Задачи для самостоятельного решения. Скворцова М.И., Мудракова О.А

Скворцова М.И., Мудракова О.А.

Практикум

По математическому анализу

Для студентов вечернего отделения

Ого курса

(Часть III)

Учебно-методическое пособие

Москва, 2007

УДК 512.8:516

ББК С42

Рецензенты:

1) к.ф.-м.н., доцент Каролинская С.Н. (Московский авиационный институт им. С. Орджоникидзе);

2) к.ф.-м.н., доцент Краснослободцева Т.П. (МГАТХТ им. М.В. Ломоносова).

Скворцова М.И., Мудракова О.А. Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения
1-ого курса (Часть III). Учебно-методическое пособие – М.: МГАТХТ, 2007 – 46 с.; рис. 5.

Пособие представляет собой конспекты пяти практических занятий по курсу математического анализа для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М.В. Ломоносова. Оно является продолжением учебно-методического пособия Скворцова М. И., Мудракова О. А., Кротов Г.С. // Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения 1-ого курса (Часть II); М., МГАТХТ, 2006. В часть III включены следующие разделы: «Дифференциальное исчисление функций двух переменных», «Метод наименьших квадратов». Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты четырех занятий содержат краткое изложение соответствующей теории, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения. В конспекте одного из занятий приведен образец варианта контрольной работы (с решениями), проводимой на этом занятии. Дан перечень 28 вариантов задания для самостоятельной работы по теме «Метод наименьших квадратов» (с ответами).

Пособие предназначено для студентов вечернего и очно-заочно отделений вузов химического профиля. Оно может быть использовано также и студентами дневного отделения вузов вышеуказанного профиля.

© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Занятие 13. Функции двух переменных: основные определения. Частные производные и дифференциал функции двух переменных. 4

Занятие 14. Производные сложной и неявно заданной функции 14

Занятие 15. Экстремумы функции двух переменных. Элементы теории поля 21

Занятие 16.Контрольная работа №3 по теме «Дифференциальное исчисление функций двух переменных». Вариант-образец. 32

Занятие 17. Метод наименьших квадратов для обработки результатов эксперимента 37

Перечень вариантов для самостоятельной работы по теме «Метод наименьших квадратов» 42

Список литературы.. 45

Занятие 13.
Функции двух переменных: основные определения.
Частные производные и дифференциал функции двух переменных.

Определение.Пусть на плоскости задано некоторое множество . Зависимость переменной от переменных и называется функцией двух переменных, если каждой паре чисел ставится в соответствие единственное значение .

Пишем: .

Говорим: есть функция от и .

При этом и называются независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной.

Определения.

1)Область определения функции – это множество всех пар , для которых она определена, т.е. множество ;

2)Множество значений функции – это множество

;

3)График функции – это множество точек , таких, что , а (это поверхность в ).

Пример 1 (Определение множеств и построение графика функции).

Рассмотрим функцию .

Область определения этой функции:

–

круг радиуса с центром в точке . Множество значений функции: – отрезок.

График функции – это верхняя часть сферы радиуса с центром в точке (рис. 1).

Пример 2 (Определение области и изображение ее

на плоскости).

Рассмотрим функцию .

Найдем ее область определения . Т.к. функция «логарифм» определена только для положительных значений аргумента, то

Изобразим на плоскости:

Пример 3 (Определение области и изображение ее

на плоскости).

Рассмотрим функцию .

Найдем ее область определения . Т.к. функция «арксинус» определена только для значений аргумента, принадлежащих отрезку , то . Т.к. функция «квадратный корень» определена для неотрицательных значений подкоренного выражения, то . Имеем систему неравенств, задающую область :

Þ

На рис. 3 изображена область , представляющая собой две части кольца, ограниченного окружностями и , расположенных в I-ой и III-й четвертях координатной плоскости.

* * * * *

Значение функции в некоторой конкретной точке обозначатся так:

или .

Пример 4 (Нахождение значения функции в точке).

Для функции и точек:

а) ; б) ; в) найти значение .

Подставим в выражение для вместо и заданные значения и :

а) ;

б) ;

в) .

Определение.Частной производной(читаем: «зэт штрих по икс») функции по переменной называется следующий предел:

.

Аналогично определяется частная производная (читаем: «зэт штрих по игрек»):

.

Для частных производных, наряду с , , используются также следующие обозначения:

.

(или ).

Запись « » читаем «дэ эф по дэ икс».

Значение частной производной в некоторой фиксированной точке обозначаем так:

или , или , или .

Определение.Полный дифференциал функции в точке – это выражение вида:

,

где , d y ≡Δy - приращения аргументов и . (Таким образом, зависит от заданной точки и заданных приращений , аргументов и ).

Определение.Частные производные 2-го порядка от функции – это частные производные по или по от функций и , т.е.:

, ; ,

или, в других обозначениях:

, , ,

.

Замечания.

1)Частные производные и называют смешанными частными производными.

Если определена в некоторой области и ее частные производные , , , определены и непрерывны в , то (теорема Шварца).

2)Аналогично определяется функция переменных и ее частные производные или .

Пример 5 (Вычисление , и ).

В процессе нахождения частной производной полагаем, что вторая переменная – это константа. В этом случае нахождение сводится к нахождению обычной производной от функции одной переменной с соблюдением всех правил дифференцирования. Аналогичное верно и для .

а)Найдем , и для функции .

Имеем:

;

;

.

б)Найдем , и для функции .

Имеем:

;

;

.

в)Найдем , для функции .

Имеем:

Пример 6 (Нахождение частных производных 2-го

порядка).

Найдем , , , для функции .

Имеем:

, ,

, ,

.

Задачи для самостоятельного решения

Найти область определения функции .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) .

Задана функция . Найти:

1) ;2) ; 3) .

Найти , и для функции .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Найти , , для функции :

1) ;

2) ;3) .

Найти , , , для функции :

1) ; 2) .

Занятие 14.
Производные сложной и неявно заданной функции