Решение ОДУ n-го порядка
Тема 1.5. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Постановка задачи
Метод Эйлера
Методы Рунге-Кутты
Решение ОДУ n-го порядка
Сравнение методов решения ОДУ
Тестовые задания по теме «Методы решения ОДУ»
Постановка задачи
Любое физическое явление, в котором рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, математически описывается дифференциальным уравнением (ДУ). Из курса высшей математики известно множество аналитических методов, позволяющих найти их решения. Однако, в некоторых случаях, например, если функция или коэффициенты ДУ представляют собой таблицу экспериментально полученных данных, использование аналитических методов невозможно.
Рассмотрим ряд численных методов, позволяющих без проведения сложных математических вычислений найти с заданной точностью решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Из курса математического анализа известно, что обыкновеннымназывается такое дифференциальное уравнение от одной переменной, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x). В общем виде ОДУ можно представить следующим образом:
(1.5.1-1)
где х – независимая переменная, а n – порядок ОДУ.
Численные методы позволяют решить только ОДУ 1-го порядка, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие уравнения. Следует отметить, что ОДУ n-го порядка можно привести к системе из n уравнений 1-го порядка, и при решении системы применить те же методы.
Известно, что для ОДУ 1-го порядка справедливы следующие формы записи:
Вторая форма записи называется ОДУ, разрешенным относительно старшей производной.
Решением ОДУ первого порядка называется такая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. При этом различают общее и частное решения ОДУ.
Общее решение ОДУ содержит n произвольных постоянных С1, С2, . . .,Сn и имеет следующий вид:
Общее решение ОДУ первого порядка содержит одну произвольную постоянную
y = j(x,C) и описывает множество функций, удовлетворяющих уравнению y¢ = f(x,y)
(рис. 1.5.1-1).
Рис. 1.5.1-1
Если произвольная постоянная принимает конкретное значение С=С0, то из общего решения ОДУ, в соответствии с теоремой Коши, получаем частное решение y = j(x,C0), поскольку через каждую точку (x0, y0) в области допустимых значений проходит только одна интегральная кривая.
Теорема Коши для ОДУ 1-го порядка звучит так:
Если в ОДУ функция y¢ = f(x,y) и ее частная производная f¢ (x,y) определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных x и y, то для всякой внутренней точки (x0, y0) этой области данное уравнение имеет единственное решение.
Значения x0, y0 называются начальными условиями. Для ОДУ 2-го порядка, общее решение которого имеет две произвольные постоянные, в качестве начальных значений выступают x0, y0 = j(x0) и y0¢=φ¢ (x0).
При решении ОДУ точным решением является аналитическое выражение функции
y = j(x), а результатом решения ОДУ численными методами является таблица значений
y = j(x) на некотором множестве значений аргумента х. Поэтому при постановке задачи численного решения ОДУ наряду с начальными условиями x0, y0 необходимо задать область решения - отрезок [a;b] и шаг изменения аргумента h.
Таким образом, численное решение ОДУ представляет собой таблицу значений искомой функции для заданной последовательности аргументов, xi+1=xi+h, i=0, 1, …,n, где
h = xi+1-xi называется шагом интегрирования.
Выделяют два класса методов решения ОДУ: одношаговые и многошаговые. В одношаговых методах для нахождения следующего значения функции требуется значение только одной текущей точки, то есть
а в многошаговых – нескольких, например
Начинать решение задачи Коши многошаговыми методами нельзя, поэтому начинают решение, используя всегда одношаговые методы.
Основная идея решения ОДУ одношаговыми методами сводится к разложению искомого решения y(x) в ряд Тейлора в окрестности текущей точки и его усечению. Число оставшихся членов ряда определяет порядок и, следовательно, точность метода.
Рассмотрим наиболее распространенные одношаговые численные методы решения ОДУ.
Метод Эйлера
Пусть дано уравнение
y¢=f(x,y), (1.5.2-1)
с начальными условиями x0, y0 = y(x0). Требуется найти решение данного уравнения на отрезке [a;b] (обычно x0=а) в n точках.
На рис. 1.5.2-1 график искомой функции y(x) проходит через точку А(x0,y0), заданную начальными условиями.
Рис. 1.5.2-1
Разобьем отрезок на n равных частей и получим последовательность x0,x1,…, xn, где xi=x0+i∙h (i=0, 1, …,n), а h = (b-a)/n – шаг интегрирования.
Найдем yi = y(xi). Для этого проинтегрируем производную, заданную (1.5.2-1) на интервале [x0;x1], по формуле Ньютона – Лейбница:
Отсюда значение искомой функции в точке x1
Примем допущение, что на интервале [x0;x1]производная исходной функции постоянна и равна своему значению в точке А(x0,y0). Тогда по формуле прямоугольников
Полученное выражение имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1.5.2-1) . Поскольку значение производной f’(x0,y0) = tga, то в прямоугольном треугольнике ABD Dy0=h×tga, и, следовательно, y1 = y0+Dy0 = y0+h×f¢(x0,y0). Таким образом, y1 может быть найдено геометрически в результате замены искомой кривой y(x) касательной, проведенной в точке А.
Продолжая этот процесс и принимая подынтегральную функцию f(x) на соответствующем участке [xi,xi+1] постоянной и равной ее значению в начале отрезка, получим решение дифференциального уравнения в виде значений искомой функции y(x) на отрезке [a;b]. График решения представляет собой ломаную линию, которая называется ломаной Эйлера. При этом общая формула для определения очередного значения функции имеет вид:
(1.5.2-2)
Метод Эйлера является сравнительно грубым и применяется на практике в основном для проведения ориентировочных расчетов.
Погрешность метода Эйлера связана с величиной шага интегрирования отношением e1 =C1h2, где C1 – произвольная постоянная.
Пример 1.5.2-1. Решить методом Эйлера ОДУ y¢= 2x/y с начальными условиями x0 = 1 и y0 = 1 на отрезке [1;1.4] с шагом h = 0.2.
![]() |
Методы Рунге-Кутты
Методы Рунге-Кутты – это группа методов, широко применяемых на практике для решения ОДУ. В этих методах при вычислении значения искомой функции в очередной точке хi+1 используется информация о предыдущей точке хi, yi. Методы различаются объемом вычислений и точностью результата.
Порядок метода Рунге-Кутты определяется кратностью вычисления значения производной искомой функции f(x,y)на каждом шаге. В соответствии с этим метод Эйлера является методом Рунге-Кутты первого порядка, поскольку для получения очередного значения yi+1 функция f(x) вычисляется один раз в предыдущей точке хi, yi. В методах Рунге-Кутты более высоких порядков для вычисления очередного значения искомой функции в точке хi+1 значение правой части уравнения y’= f(x,y) вычисляется несколько раз, количество которых и определяет порядок метода.
Метод Рунге-Кутты 2-го порядка (Усовершенствованный метод Эйлера). Вычисление значения искомой функции в точке хi+1 проводится в два этапа. Сначала вычисляют вспомогательную величину по методу Эйлера:
(1.5.3-1)
Затем значение производной искомой функции в точке (xi+1,yi+1) используется для вычисления окончательного значения функции:
(1.5.3-2)
Подставляя (1.5.3-1) в (1.5.3-2), окончательно получим расчетную формулу метода Рунге-Кутты 2-го порядка:
(1.5.3-3)
Этот метод также называют методом прогноза и коррекций. Сначала находят грубое приближение по методу Эйлера (прогноз), а затем уточненное значение yi+1 (коррекция).
В общем виде формулу (1.5.3-3) можно представить как
(1.5.3-4)
Метод Рунге-Кутты второго порядка имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 1.5.3-1). Построение проводится следующим образом: определяется пересечением перпендикуляра, восстановленного из точки xi+1 c касательной L1, проведенной к кривой y(x) в предыдущей точке (хi,yi). Затем в точке
проводится прямая L2 с тангенсом угла наклона, равным
. Прямую
проводят через точку
под углом, тангенс которого находим усреднением значений тангенсов углов наклона L1 и L2. Прямая L проводится параллельно
через точку (хi,yi). Ее пересечение с перпендикуляром, восстановленным из точки хi+1, и дает уточненное значение yi+1.
Рис. 1.5.3-1
Погрешность метода Рунге-Кутты второго порядка связана с величиной шага интегрирования отношением e2 =C2h3, где C2– произвольная постоянная.
Пример 1.5.3-1. Решить методом Рунге-Кутты второго порядка ОДУ y¢= 2x/y с начальными условиями x0 = 1 и y0 = 1 на отрезке [1;1.4] и шагом h = 0.2.
Проводя дальнейшее обобщение формул Рунге-Кутты, для решения ОДУ первого порядка можно записать следующее:
где Ф – линейная функция аргументов x, y, h и f(x,y), которая может быть представлена как
(1.5.3-5)
Величина n в (1.5.3-4) определяется порядком метода, а коэффициентам a2,a3, … ,an, Р1, Р2, … ,Pn подбирают такие значения, которые обеспечивают минимальную погрешность. Так, для метода Рунге-Кутты четвертого порядка (n=4) получена расчетная формула при следующих коэффициентах: a2= a3=1/2, a4=1, P1 = P4=1/6, P2 = P3 =2/6.
Подставив значения коэффициентов в (1.5.3-4), имеем
(1.5.3-6)
Геометрическая интерпретация этого метода очень сложна и потому не приводится.
Погрешность метода Рунге-Кутты четвертого порядка значительно меньше методов первого и второго порядков и пропорциональна величине h (e4 =C4h5).
Пример 1.5.3-2. Решить методом Рунге-Кутты четвертого порядка ОДУ y¢= 2x/y с начальными условиями x0 = 1 и y0 = 1 на отрезке [1;1.4] с шагом h = 0,2.
![]() ![]() |
Сведем в таблицу результаты решения уравнения y¢=2x/y методами Рунге-Кутты, соответственно, первого (y1i), второго (y2i) и четвертого (y4i) порядков и сравним с результатами, полученными точным методом (yi).
хi | y1i | y2i | y4i | yi |
1.2 1.4 | 1.4 1.74286 | 1.3714 1.7091 | 1.37115 1.7089 | 1.37113 1.7088 |
На практике для обеспечения требуемой точности (при использовании любого приближенного метода решения ОДУ) применяется автоматический выбор шага методом двойного просчета. При этом в каждой точке хi по формуле, соответствующей выбранному методу, производится расчет yi с шагом h (yi(h)) и с шагом h/2 (yi(h/2)). Цель двойного просчета состоит в том, чтобы для каждой точки численного решения эти значения отличались на величину, не превышающую заданной погрешности e. В этом случае общая формула для оценки погрешности решения ОДУ методами Рунге-Кутты имеет следующий вид:
где p – порядок метода Рунге-Кутты. Эта формула называется также правилом Рунге.
Если | yi(h)) - yi(h/2)|< e, то шаг для следующей точки выбирается равным h, иначе шаг уменьшается вдвое и продолжается уточнение y i в точке хi.
Схемы алгоритмов интегрирования ОДУ методом Рунге-Кутты с автоматическим выбором шага приведены на рис. 1.5.3-2 и рис. 1.5.3-3.
Рис. 1.5.3-2. Схема алгоритма процедуры-функции решения ОДУ в очередной точке
Рис. 1.5.3-3. Схема алгоритма интегрирования ОДУ методом Рунге-Кутты с
автоматическим выбором шага
Решение ОДУ n-го порядка
Методы, рассмотренные выше, позволяют найти численное решение ОДУ только первого порядка. Однако они применимы и к уравнениям n-го порядка. Для этого ОДУ n-го порядка предварительно приводится к системе n уравнений первого порядка.
Пусть, например, требуется решить ОДУвторого порядка
,
с начальными условиями ,
,
.
Обозначим z=y’. В результате подстановки в исходное уравнение получим систему двух уравнений первого порядка
,
с двумя неизвестными функциями и
и начальными условиями
,
.
В общем виде система уравнений может быть представлена в виде
(1.5.4-1)
Решением системы (1.5.4-1) являются две функции и
, из которых
- решение исходного уравнения второго порядка. Выбрав, например, метод Эйлера, приближенное решение системы (1.5.4-1) можно найти с помощью двух рекуррентных формул:
Пример 1.5.4-1. Дано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка при начальных условиях
,
,
на отрезке [0;0.4] с шагом
.
Обозначим , тогда ОДУ второго порядка можно записать в виде системы ОДУ первого порядка
с начальными условиями
,
,
.
Применим метод Эйлера для решения системы ОДУ
и т.д.
xi | yi | zi |
0.2 | 1.4 | 1.6 |
0.4 | 1.72 | 1.808 |
В общем виде ОДУn-го порядка
.
Введем следующие обозначения:
…
В результате этих подстановок перейдем к системе n ОДУ первого порядка:
(1.5.4-2)
Решением системы (1.5.4-2) являются функции
При заданных начальных условиях ,
и использовании метода Эйлера решение может быть получено с помощью рекуррентных формул
Окончательным решением ОДУ n-го порядка, согласно определению, служит функция , вычисленная на заданном множестве точек [a;b].