Косой изгиб. Определение напряжений

Если плоскость действия изгибающего момента не содержит ни одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения балки, то происходит так называемый косой изгиб.

Такой случай имеет место, например, при изгибе консольного бруса силой, приложенной к плоскости торцового сечения под некоторым углом α к его оси симметрии (рис. 10.1). Косой изгиб является плоским, то есть изогнутая ось балки остается после деформации плоской кривой, но характеризуется тем, что в отличие от прямого изгиба, силовая плоскость и плоскость, в которой расположена изогнутая ось (плоскость изгиба), не совпадают.

Косой изгиб можно представить, как сочетание двух прямых изгибов, если разложить изгибающий момент по главным плоскостям балки не два составляющих момента M_y и M_z.

Проведем сечение на расстоянии x (рис. 10.1) от правого конца бруса и рассмотрим равновесие отсеченной правой его части.

Изображая изгибающий момент в левом сечении (при взгляде на это сечение со стороны внешней нормали) по правилам механики в виде вектора, нормального к плоскости действия этого момента (рис. 10.2), и раскладывая этот вектор по главным центральным осям y и z, получаем

,

где M=Px - изгибающий момент в данном поперечном сечении.

Рис. 10.1.

Рис. 10.2.

На основании принципа независимости действия сил косой изгиб рассматривается как результат действия на брус двух прямых изгибов, действующих в главных плоскостях. Этот принцип применим, если напряжения от отдельного действия изгибающих моментов, а также суммарное напряжение, не превышают предела пропорциональности. Нормальное напряжение σ в какой-либо точке поперечного сечения при косом изгибе получим как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных в той же точке моментами M_y и M_z:

.

(10.1)

Здесь y и z - координаты исследуемой точки сечения в осях, совмещенных с главными центральными осями инерции сечения. Эпюра нормальных напряжений для прямоугольного сечения показана на рисунке 10.3.

Геометрическое место точек сечения, в которых нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой – сжимающие напряжения. Уравнение нейтральной линии найдем, приравнивая правую часть равенства (10.1) нулю:

.

(10.2)

После преобразований получаем:

,

(10.3)

где угловой коэффициент уравнения нейтральной линии равен

.

(10.4)

Таким образом, нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.

Зная положение нейтральной линии нетрудно определить положение опасных точек сечения. Опасными будут точки, наиболее удаленные от нейтральной линии. Для сечения произвольной формы (рис. 10.4) необходимо провести касательные к контуру поперечного сечения параллельно нейтральной линии. Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то опасной будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии (на рис. 10.4 это точка A). Для хрупких материалов необходимо проверить две точки A и B при условии, что в наиболее удаленной точке действуют сжимающие напряжения.

Рис. 10.3.

Рис. 10.4.

Рис. 10.5.

Для сечений, имеющих оси симметрии и выступающие углы (см. рис. 10.2), опасными будут угловые точки, в которых напряжения от обоих изгибающих моментов имеют одинаковый знак.

Напряжения в опасных точках определяются по формуле (10.1) путем подстановки в нее координат этих точек. Условие прочности при косом изгибе запишется так:

,

(10.5)

где y_A, z_A - координаты опасной точки наиболее нагруженного (опасного) сечения бруса; [σ] - допускаемое напряжение для материала бруса при простом растяжении или сжатии.

Из формулы (10.3) следует, что нейтральная линия наклонена к оси z под углом β:

.

(10.6)

В то же время тангенс угла наклона вектора к оси z равен:

.

(10.7)

Таким образом, в общем случае между углами α и β существует следующее соотношение:

.

(10.8)

Так как I_y≠I_z, то угол α не равен углу β. Следовательно, при косом изгибе, в отличие от прямого изгиба, нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, а составляет с ней угол φ=|β-α| (см. рис. 10.2).

Если I_y=I_z, то нейтральная линия нормальна к плоскости действия изгибающего момента; при этом любая центральная ось является главной и имеет место не косой, а прямой изгиб.

Полное перемещение δ центра сечения бруса, как следует из принципа независимости действия сил и представления косого изгиба в виде комбинации двух плоских изгибов, равно геометрической сумме перемещений, вызванных каждым из указанных плоских изгибов в отдельности (см. рис. 10.2), то есть:

.

(10.9)

Перемещения δ_y и δ_z в главных плоскостях определяются способом Мора или другими, рассмотренными выше методами. При этом в общем случае справедливы следующие равенства:

,	(10.10)
,	(10.11)

где функция f(x) определяется условиями нагружения и закрепления концов бруса. Угол наклона вектора полного перемещения по отношению к оси y:

.

(10.12)

Следовательно β=γ. Это означает, что при косом изгибе смещение центра сечения происходит не в плоскости действия изгибающего момента, а в направлении нормали к нейтральной линии (см. рис. 10.2).

При косом изгибе прямого бруса нагрузками, расположенными в одной плоскости, упругая линия бруса будет плоской кривой. Однако плоскость изгиба не совпадает с плоскостью действия нагрузки.

Если внешние силы и пары, изгибающие брус, будут располагаться в разных плоскостях, то изогнутая ось бруса будет пространственной кривой.