Математический признак устойчивости

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения САУ:

• невозмущенное движение,
• возмущенное движение.

При нарушении равновесия САУ, вызванного внешним воздействие, возникают переходные процессы. Вид переходного процесса зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе присутствуют 2 составляющие: - свободные движения системы, определяемые начальными условиями и свойствами САУ; - вынужденные движения, определяемые возмущением и свойствами системы. Вид переходного процесса определяется как

.

Чтобы САУ могла достоверно отображать задаваемую информацию необходимо, чтобы в переходном процессе свободная составляющая с течением времени должна стремиться к нулю, то есть должно выполняться условие вида:

.

Характер свободного движения системы определяет ее устойчивость или неустойчивость. Возможные виды переходных процессов в САУ представлены на рис.

Рис. Виды кривых переходных процессов.

Определение устойчивости по М. Я. Ляпунову

Невозмущенное движение (при Dx_i¥=0) называется устойчивым по отношению к пременным x_i, если при всяком заданном положительном числе A², как бы мало оно нибыло, можно выбрать другое положительное число l²(A²) так, что для всех возмущений Dx_i0, удовлетворяющих условию:

,

возмущенное движение будет для времени t ³ T удовлетворять неравенству:

,

где: m_i - коэффициенты, уравновешивающие размерности величин Dx_i0.

Если с течением времени lim Dx_i®0, то система ассимптотически устойчива.

Понятие о характеристическом уравнении

Было сказано, что устойчивость системы связана с природой самой системы, а не с тем, как внешние источники движущих сил (задание, помехи) заставляют перемещаться ее координаты. Очевидно, что невозможно описать систему не учитывая источников. Поэтому в правой части ДУ описывающих систему всегда будут присутствовать источники движущих сил. Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс обусловленный энергией, которую накопили пассивные реактивные элементы цепи (собственный переходный процесс). Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением.