Тензоры высших порядков
Будем исходить из формулы (51). Мы уже сделали шаг в направлении ее обобщения (формула (58)) и пришли к понятию тензора 2-ого ранга. Сделаем дальнейшее обобщение.
Пусть всякому направлению в пространстве сопоставляется не вектор (тензор 1-ого ранга), а тензор 2-ого ранга посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Геометрический объект с таким свойством называется тензором 3-его ранга. Обобщение можно продолжать и дальше. Тогда для любого направления в пространстве тензору ранга
можно поставить в соответствие тензор ранга
посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Рассмотрим тензор 3-его ранга. Он обозначается
. Его проекцию на произвольное направление
обозначим
– это тензор 2-ого ранга. Обобщая (51) и (58), запишем:
(100)
Совмещая поочередно направление с направлениями осей координат, легко показать, что тензоры
– это проекции тензора 3-го ранга
на оси координат. Таким образом, тензор 3-го ранга определяется тремя тензорами 2-ого ранга – своими проекциями. Компоненты этих проекций обозначим
,
,
. Всего их будет 27, обозначаются они
с помощью трех индексов и называются компонентами тензора
в рассматриваемом базисе. Выясним, как преобразуются компоненты тензора 3-его ранга при переходе к другой системе координат.
Совместим направление с направлением оси
новой системы координат. Проекцию тензора
на это направление обозначим
– это тензор 2-ого ранга:
(101)
Совместив направление последовательно с направлениями осей
и
, получим проекции на эти оси:
(102)
(103)
Используя матрицу перехода , перепишем эти формулы так:
(104а)
(104б)
(104в)
В новой системе тензор 3-его ранга также определяется тремя своими проекциями
. Их компоненты
– это компоненты того же тензора в новой системе координат. Найдем формулы преобразования компонент тензора
. Формула (104а) покомпонентно в новом базисе запишется так:
(105)
где через обозначены компоненты тензора
в новом базисе. Выразим компоненты
через компоненты тензора
в старом базисе по формулам перехода (70) для тензоров 2-ого ранга:
(106)
Тогда .
Аналогично, из формул (104б,в) получим:
,
(107)
Объединив все три формулы в одну, будем иметь:
(108)
Это и есть формула перехода от старой системы координат к новой для тензора 3-его ранга. Получим обратную формулу. Для этого умножим обе части (108) на :
.
Теперь умножим обе части на :
.
Наконец, умножим на :
,
т.е. (109)
Это и есть искомая формула преобразования от новой системы координат к старой.
Формулы (108) и (109) можно положить в основу нового определения тензора 3-его ранга. В любой прямоугольной системе координат тензор 3-его ранга определяется двадцатью семью компонентами, которые при преобразовании координат преобразуются по формулам (108), (109). Теперь можно сделать обобщение на тензоры произвольного ранга. В любой прямоугольной декартовой системе координат тензор ранга определяется
компонентами, которые при преобразовании координат преобразуются по формулам:
,
(110)
Проекция тензора -го ранга на произвольное направление является тензором ранга
.
Операции с тензорами.
Рассмотрим алгебраические операции с тензорами, с помощью которых по тензорам можно составлять новые тензоры. Эти операции инвариантны в том смысле, что в результате получается вполне определенный тензор, не зависящий от того, в какой системе координат они выполняются. Тензорные операции отражают те операции над геометрическими и физическими объектами, заданными посредством тензоров, которые имеют геометрический или физический смысл и совершаются независимо от выбора координатной системы.
Умножение на скаляр. Умножение всех компонент тензора на один и тот же скаляр дает тензор того же ранга, который называется произведением тензора на скаляр. Например, или в символической бескоординатной записи
.
Сложение тензоров. Сложение соответствующих компонент двух тензоров одинакового ранга дает третий тензор того же ранга. Например, или
. Подчеркнем, что складывать можно только тензоры одинаковых рангов.
Умножение тензоров. Совокупность всех произведений, содержащих по одной компоненте каждого из двух тензоров, образует тензор – произведение первых двух тензоров. Ранг произведения равен сумме рангов сомножителей. Например, произведение тензора 2-ого ранга и вектора
представляет собой тензор 3-его ранга. В частности, произведение двух тензоров 1-ого ранга
и
является тензором 2-ого ранга
и называется диадным произведением векторов
и
. В символической бескоординатной записи это будет выглядеть так
. Диадное произведение называется еще иначе неопределенным произведением векторов. Особенностью его является то, что оно не обладает свойствами коммутативности:
. Точнее, при перестановке сомножителей получается транспонированный тензор, т.е.
или
.
Свертывание. Приравнивание двух буквенных индексов тензора ранга дает тензор ранга
и называется свертыванием исходного тензора по этим индексам. Например, тензор 3-его ранга
можно свернуть по парам индексов
,
,
. В результате получатся тензоры 1-ого ранга
,
,
. Как обычно, по паре повторяющихся индексов должно производиться суммирование. Поэтому:
,
,
(111)
Свертывание тензора 2-ого ранга дает скаляр:
(112)
который называется следом тензора . В бескоординатных обозначениях след тензора
записывается в виде
или
. Такое обозначение проистекает от немецкого слова Spur или английского Trace. В переводе и то, и другое означает – след. Известное из курса векторной алгебры скалярное произведение векторов
и
можно рассматривать как след диадного произведения
, т.е.
.
Образование целых положительных степеней тензора 2-ого ранга является еще одним примером свертывания. Квадрат тензора определяется как тензор
, куб – как тензор
, четвертая степень – как
, и т.д. Каждая степень тензора 2-ого ранга является тензором того же ранга. В бескоординатном обозначении степени тензора
записываются в виде
,
и т.д.
Приведем еще несколько примеров бескоординатной записи: для вектора
;
для вектора
;
для тензора второго ранга
;
для скаляра
.
Перестановка индексов или образование изомеров. Перестановка двух индексов тензора дает другой тензор того же ранга, называемый изомером первого тензора. Тензор 2-го ранга имеет единственный изомер
, который ранее мы называли транспонированным тензором. Тензор 3-его ранга
имеет изомеры
,
,
,
,
.
Тензор называется симметричным относительно двух индексов, если он равен своему изомеру, полученному при перестановке этих индексов. Например, если тензор 3-его ранга симметричен по индексам
и
, то
. Если же тензор равен своему изомеру с обратным знаком, то он антисимметричен относительно этих индексов. Например, если тензор
антисимметричен по индексам
и
, то
.
Компоненты антисимметричного тензора с одинаковыми значениями индексов, по которым тензор антисимметричен, равны нулю. Так, у упомянутого антисимметричного тензора компоненты
. Легко убедиться, что эти определения включают в себя определения, введенные в параграфе 12. Тензор называется полностью антисимметричным или просто антисимметричным, если при перестановке любых двух его индексов у любой его компоненты она меняет знак. Заметим, что в рассматриваемом нами трехмерном пространстве невозможен полностью антисимметричный тензор более чем третьего ранга. Точнее, такой тензор всегда имеет лишь нулевые компоненты. В самом деле, наличие двух одинаковых индексов обращает компоненту такого антисимметричного тензора в нуль. Между тем, его компоненты всегда имеют, по меньшей мере, два одинаковых индекса, т.к. индексов у них более трех, а принимать они могут лишь значения 1, 2, 3. Следовательно, все компоненты такого тензора равны нулю.
Часто применяется следующее рассуждение. Если тензор симметричен, а тензор
антисимметричен по индексам
и
, то их свертка
. В самом деле, сумма по немым индексам
и
содержит, например, слагаемое с
,
, а также слагаемое с
,
. Сумма этих двух слагаемых равна нулю, т.к.
,
. Кроме того,
. Используя это рассуждение, можно установить следующее тождество для произвольных тензоров 2-ого ранга:
, (113)
где – симметричная,
– антисимметричная части тензора
. Также и для тензора
.