Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь

15. Вторая производная, её физический смысл

Пусть функция Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru дифференцируема в некотором интервале Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru . Продифференцировав ее по аргументу х, мы получаем первую производную Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru от функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - первая производная от функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru или производная первого порядка от функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Определение: Производная от производной первого порядка от данной функции называется производной второго порядка от этой функции.

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Пример: Вычислить вторую производную функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Решение:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Упражнения: Найти производную 2-ого порядка для функций:

1) Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 2) Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 3) Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 4) Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 5) Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Вывод: Вторая производная функции в точке – ускорение изменения функции в этой точке.

16. Выпуклость, точки перегиба графика функции

Графики функций имеют различное положение по отношению к оси абсцисс Ох. Поэтому вводится понятие выпуклости графика функции.

Определение: График функции называется выпуклым вверх на данном отрезке, если все точки графика лежат выше (не ниже) хорды, соединяющей любые две его точки. Рис. 1.

Определение: График функции называется выпуклым вниз на данном отрезке, если все точки графика лежат ниже (не выше) хорды, соединяющей любые две его точки. Рис. 2.

Определение: Точка перехода графика функции от выпуклости вверх к выпуклости вниз и наоборот называется точкой перегиба графика функции. Рис. 3.

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Для определения выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции существует теорема.

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Теорема: Если вторая производная функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru на отрезке Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru отрицательна, то график функции на этом отрезке выпуклый вверх, а если вторая производная функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru на отрезке Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru положительна, то график функции на этом отрезке выпуклый вниз.

«Правило дождя» для запоминания теоремы о выпуклости графика функции:

Пример: Найти интервалы выпуклости графика функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

1. Найдем область определения функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

2. Вычислим первую производную функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

3. Вычислим вторую производную функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

4. Определим значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

5. Определим знак второй производной в интервалах, на которые область определения разбивается значениями аргумента Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , и характер выпуклости функции в этих интервалах:

х Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - 1 Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru
Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru + - +
у Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Ответ: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru у – выпуклая вниз;

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru у – выпуклая вверх.

Определение: Значение аргумента, при котором вторая производная функции равна нулю или не существует, называется критической точкой второго рода.

Теорема: Если непрерывная на отрезке Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru вторая производная функции в точке х0 равна нулю и при переходе аргумента через х0 меняет знак, то х0 – точка перегиба.

Пример: Найти точки перегиба графика функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

1. Найдем область определения функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru : Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2. Вычислим производную функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

3. Вычислим вторую производную функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

4. Найдем критические точки второго рода функции, то есть значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

5. Определим знак второй производной слева и справа от критической точки Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , и характер выпуклости графика функции в полученных интервалах:

х Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru
Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru + -
у Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru перегиб Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

6. Определим ординату точки перегиба графика функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Ответ: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru у - выпуклая вниз; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru у - выпуклая вверх;

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - точка перегиба графика функии.

План исследования функции на выпуклость и существование точек перегиба

1. Найти область определения функции.

2. Вычислить первую производную функции.

3. Вычислить вторую производную функции.

4. Найти критические точки 2-ого рода функции, приравняв вторую производную функции к нулю и решив полученное уравнение.

5. Определить знак второй производной функции слева и справа от критических точек.

6. Определить характер выпуклости функции в полученных интервалах области определения функции и точки перегиба функции, если они есть.

7. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Упражнения: Исследовать на выпуклость и существование точек перегиба функции:

1. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 2. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 3. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 4. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 5. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 6. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 7. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 8. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 9. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru . 10. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 11. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; 12. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru (кривая Гаусса); 13. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

17. Исследование функций и построение их графиков

Пример: Исследовать функцию Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru и построить ее график.

1. Найти область определения функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2. Определить четность, нечетность функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - не существует. Область определения не симметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной ни нечетной.

3. Определить точки пересечения с осью Оу: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

4. Определить нули функции (точки пересечения с осью Ох):

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - нуль функции.

5. Определить промежутки знакопостоянства:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:

1) Вычислить первую производную функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

2) Найти критические точки функции, то есть значения аргумента х, при которых первая производная функции равна нулю:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

3) Определить знак первой производной слева и справа от критических точек Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:

х Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - 2 Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru
Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru + - - +
у - 4
max min

4) Определить экстремальные значения функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

7. Определить интервалы выпуклости, точки перегиба графика функции:

1) Вычислить вторую производную функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

2) Найти критические точки 2-ого рода, то есть значения аргумента х, при которых вторая производная функции равна нулю:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - уравнение корней не имеет, критических точек нет.

