Векторное произведение как антисимметричный тензор
Векторное произведение двух векторов впервые появилось при изучении векторной алгебры и определялось там, как вектор, поставленный в соответствие по определенному правилу перемножаемым векторам. Познакомившись с понятием тензора, мы увидели, что в действительности векторное произведение – псевдовектор (аксиальный вектор). В тензорном анализе векторное произведение векторов и
часто определяют как величину:
(149)
Видим, что это удвоенная антисимметричная часть диады , взятая со знаком минус, и потому являющаяся антисимметричным тензором 2-го ранга (бивектором). Три существенные компоненты этого бивектора являются компонентами векторного произведения в смысле определения векторной алгебры. В самом деле, матрица бивектора (149) выглядит так:
(150)
В параграфе 19 формулой (142) мы обозначили существенные компоненты бивектора как . Сравнивая (150) и (142) видим, что:
;
;
(151)
А это и есть компоненты векторного произведения, как они были определены в векторной алгебре. Следовательно, векторное произведение двух векторов – это бивектор вида (149).
Задачи.
Задача 13. Расшифровать следующие тензорные символы: ,
,
,
,
.
Решение. а) представляет собой сумму:
и получается свёрткой тензора 2-ранга
. Она называется следом тензора
и обозначается
или
. След тензора 2-ого ранга равен сумме его диагональных компонент.
б) – это свертка тензора третьего ранга
по двум последним индексам. Она равна
. Результат этой свертки является тензором 1-ого ранга (вектором).
в) – это тензор 2-ого ранга. Он имеет девять компонент:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
г) – получается в результате свертки произведения вектора
и тензора 2-ого ранга
(
). Это произведение является тензором 3-его ранга. В результате свертки по индексам
и
получается тензор, ранг которого меньше на два, т.е. тензор 1-ого ранга (вектор). В подробной записи это будет так:
.
д) Рассмотрим произведение векторов ,
и тензора 2-ого ранга
. Получим тензор 4-ого ранга
. Произведем свертку по парам индексов
и
:
. Суммируем по индексу
:
и далее по индексу
. В результате получаем тензор нулевого ранга (скаляр):
.
Задача 14. Показать, что сумма является тензором 2-ого ранга, если известно, что
и
– тензоры 2-ого ранга.
Решение. При переходе к новой системе координат тензоры и
преобразуются по закону, выраженному формулами (70), (72). Применяя формулу (72), получим:
,
. Отсюда:
, а это значит, что указанная сумма преобразуется как тензор 2-ого ранга.
Задача 15. Показать, что .
Решение. В выражении все индексы являются немыми. Поскольку немые индексы можно обозначить любыми буквами, во втором слагаемом заменим индексы следующим образом:
. Тогда второе слагаемое примет вид:
. В третьем слагаемом немые индексы переобозначим так:
. Тогда третье слагаемое будет иметь вид:
. В результате получаем:
.
Задача 16. – симметричный,
– антисимметричный тензоры. Показать, что
.
Решение. Так как и
, то
и
. Поскольку все индексы являются немыми, то во втором слагаемом переобозначим индексы так:
. Тогда
. Отсюда
.
Задача 17. Показать, что свернутое произведение произвольного тензора
с симметричным тензором
не зависит от антисимметричной части
.
Решение. Разложим тензор на симметричную и антисимметричную части:
.
Тогда . В силу предыдущей задачи
, поэтому свертка
содержит только симметричную часть тензора
Задача 18. Пусть физическая величина определена в прямоугольной системе координат двадцатью семью числами . Пусть при переходе к другой системе координат величина
преобразуется как вектор при любом выборе тензора
. Доказать, что величины
представляют собой компоненты тензора 3-его ранга (один из вариантов теоремы деления тензоров).
Решение. Обозначим через вектор
. В другой системе координат этот же вектор будет иметь компоненты
, равные
. Поскольку нам известно, что
– это тензор 2-ого ранга, а
– вектор, то
;
. Тогда
. Умножив обе части на
, получим:
. Отсюда
. С другой стороны
. Тогда
и
. Это равенство может выполняться для произвольного тензора
только в том случае, если коэффициенты при компонентах
равны нулю. Отсюда получаем:
. Умножим обе части этого равенства на
:
, или
, т.е.
.
Видим, что величины и
преобразуются друг в друга как компоненты тензора 3-его ранга.
Задача 19. Доказать формулу (119) для - тензора.
Решение. а) . Здесь производится свертка по всем трем индексам. Распишем ее подробно, пользуясь определением символа Леви-Чивитты (117), (118).
б) . Здесь производится свертка по двум парам индексов. В подробной записи:
Каждое слагаемое по отдельности в скобках равно:
,
,
.
