, а изменяется линейно от значения в левом конце до значения в правом конце.

Формула трапеции имеет вид:

. (15)

или

Оценка точности формулы:

;

. (16)

Формула Симпсона

Формула Симпсона заменяет на каждом интервале [x_i, x_i-1] исходную функцию на многочлен 2 степени. На каждом интервале интеграл имеет вид

(17)

Затем надо просуммировать полученные интегралы для получения интеграла на всем интервале интегрирования.

Или

(18)

Формула остаточного члена:

;

Задание.Вычислить значения интегралов, заданных в таблице 1 в MatCad.

Таблица 1 – Задания для расчетов

Вариант	Формула интеграла	Вариант	Формула интеграла
	1)			1)
2)		2)
	1)			1)
2)		2)
	1)			1)
	2)			2)
	1)			1)
2)		2)
	1)			1)
2)		2)
	1)			1)
2)		2)

ЛИТЕРАТУРА

1. Голубева Н.В. Математическое моделирование систем и процессов [Электронный ресурс]: Учеб. пособие.-СПб.: Издательство `Лань`, 2013.-192с.Режим доступа http://e.lanbook.com/view/book/4862/#

2. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MAHTCAD [Электронный ресурс]: учеб. пособие. -СПб.: Издательство `Лань`, 2009.- 352с Режим доступа http://e.lanbook.com/view/book/294/#

3. Закалкина, Е.В., Еремеева Н.П. Математическое моделирование. Методические указания по проведению практических занятий. / Е.В. Закалкина, Н.П. Еремеева. - Орел, Госуниверситет-УНПК, 2014г. – 47 с. Режим доступа:http://elib.ostu.ru/