3) Определить знак второй производной в интервалах области определения функции, характер выпуклости графика функции в них:

х Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru
Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - +
у Ç È

8. Найти дополнительные точки графика функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Пример: Исследовать функцию Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru и построить ее график.

Решение:

1. Найти область определения функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2. Определить четность, нечетность функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru и Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Определить точки пересечения с осью Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

4. Определить нули функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - нули функции.

5. Определить промежутки знакопостоянства:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:

1) Вычислить производную функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2) Найти критические точки функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

3) Определить знак производной слева и справа от критических точек Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:

х Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru
Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru + - +
у
max min

4) Определить экстремальные значения функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

7. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции:

1) Вычислить вторую производную функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2) Найти критические точки 2-ого рода: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

3) Определить знак второй производной слева и справа от критической точки, характер выпуклости функции в полученных интервалах, точку перегиба графика функции:

х Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru
Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - +
у Ç È
перегиб

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - точка перегиба графика функции.

8. Найти дополнительные точки графика функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Пример: Исследовать функцию Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru и построить ее график.

Решение:

1. Найти область определения функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2. Определить четность, нечетность функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru и Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Определить точки пересечения с осью Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

4. Определить нули функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - нули функции.

5. Определить промежутки знакопостоянства:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

6. Определить интервалы монотонности, точки экстремума функции:

1) Вычислить производную функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2) Найти критические точки функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

3) Определить знак производной слева и справа от критических точек Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; характер монотонности функции в полученных интервалах, точки экстремума функции:

х Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru
Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru + + -
у 5,4
max

4) Определить максимальное значение функции: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

7. Определить точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции:

1) Вычислить вторую производную функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2) Найти критические точки 2-ого рода:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

3) Определить знак второй производной слева и справа от критических точек, характер выпуклости функции в полученных интервалах, точки перегиба графика функции:

х Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru
Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru - + -
у Ç È 3,2 Ç
перегиб перегиб

8. Найти дополнительные точки графика функции:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Упражнения: Исследовать функцию и построить ее график:

  1. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  2. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  1. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  2. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  1. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

18. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала функции

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала.

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru Пусть функция Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ruв точке М0 0 , у0) имеет производную Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru . Проведем к графику функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ruв точке М0 0 , у0) касательную М0Т с угловым коэффициентом Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , который равен значению производной функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ruв точке х0 : Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Если значению аргумента х0 (абсциссе точки М0)дать приращение Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru , то соответствующее значение функции у0 (ордината точки М0)получит приращение Δу. При этом ордината касательной получит приращение d у.

Из прямоугольного треугольника Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ( Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ):

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Определение: Дифференциалом функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Пример: Вычислить дифференциал аргумента х: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru

Вывод:

1. Дифференциал независимой переменной (аргумента) равен приращению этой переменной: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

2. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной: Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru или Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Вывод: Если функция Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru имеет производную в точке х0, то дифференциал функции dу в точке х0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке х0 при переходе от х0 к х0 +Δ х.

Пример: Найти дифференциалы функций:

1) Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;

2) Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ; Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Упражнения: Найти дифференциал функции:

  1. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  2. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  3. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  1. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  2. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  1. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru ;
  2. Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru .

Контрольные вопросы по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

1. Дать определение функции, графика функции.

2. Дать определение области определения функции, множества значений функции.

3. Дать определение четной, нечетной функции.

4. Дать определение монотонной, возрастающей, убывающей функций.

5. Дать определение обратимой функции.

6. Дать определение нулей функции, промежутков знакопостоянства функции.

7. Дать определение периодической функции, периода функции.

8. Дать определение ограниченной функции.

9. Дать определения функции, непрерывной в точке х0, непрерывной на интервале.

10. Дать определение производной функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru в точке х0.

11. Сформулировать вывод о физическом смысле производной.

12. Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций?

13. Дать определение сложной функции.

14. Сформулировать правило дифференцирования сложной функции.

15. Формулы производных основных элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических).

16. Дать определение касательной к графику функции Из всех прямоугольников с периметром 16 см найти тот, который имеет наибольшую площадь - student2.ru в точке М0.

17. Сформулировать вывод о геометрическом смысле производной.

18. Сформулировать признаки постоянства, возрастания, убывания функции.

19. Дать определения точек экстремума функции (минимума, максимума).

20. Сформулировать признак существования экстремума функции.

21. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке?

22. Дать определение второй производной функции.

23. Дать определение функции, выпуклой вверх, выпуклой вниз.

24. Дать определение точки перегиба графика функции.

25. Сформулировать признак выпуклости графика функции.

26. Сформулировать признак существования точки перегиба графика функции.

27. Дать определение дифференциала функции.

Таблицы производных

Наши рекомендации