Алгоритмы программ цифровых фильтров

Существует три основных алгоритма программной реализации дискретных передаточных функций (z-ПФ):

Алгоритм	Требуемое быстродействие	Объём памяти
Непосредственный а) с двумя буферами б) с одним буфером	24(m+k+1) / Tц	9m+9k+12
Последовательный	52k / Tц	20k+10
Параллельный	50k / Tц	19k+8

Дискретную ПФ можно представить в любой из форм:

	W(z ) =		Y(z)	=	b0+b1z-1+...+bmz-m	- стандартная форма для дискретных ПФ
X(z)	a0+a1z-1+...+akz-k

	W(z ) =		Y(z)	=	K		1+e2z-1	...	1+ekz-1	- разложение z-ПФ на множители [1]
X(z)	1+d1z-1	1+d2z-1	1+dkz-1

	W(z ) =		Y(z)	=	P1	+	P2	+...+	Pk	- разложение z-ПФ на элементарные дроби [1]
X(z)	1+d1z-1	1+d2z-1	1+dkz-1

где: e_i - нули z-ПФ; d_i - полюса z-ПФ; a₀ - не равно нулю; P_i - коэффициенты разложения

Этим формам представления z-ПФ соответствуют структурные схемы изображенные на рис. 1.

Рис. 1

• Разложения и делают параметры z-ПФ независимыми, позволяют контролировать ряд дополнительных фазовых координат: x₁[n], x₂[n], ..., x_k-1[n]; или y₁[n], y₂[n], ..., y_k[n] - что удобно при отладке систем.
• Последовательная структура удобна при синтезе дискретной коррекции.
• Параллельная структура удобна для построения цифровых регуляторов.
• Разложение z-ПФ на элементарные дроби позволяет реализовать z-ПФ на параллельно работающих ЦВМ для повышения быстродействия.

Перечисленные факторы определяют выбор алгоритма программы для ЦВМ.

После разложений, каждый из множителей в форме или каждую из элементарных дробей в форме следует представить в стандартной форме (с отрицательными степенями оператора z). Переход к разностным уравнениям будет един. z-ПФ в форме соответствует разностное уравнение (РУ):

,

по которому и составляется программа. Поскольку текущее значение выходной координаты y[n] рассчитывается по предыдущим значениям y[n-1], y[n-2], y[n-k] - данное РУ называется рекурсивным.

Изобразим структурную схему цифрового фильтра для этого уравнения (см. рис. 2). Ее можно преобразовать, объединив два буфера (см. рис. 3). Цепочки элементов z^-1 в программах будут соответствовать буферам из ячеек памяти, данные в которых сдвигаются на каждом такте дискретизации. Обе структурные схемы можно составить из простейших блоков программы VisSim.

Структурной схеме соответствует алгоритм а.

Условие физической реализуемости - а₀ ¹0

Рис. 2

Структурной схеме соответствует алгоритм б.

Условие физической реализуемости - а₀ ¹0

Рис. 3

Если выбран последовательный или параллельный алгоритм, то структура каждого множителя или элементарной дроби первого порядка (см. рис. 1) будет иметь более простой вид (см. рис. 4).

Рис. 4

Согласно структурной схеме рис. 2, составим процедуру реализующую дискретную ПФ второго порядка:

function y_zW(x) { y=( k * (x*b0+xz_1*b1+xz_2*b2) - ( yz_1*a1+yz_2*a2) ) / a0; xz_2=xz_1; xz_1=x; yz_2=yz_1; yz_1=y; return y;};

где: xz_2, xz_1 и yz_2, yz_1 - ячейки двух буферов, т.е. регистры задержки - z ^-1.