Лекции 12 Случайные величины

Определение 1. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами: X, Y, Z, а их возможные значения: x, y, z. Например, если случайная величина X имеет три значения, то они обозначаются .

Определение 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Определение 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Закон распределения дискретных случайных величин

Рассмотрим дискретную случайную величину Х с конечным множеством возможных значений. Величина Х считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина Х может принять эти значения. Указанный перечень этих значений и их вероятностей называют законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы.

В верхней строке записывают все возможные значения величины Х, в нижней строке выписывают вероятности , , …, значений . Читается следующим образом: Случайная величина x может принять значения с вероятностью (i=1, 2, …, n.).

Т.к. в результате испытания величина Х всегда примет одно из значений , то + +…+ =1.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Некоторая дискретная случайная величина Х с конечным числом своих значений задана законом распределения.

Определение. Математическим ожиданием М(Х) дискретнойслучайной величины Хназывают сумму произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности: (1).

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Математическое ожидание случайной величины называют также ее средним значением или ожидаемым значением.