О синтезе систем с ЦВМ методом логарифмических амплитудных характеристик

Изображенный дискретный фильтр имеет в области частот w ЛАЧХ & ЛФЧХ, использовать которые при синтезе неудобно.

Перевод с помощью v-преобразования ЧХ в область псевдочастот l, позволяет получить ЛАЧХ, которые по виду подобны ЛАЧХ непрерывных систем.

Последовательность преобразований следующая:

W_э(s)×W(s) ® W(z) ® W(v) ® W(jlT_ц/2).

Эти преобразования при использовании экстраполятора нулевого порядка могут быть формализованы. Пусть ПФ непрерывной части имеет вид:

.

Техническая реализуемость систем с ЦВМ позволяет ввести положения:

1. Пусть для частоты среза непрерывной части выполняется условие w_ср < 2/T_ц.
2. Все постоянные времени знаменателя разделим на две группы - до и после диапазона от частоты среза до частоты дискретизации:

T₁, ..., T_q > (1/w_ср ... 1/w_ц) > T_q+1, ..., T_n.

1. Постоянные времени в числителе t₁, ..., t_m пусть больше чем 1/w_ср.
2. Поскольку система должна быть устойчива, пусть наклон ЛАЧХ на w_ср будет -20 дБ/дек.

Принятые положения, позволяют описать свойства систем в области низких и высоких частот двумя ПФ:

.

Теперь для формального перехода в область псевдочастот l (минуя промежуточные z и v-преобразования) достаточно подставить в ПФ W_o(s)_НЧ вместо s jl и умножить ее на множитель (1-jlT_ц/2), для низких частот приближенно равный 1.

А ПФ W_o(s)_ВЧ будет соответствовать выражение:

.

Модуль которого: .

Результирующий фазовый сдвиг обеих областей:

.

Резюме:

1. В области НЧ (w < 2/T_ц) асимптотическая ЛАЧХ системы с ЦВМ практически сливается с ЛАЧХ непрерывной части (множитель (1-jlT_ц/2) » 1) и можно положить l » w. Это позволяет один к одному использовать разработанную для непрерывных систем методику формирования НЧ части желаемой ЛАЧХ.
2. В области ВЧ отличия вносит множитель (1-jlT_ц/2), ухудшающий условия устойчивости. Поэтому при формировании запретной ВЧ области в расчетных формулах величина T_ц/2 должна быть просуммирована с малыми постоянными времени:

Цифровая коррекция

Цифровая или дискретная коррекция весьма интересна с практической точки зрения в силу конструктивной универсальности устройств и гибкости настройки. Решения задач коррекции предполагают модификации низкочастотного и среднечастотного фрагментов ЛАЧХ, как правило, с уменьшением частоты среза w_ср. Известно, что в этом диапазоне системы с ЦВМ и их ЛАЧХ - L(l) не отличаются существенно по свойствам от непрерывных аналогов. Поэтому методика синтеза коррекции едина для цифровых и непрерывных систем. Проектирование же дискретной коррекции ведется в четыре этапа.

1. Синтез ПФ непрерывного корректирующего устройства W_к(s) по методикам разработанным для непрерывных систем.
2. Переход от непрерывной ПФ корректирующего устройства W_к(s) к эквивалентной дискретной W_к(z) посредствам последовательных переходов по изображениям:

,

с помощью результирующей формулы билинейного преобразования (т.е. формальной подстановки):

где: T_ц - период дискретизации ЦВМ.

1. Составление структурной схемы дискретной ПФ W_к(z), оптимизированной при реализации по объёму памяти, быстродействию или для контроля промежуточных фазовых координат системы.
2. Написание программы для ЦВМ (периферийный контроллер, микроЭВМ, ЭВМ, цифровой сигнальный процессор - DSP) или разработка схемы на цифровых микросхемах.

• Заметим, что из непрерывной ПФ можно получить бесконечное количество вариантов дискретной ПФ, при разных периодах дискретизации ЦВМ (этап 2).
• Обычно частоту дискретизации f_ц=1/T_ц выбирают в 6..10 раз больше частоты среза f_ср разомкнутой системы. Первоначально частоту дискретизации выбирают большой (f_ц=10..30f_ср), за тем, за две три попытки стремятся ее уменьшить (т.е. повторяют этап 2). При низких частотах дискретизации качество переходного процесса ухудшается настолько (в сравнении с непрерывной коррекцией), что платить за это понижением производительности ЦВМ не представляется возможным. Соответствующую ПФ W_к(z) используют в дальнейшем.
• При синтезе ПФ W_к(s) или W_к(z) необходимо, что бы степень числителя W_к(s) не была больше степени знаменателя или свободный коэффициент a₀ в знаменателе ПФ W_к(z) не был нулевым, иначе невозможно реализовать программу.
• Если требуется обратный переход от W_к(z)_НЧ к W_к(s)_НЧ следует воспользоваться обратной формулой билинейного преобразования:

Этот переход однозначен при известном периоде работы ЦВМ T_ц.

Цифровые регуляторы

В непрерывных системах широко используются PID-регуляторы, которые представляются идеализированным уравнением:

.

где: K_P - коэффициент усиления пропорционального канала; T_I^x - постоянная времени сопрягающего полюса интегрального канала; T_D^x - постоянная времени сопрягающего полюса дифференциального канала.

Для малых периодов дискретизации T_ц уравнение может быть преобразовано в разностное без существенной потери в точности. Непрерывное интегрирование может быть представлено с помощью метода прямоугольников , или метода трапеций .

Используем метод прямоугольников для аппроксимации непрерывного интеграла и запишем PID-закон в дискретном виде:

.

В результате получен нерекуррентный (позиционный) алгоритм управления, который требует сохранения всех предыдущих значений сигнала ошибки x[i], и в котором каждый раз заново вычисляется управляющий сигнал u[n].

Для реализации программ закона регулирования на ЦВМ более удобным является рекуррентный алгоритм. Он характеризуется тем, что для вычисления текущего значения сигнала u[n] используется его предыдущее значение u[n-1] и поправочный коэффициент, не требующий существенных вычислительных затрат. Определим его:

.

Перенесем u[n-1] в правую часть - получим "скоростной" алгоритм для программной реализации регулятора:

u[n] = u[n-1] + b₀ x[n] + b₁ x[n-1] + b₂ x[n-2]. (*)

Если для аппроксимации непрерывного интеграла использовать метод трапеций, то разностное уравнение будет иметь вид:

.

Преобразования, аналогичные выше изложенным, при получении рекуррентного соотношения (*), выявляют отличия только для коэффициента b₀:

.

Запишем РУ (*) для изображений в z-домене:

U [z] (1- z ^-1) = (b₀ + b₁ z ^-1 + b₂ z ^-1) X [z] ,

и представим его в виде дискретной ПФ:

.

Анализ ее коэффициентов показывает, что: