V. Продолжение работы по теме урока. 1. В ы п о л н е н и е задания № 471

1. В ы п о л н е н и е задания № 471.

– Прочитайте условие задачи.

– Что известно? Прочитайте вопрос.

– Решите задачу. (Для двух цветных карандашей требуется достать 12 карандашей, для трех простых – 7 карандашей.)

– Измените данные задачи так, чтобы для получения трех простых карандашей потребовалось достать больше карандашей, чем для получения двух цветных. (Достаточно поменять местами данные «10 цветных» и 4 «простых карандаша».)

2. В ы п о л н е н и е задания на с. 159.

– Учащиеся выполняют математический фокус.

Примечание.

Секрет фокуса в том, что при любом задуманном числе после отбрасывания всех цифр кроме единиц остается 5, а значит, результат последнего умножения всегда 25, сумма цифр которого равна 7.

Рассмотрим последовательно все шаги фокуса. Любое натуральное число при умножении на 2 дает четное число. Сумма четного числа и единицы всегда число нечетное. Значение произведения нечетного числа на 5 оканчивается цифрой 5. О дальнейшем сказано выше.

Помимо римской нумерации, знакомство с которой начинается во втором классе, желательно познакомить учеников еще хотя бы с одной системой записи чисел, которая использовалась до того, как появилась современная система, которой пользуются в настоящее время.

Одним из вариантов может явиться рассмотрение нумерации, которая использовалась в России до эпохи Петра 1. Она интересна как с точки зрения получения исторических знаний о нашей стране, так и с точки зрения того, что относится к алфавитным системам записи чисел, которые были достаточно широко распространены в мире.

Принцип алфавитной системы нумерации заключается в использовании для записи чисел не специальных знаков-цифр, а букв того алфавита, которым пользуется народ, с добавлением определенных знаков, которые позволяют отличать записи чисел от других записей теми же буквами. В период распространения алфавитной записи чисел на Руси использовался старорусский алфавит, буквами которого записывались числа. Отличительным знаком того, что записано число, являлся знак « »,который назывался титло.

Первые 9 букв обозначали числа от 1 до 9, следующие 9 – круглые десятки от 10 до 90, следующие 9 – круглые сотни от 100 до 900. Таким образом, буквы алфавита позволяли записать все однозначные, двузначные и трехзначные числа. При этом буквы записывались в том порядке, в каком назывались разряды числа. Например, для всех двузначных чисел, больших 20, сначала записывалась буква, обозначающая число десятков, а справа от нее буква, обозначающая число единиц. Для двузначных чисел второго десятка сначала писалась буква, обозначающая число единиц, а затем буква, обозначающая один десяток.

Приводим буквы старорусского алфавита и их числовые значения:

Практическую работу, связанную со знакомством с данной системой нумерации не следует проводить на основе использования незнакомого детям старорусского алфавита. Значительно проще и понятнее будет использование нашего современного алфавита. Поскольку в нем 33 буквы, а требуется только 27, оказывается возможным исключить часть букв. Мы предлагаем исключить буквы Ё, Й, Щ, Ъ, Ь, Ы.

В этом случае получим: – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7, – 8, – 9, – 10, – 20, – 30, – 40, – 50, – 60, – 70, – 80, – 90, – 100, – 200, – 300, – 400, – 500, – 600, – 700, – 800, – 900.

Приведем примеры записи разных чисел при помощи закрепленных значений букв, обозначенных выше:

11 = 15 = 19 = 28 = 54 = 87 = 396 = 707 = 518 =

В третьем классе в течение практически всего учебного года можно ограничиться только изложенным выше материалом, предлагая задания на написание чисел до 999 при помощи современных букв русского алфавита и принципов алфавитной русской нумерации, изложенных выше, а также задания, которые предлагают перевести буквенную запись в запись при помощи современных цифр десятичной системы.

Только в конце третьего класса дети могут познакомиться с записью чисел, больших 999. Для этого наши предки использовали те же буквы, но добавляли к ним не титло, а другие значки. Так, если буква А должна обозначать не единицу, а одну тысячу, слева внизу от нее ставился знак « », который обозначал слово тысяча. Таким образом, те же 9 букв с новым знаком позволяли записать все числа, содержащие единицы тысяч.

– 1 000, – 2 000, – 3 000, – 4 000, – 5 000, –
6 000, – 7 000, – 8 000, – 9 000.

Десятки тысяч обозначались этими же девятью буквами, но обведенными кружком. Один десяток тысяч назывался тьма.

– 10 000, – 20 000, – 30 000, – 40 000, – 50 000, – 60 000, – 70 000, – 80 000, – 90 000.

Сотни тысяч обозначали теми же девятью буквами, но кружок вокруг них проводили пунктирной линией. Одна сотня тысяч называлась легион.

– 100 000, – 200 000, – 300 000, – 400 000, –
500 000, – 600 000, – 700 000, – 800 000, – 900 000.

Единицы миллионов обозначались теми же буквами, но кружок вокруг них составляли из черточек. Один миллион носил название леодр.

– 1 000 000, – 2 000 000, – 3 000 000,

– 4 000 000, – 5 000 000, – 6 000 000,

– 7 000 000, – 8 000 000, – 9 000 000.

Запишем, например, в описанной системе число 7 589 326.

которое читается так: семь леодров пять легионов восемь темь 9 тысяч триста двадцать шесть.

Описанная выше нумерация называлась малое число. Но существовала еще нумерация, которая называлась большоечисло или великое число.

В отличие от описанной системы малого числа, в которой счет велся только в пределах единиц миллионов, система большого или великого числа позволяла записывать числа в пределах 49-значных чисел в современной системе счисления. Эта система интересна также тем, что названия больших чисел строились по принципу «столько раз по столько».

В этой системе не число 10 000, а число 1 000 000 называлось тьма (обозначалась буквой в круге).

Затем число, в котором тьма I взята тьму раз (1 000 000 000 000), называлось легион (обозначался буквой в круге из точек), легион легионов образовывал леодр (обозначался буквой в круге из черточек), леодр леодров образовывал ворон (обозначался буквой в круге из крестиков). Десять воронов образовывали колоду (она обозначалась как А). На этом числе счет окончательно прекращался. Как написано в рукописи XVII века «... и более сего несть человеческому разуму разумевати».

Приведем соответствующие записи основных больших чисел системы великого числа:

– тьма – 1 000 000,

– легион – 1 000 000 000 000,

– леодр – 1000 000 000 000 000 000 000 000,

– ворон – 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000,

– колода – 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Объем материала, который будет использован в работе с учениками, форма его использования (включение в уроки, использование на занятиях математического кружка или в группе особо заинтересовавшихся детей и т. д.) полностью определяет учитель.

В а р и а н т ы з а д а н и й:

1) Построение самой системы (желательно, чтобы дети сами соотнесли единицы, десятки и сотни с соответствующими буквами алфавита на основе общего разъяснения со стороны учителя и обсуждения вопроса о необходимом количестве букв).

2) Запись чисел, данных в современной записи, при помощи алфавитной системы (в основном используются двузначные и трехзначные числа, работа с большими числами проводится только по желанию самих учеников).

3) Переход от алфавитной записи чисел к современной нумерации (числовой уровень таких заданий аналогичен уровню, описанному в предыдущем пункте).

4) Обязательным компонентом знакомства с алфавитной русской системой нумерации является ее сравнение с римской и современной системами. Особенно важно сравнение с современной системой, которой пользуются ученики, так как это наглядно покажет ее совершенство и красоту, что и является одной из главных целей знакомства с любыми другими системами записи чисел.

Алфавитные системы нумерации были широко распространены в мире. Ими пользовались греки, от которых наши предки и позаимствовали эту систему вместе с православием, арабы, грузины, армяне, евреи. В России алфавитная система существовала до 1703 года, когда вместе с реформами Петра I в страну пришла десятичная позиционная система.

VI. Итог занятия.

– Что нового узнали на уроке?

– Какая существовала нумерация чисел в России до правления Петра I?

– Какой системой счисления мы пользуемся в настоящее время?

– В чем преимущество современной системы нумерации по сравнению с римской и древнерусской?

У р о к 146 (66).
Контрольная работа по теме
«Разряды и классы. Класс единиц и класс тысяч»

Цели: проверить умение учащихся читать и записывать многозначные числа, сравнивать их; умения решать составные задачи и сложные уравнения.

I в а р и а н т

З а д а н и е 1.

а) Сравните числа:

33875 … 32386

14328 … 14341

590042 … 590046

381200 … 381285

б) В каждом неравенстве подчеркните цифры, которые помогли вам выполнить задание.

З а д а н и е 2.

Запишите наибольшее и наименьшее из возможных шестизначных чисел, у каждого из которых:

а) все цифры разные;

б) одна цифра повторяется 2 раза;

в) две цифры повторяются 3 раза;

г) одна цифра повторяется 5 раз.

З а д а н и е 3.

Запишите число, у которого:

а) 209 ед. II класса и 83 ед. I класса;

б) 81 ед. I класса и в 3 раза меньше ед. II класса.

З а д а н и е 4.

Найдите корни уравнений:

t + 574 = 937 – 69 658 + 236 – с = 479

З а д а н и е 5.

а) Решите задачу:

В восьми корзинах лежали сливы по 20 кг в каждой. Для отправки их разложили в ящики по 5 кг. Сколько потребовалось ящиков?

б) Составьте и кратко запишите все обратные задачи.

в) Решите одну обратную задачу.

II в а р и а н т

З а д а н и е 1.

а) Сравните числа:

18901 … 27396

65012 … 65299

246109 … 300859

927086 … 929087

б) В каждом неравенстве подчеркните цифры, которые помогли вам выполнить задание.

З а д а н и е 2.

Запишите наибольшее и наименьшее из возможных шестизначных чисел, у каждого из которых:

а) все цифры разные;

б) одна цифра повторяется 3 раза;

в) две цифры повторяются 2 раза;

г) одна цифра повторяется 4 раз.

З а д а н и е 3.

Запишите число, у которого:

а) 275 ед. I класса и 79 ед. II класса;

б) 500 ед. II класса и в 3 раза меньше ед. I класса.

З а д а н и е 4.

Найдите корни уравнений:

x + 629 = 875 – 89 423 + 279 – b = 321

З а д а н и е 5.

а) Решите задачу.

В шести коробках лежали конфеты по 25 кг в каждой. Для новогодних подарков их разложили в пакеты по 3 кг. Сколько получилось подарков?

б) Составьте и кратко запишите все обратные задачи.

в) Решите одну обратную задачу.

У р о к 147 (67).
Работа над ошибками.
Закрепление пройденного материала

Цели: провести анализ ошибок, допущенных в контрольной работе; совершенствовать вычислительные навыки, умения решать задачи, проверить знание нумерации многозначных чисел; развивать логическое мышление через решение нестандартных заданий.

Ход урока