Пример 1. Найти область определения функции
.
Решение.Область определения найдем из неравенства , т.е.
.
Это круг с центром в начале координат с радиусом .
Подобно тому, как функцию изображают графиком, можно геометрически проиллюстрировать уравнение
. Ставя в соответствие каждой точке
аппликату
, мы получим некоторое множество точек
в трехмерном пространстве, как правило, некоторую поверхность. Поэтому равенство
называют уравнением поверхности.
3.4.2 Приращение функции . Частные производные и полный дифференциал функции
Понятие непрерывности функции аналогично понятию непрерывности для функции одной переменной.
Определение 1.Функция называется непрерывной в точке
, если
.
Основные свойства непрерывных функций справедливы и в кратном случае.
Пусть задана функция и точка
.
Определение 2.Если х получит приращение , а у — приращение
, то
— называется полным приращением функции.
Если изменение функции z происходит лишь при изменении одного из аргументов х или у, то функция получает частные приращения:
,
или .
Рассматривая приращение одного аргумента, мы фактически переходим к функции одной переменной.
Определение 3.Если существует конечный предел , то его называют частной производной функции
по аргументу х и обозначают одним из символов:
.
Геометрическое содержание и
определяется соответствующими касательными к поверхности
.
Фактически, по определению, каждая частная производная является производной функции одной переменной. Поэтому, при вычислении частных производных можно пользоваться известными правилами и формулами дифференцирования функций одной переменной, считая при этом другую переменную постоянной.
Пример 1. Найти частные производные функций:
а) ; б)
.
Решение.
а) (у — фиксированное),
(х — фиксированное);
б) ,
(х — фиксированное).
Пример 2. Найти частные производные функции:
а) ; б)
.
Решение.
а) .
б) ,
.
Аналогично определяются производные функции трех и более переменных.
Определение 4. Частные дифференциалы определяются как главные части частных приращений функции:
.
Определение 5. Полным дифференциалом функции (или дифференциалом) называют сумму ее частных дифференциалов, т.е.
.
Определение 6.Функция называется дифференцированной в точке
, если ее полное приращение имеет вид
, где
– полный дифференциал функции,
,
– бесконечно малые при
.
Таким образом, дифференциал функции нескольких переменных, как и в случае функции одной переменной, есть главная (линейной относительно и
) часть полного приращения.
Геометрическое смысл дифференциала заключается в том, что является приращением аппликаты касательной плоскости к поверхности одной переменной, и базируется на равенстве
.
Полный дифференциал функции применяют при приближенных вычислениях значений функций при условии , в развернутом виде:
, где
,
или
.
Пример 3.Найти полный дифференциал функции .
Решение. Найдем частные производные функции: