Шестнадцатиричная система исчисления

Тема 3. Системы счисления.

Если вы всерьез собрались научиться разрабатывать микропроцессор­ные устройства, вам просто необходимо знать, как же компьютер хра­нит и обрабатывает числа. К сожалению (а может, и к счастью), люди не придумали способа записывать в виде электронных сигналов числа в том виде, как мы их привыкли видеть. Поэтому математикам сначала пришлось потрудиться и придумать более подходящий способ их пред­ставления. И они потрудились на славу! Придуман не один, а огромное множество способов представления чисел.

Итак, что же это за способы? Любой грамотный человек хорошо знает, по крайней мере, два таких способа. Это, во-первых, хорошо нам извест­ные арабские цифры и гораздо менее распространенные, но все же тоже всем известные, римские цифры. Одно и то же число можно записать как 2 или как II, как 5 или как V, как 22 или как XXII.

Очевидно, что перед нами два альтернативных способа написания чисел. Числа одинаковые, а способы написания разные. Ну а если есть два способа, почему бы не выдумать и третий, четвертый и т. д.? И мате­матики давно нашли такие способы. И не три-четыре. Они нашли уни­версальный прием, позволяющий теоретически создавать бесконечное количество способов представления чисел. Эти способы назвали систе­мами исчисления.

За основу взяли арабские числа. Очевидно, что этот способ представ­ления числа гораздо более красивый, чем римский вариант, так как под чиняется строгому закону. Судите сами. В привычной для нас системе исчисления мы имеем 10 цифр: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 и 0. При помощи этих цифр мы легко можем представить любое число.

Если нам нужно записать число, величина которого меньше десяти, мы используем всего одну из вышеуказанных цифр. Для представления чисел от десяти и выше мы вводим новый разряд, который для начала мы приравниваем единице. Подставляя в младший разряд по порядку те же десять базовых цифр, мы получаем следующий десяток. Как только все цифры в младшем разряде перебраны, мы увеличиваем наш старший разряд на единицу. И так, пока не переберем все цифры вплоть до 99.

Когда во втором разряде будут перебраны все возможные варианты, мы вводим третий разряд. Затем четвертый, пятый и так до бесконечности. Как видите, здесь просматривается набор четких правил, описывающих то, как при помощи десяти знаков (цифр) представить любое мыслимое число! Так как количество цифр равно десяти, описанная выше система исчисления называется десятичной. Сформулируем набор правил, по которым строится любое число в десятичной системе исчисления.

Правило 1.

Для представления чисел используются десять цифр, каждая из которых обозначается своим знаком. Любое число записывается при помощи одной или нескольких рядом стоящих цифр, причем имеет значение как набор используемых цифр, так и их взаимное располо­жение.

Правило 2.

Для записи чисел в пределах первого десятка используется только одна цифра. Эта цифра является младшим разрядом числа.

Правило 3.

Для чисел следующего десятка вводится дополнительный разряд. Это еще одна цифра (следующий разряд числа), которая ставится впереди предыдущего разряда. Цифра, стоящая в этом разряде, озна­чает количество десятков. Двухразрядные числа используются в пре­делах первой сотни.

Правило 4.

При переполнении очередного разряда вводится следующий разряд, и так до бесконечности.

Восьмиричная система исчисления

А если бы природа распорядилась так, что у человека было бы не по пять, а по четыре пальца на каждой руке? Тогда бы цифр было восемь. И мы сейчас, наверное, использовали бы восьмиричную систему исчисле­ния! Такая система действительно существует. И как же она выглядит? Ну, во-первых, она имеет только восемь цифр.

Для удобства используются первые восемь знаков десятичной системы: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Попробуем представить, как нужно записывать числа в восьмиричной системе, при условии, что правила составления числа из отдельных цифр будут такими же, как в известной нам десятичной системе.

Числа от нуля до семи мы, как и в десятичной системе, будем запи­сывать при помощи одной цифры. В данном случае числа, записанные в десятичной и восьмиричной системах, ничем не будут отличаться. Далее в десятичной системе идет число восемь. Цифры 8 в восьмиричной системе нет!

Поэтому мы поступим в строгом соответствии с описанными выше правилами. Мы добавим новый разряд, который будет равен у нас еди­нице. Младший же разряд будет равен нулю. При этом число 8 в восьми­ричной системе исчисления будет выглядеть как 10. Для того, чтобы не путаться, при записи чисел в разных системах исчисления в математике принято помечать каждое число специальной меткой, показывающей, в какой системе исчисления оно записано.

Пример.

Число восемь в десятичной системе записывается так — 8₁₀. А то же число в восьмиричной системе записывается следующим образом— 10₈.

Рассмотрим несколько примеров записи числа в двух разных системах исчисления:

9₁₀ = 11₈,10₁₀ = 12₈, 11₁₀ = 13₈. И так далее.

После числа 17₈ в восьмиричной системе следующее число 20₈. Эти два числа в десятичной системе равны: 17₈ = 15₁₀, 20₈ = 16₁₀. Аналогичным образом, в полном соответствии с описанными выше правилами, запи­сываются и остальные числа в восьмиричной системе. После перепол­нения второго разряда появляется третий (после 77₈ идет 100₈). После третьего — четвертый, и так далее.

Количество цифр, используемых в системе исчисления, называют ее основанием.Десятичная система исчисления имеет основание 10, а восьмиричная — основание 8. Ну а теперь, когда мы знаем, как выгля­дит восьмиричная система, легко можно представить системы и с другим основанием. По большому счету можно выбрать любое число в качестве основания, лишь бы знаков (цифр) хватило для записи чисел.

Реально же на практике нашли применение, кроме десятичной и вось­миричной, еще две системы исчисления: шестнадцатиричнаяи двоич­ная.Причем последняя (двоичная) система исчисления и является той самой системой представления чисел, которую инженеры без труда смогли смоделировать при помощи электронных схем. Восьмиричная и шестнадцатиричная системы исчисления очень удобны для записи ком­пьютерных данных на бумаге и на экране компьютера. Раньше, на заре развития компьютерной техники, широко использовали восьмиричную систему. Сейчас она почти забыта. Теперь вместо нее более употребима шестнадцатиричная. Рассмотрим подробнее две еще не описанные нами системы.

Шестнадцатиричная система исчисления

В шестнадцатиричнойсистеме исчисления, как вы догадались, исполь­зуются шестнадцать цифр. Обычно для обозначения первых десяти цифр применяют те же символы, что и для десятичной системы. А недостаю­щие шесть цифр заменяют буквами латинского алфавита. Вот полный набор цифр шестнадцатиричной системы:

0,1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е и Е

Одним разрядом в шестнадцатиричной системе исчисления можно записать числа от нуля до пятнадцати. Число шестнадцать (16₁₀) записы­вается, как 10₁₆.

Примеры.

Вот еще несколько примеров шестнадцатиричных чисел:

17₁₀=11₁₆ 20б₁₀ = 0СЕ₁₆

25_ю=19₁₆ 698_ю = 2ВА,₆

26_W=1A₁₆ 1235,₀=4D3₁₆

Применение букв может внести путаницу. Если число состоит только из букв, его можно принять за какое-то слово. Например, за название переменной в тексте программы. Поэтому перед шестнадцатиричным числом, начинающимся с буквы, принято ставить незначащий ноль.