Поэтому . Отсюда
.
Чтобы доказать третью формулу (119), вначале докажем вспомогательное тождество.
Задача 20. Доказать тождество:
(151)
Решение. Для доказательства рассмотрим определитель:
(152)
Известно, что перестановка строк и столбцов ведет к изменению знака определителя. Например,
.
Если менять местами строки произвольное число раз, то . А если менять местами столбцы, то
.
Следовательно, для произвольной последовательности перестановок строк и столбцов получим:
(153)
Положим в определителе (152) :
. Определитель (153) при этом примет вид:
, ч.т.д.
Задача 21. Используя тождество (151), доказать третью формулу (119), т.е. .
Решение. Разложим определитель в (151) по элементам первой строки:
Положим теперь :
ч.т.д.
Задача 22. Пользуясь свойствами и определением - тензора, доказать основные свойства векторного произведения.
Решение. В параграфе 18 показано, что векторное произведение векторов и
может быть записано так:
(154)
а) Покажем, что векторное произведение ортогонально к своим сомножителям. Умножим обе части (154), например, на :
Скалярное произведение равно нулю, а это и означает, что векторное произведение
ортогонально вектору
Аналогично доказываем, что векторное произведение ортогонально и второму сомножителю
.
б) Докажем антикоммутативность векторного произведения. Векторное произведение на вектор
определено формулой (154). Векторное произведение вектора
на вектор
будет равно:
, ч.т.д.
в). Найдем модуль векторного произведения. Умножив обе части (154) на , получим квадрат модуля:
.
В соответствии с формулой (121) в правой части стоит смешанное произведение векторов ,
,
. Как известно, оно равно алгебраическому значению объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. Поскольку в левой части стоит квадрат модуля, то правая часть положительна и векторы
,
,
образуют правую тройку (если система координат правая). Кроме того, как было показано в п. а), ребро
параллелепипеда ортогонально основанию, образованному векторами
и
. Поэтому объем параллелепипеда равен произведению длины ребра
на площадь основания. С другой стороны, этот же объем равен
. Поэтому
. Отсюда
.
Задача 23. Пользуясь определением и свойствами - тензора, доказать некоторые свойства смешанного произведения.
Решение. Смешанное произведение трех векторов ,
,
с помощью
- тензора записывается так:
(155)
а) Докажем, что если векторы ,
,
компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Компланарные векторы лежат в одной плоскости. Но три вектора, лежащие в одной плоскости, обязательно будут линейно зависимыми. Это означает, что один из них представляет собой линейную комбинацию двух других. Например,
или в координатах:
. Смешанное произведение таких векторов будет равно:
Расписывая каждое слагаемое подробно, так же, как в задаче 22а, легко показать, что оба они равны нулю, т.е. равно нулю само смешанное произведение.
б) Докажем, что если переставить местами два сомножителя в смешанном произведении, то оно меняет знак: .
Поскольку здесь все индексы немые и их можно обозначить любыми буквами, то мы произвели замену индексов так: ,
.
в) Докажем, что при круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется:
.
Здесь мы произвели замену немых индексов так: ,
,
.
Задача 24. Доказать, что двойное векторное произведение трех векторов можно представить в виде
(156).
Решение: Пользуясь - тензором, нетрудно получить, что:
Задача 25. Показать, что является бивектором и построить эквивалентный ему аксиальный вектор.
Решение. Как было определено в параграфе 19, бивектором называется антисимметричный тензор 2-ого ранга. Докажем вначале, что величины образуют тензор 2-ого ранга. Ограничившись только правыми системами координат, получим, что при преобразовании координат:
,
т.е. величины действительно преобразуются как компоненты тензора 2-ого ранга. Докажем теперь антисимметричность тензора
:
.
Как было показано в параграфе 19 (формула (143)), вектор, эквивалентный бивектору, равен . В данном случае:
.
Мы воспользовались здесь второй формулой (119). Таким образом, вектор, эквивалентный бивектору, совпадает с вектором .
Задача 26. Показать, что вектор, двойственный произвольному тензору , зависит только от его антисимметричной части
.
Решение. Вектор, двойственный произвольному тензору второго ранга , был определен в параграфе 20 формулой (145):
.
Разложив тензор на симметричную
и антисимметричную
части, получим:
, (157)
где ,
.
Покажем, что первое слагаемое в (157), соответствующее симметричной части тензора , равно нулю:
. Поскольку индексы
– немые и их можно обозначить любыми буквами, то сделаем замену этих индексов:
. Тогда:
, а это означает, что двойственный вектор
от симметричной части тензора
не зависит.