Геометрические вероятности

  Дан отрезок:         L    
           
           
             
             
             
             
      l      
           
           

L - длина отрезка

l - часть отрезка

На отрезок L наугад наносится точка.

Вероятность попадания в отрезок l :

  P = l
L

Дана плоская фигура:

           
    g      
          G - площадь всей фигуры
          g - площадь части фигуры
      G    
           
  P = g
G

Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру.

  P = v
V
где: V- объем всей фигуры
  v- объем части фигуры

Пример. На отрезке L=16 см помещен отрезок l=4 см. Найти вероятность того , что наугад поставленная на отрезок L точка попадет в отрезок l.

Решение.

Искомая вероятность равна Геометрические вероятности - student2.ru

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ

1. На отрезке L = 20 см помещен отрезок l= 10 см. Найти вероятность того, что наугад поставленная на отрезок L точка попадет в отрезок l.
   
2. В круге радиусом R есть круг радиуса r. Найти вероятность того, что наугад брошенная в большой круг точка попадет в малый круг.
   
3. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиусом r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.
   
4. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной a наудачу брошена монета радиусом r < a/2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон квадрата:
   
5. На плоскости начерчены две концентрические окружности с радиусами 5 см и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадет в кольцо, образованное двумя окружностями.
   



КОСВЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия

№№ пп События Сущность Событий Обозначения
       
1. Несовместные Одно из двух (А+В)
       
2. Противоположные   (А+В)
       
3. Совместные:    
  - независимые - совместное наступление (АВ)  
    - хотя бы одно из 2-х А+В
       
       
  - зависимые - совместное наступление (АВ)
       
4. Условная вероятность вероятность события А при условии события x P(A/x)

Основные теоремы теории вероятностей

Название теоремы Трактовка теоремы Обозначения
     
Теорема сложения вероятностей не-совместных собы-тий Вероятность наступления одного из 2-х несов-местных событий равна сумме вероятностей этих событий.   P(A+B) = P(A) + P(B)
     
Теорема умножения вероятностей Вероятность совместного наступления 2-х независимых событий равна произведению их вероятностей   P(AB) = P(A) * P(B

Название теоремы Трактовка теоремы Обозначения
     
Теорема сложения вероятностей сов-местных событий Вероятность наступления хотя бы одного из 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.   P(A+B)=P(A)+P(B)-Р(АВ)   Графически это можно пояснить так:
          100%
  Р(А)      
    Р(В)    
         
  Часть вероятности наступления каждого события совпадает с вероятностью их совместного наступления.
               

Примеры:

1. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть оков?

Решение

Введем обозначения событий”:

А - ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков;

Аi – на выпавшей грани i-той кости (i = 1, 2, 3, … , n) не появится 6 очков.

Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий А1, А2, А3, … Аn, т.е. А=А1 А2, … Аn.

Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р(Аi) = 5/6

События Аi независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

Р(А) = Р(А1 А1, … Аn) = Р(А1) Р(А2) … Р(Аn) = (5/6)n

По условию (5/6)n < 0,3. Следовательно, n ln(5/6) < ln 0,3.

Отсюда, учитывая, что ln(5/6) < 0, найдем: n>6,6.

Т.о. искомое число игральных костей n ³7.

2. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение

Введем обозначения событий”:

А - первый взятый учебник имеет переплет;

В – второй учебник имеет переплет.

Вероятность того, что первый учебник имеет переплет:

Р(А) = 3/6 = 1/2

Вероятность того, что второй учебник имеет переплет при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события В:

РА(В) = 2/5

Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей равна:

Р(АВ) = Р(А) РА(В) = 1/2 . 2/5 = 0,2.

3. Разрыв электрической цепи происходит в том случае , когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того , что не будет разрыва цепи , если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3 , 0,4 и 0,6. Как изменится искомая вероятность , если первый элемент не выходит из строя?

Решение.

Искомая вероятность равна вероятности того , что не выйдут из строя все три элемента. Пусть событие Геометрические вероятности - student2.ru означает , что k-й элемент не выйдет из строя (k=1,2,3). Тогда p=P( Геометрические вероятности - student2.ru . Так как события независимы , то

Геометрические вероятности - student2.ru

Если первый элемент не выходит из строя , то

Геометрические вероятности - student2.ru

Наши рекомендации