Математический признак устойчивости
Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения САУ:
- невозмущенное движение,
- возмущенное движение.
При нарушении равновесия САУ, вызванного внешним воздействие, возникают переходные процессы. Вид переходного процесса зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе присутствуют 2 составляющие: - свободные движения системы, определяемые начальными условиями и свойствами САУ;
- вынужденные движения, определяемые возмущением и свойствами системы. Вид переходного процесса определяется как
.
Чтобы САУ могла достоверно отображать задаваемую информацию необходимо, чтобы в переходном процессе свободная составляющая с течением времени должна стремиться к нулю, то есть должно выполняться условие вида:
.
Характер свободного движения системы определяет ее устойчивость или неустойчивость. Возможные виды переходных процессов в САУ представлены на рис.
Рис. Виды кривых переходных процессов.
Определение устойчивости по М. Я. Ляпунову
Невозмущенное движение (при Dxi¥=0) называется устойчивым по отношению к пременным xi, если при всяком заданном положительном числе A2, как бы мало оно нибыло, можно выбрать другое положительное число l2(A2) так, что для всех возмущений Dxi0, удовлетворяющих условию:
,
возмущенное движение будет для времени t ³ T удовлетворять неравенству:
,
где: mi - коэффициенты, уравновешивающие размерности величин Dxi0.
Если с течением времени lim Dxi®0, то система ассимптотически устойчива.
Понятие о характеристическом уравнении
Было сказано, что устойчивость системы связана с природой самой системы, а не с тем, как внешние источники движущих сил (задание, помехи) заставляют перемещаться ее координаты. Очевидно, что невозможно описать систему не учитывая источников. Поэтому в правой части ДУ описывающих систему всегда будут присутствовать источники движущих сил. Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс обусловленный энергией, которую накопили пассивные реактивные элементы цепи (собственный переходный процесс). Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением.