Гармония золотых пропорций 4 страница

Отметим одну особенность, характеризующую трапеции параллельных Евклида. Высоты их крыш возрастают точно так же, как возрастает базисный ряд русской матрицы, т.е. высоты их пропорциональны и структурированы по золотой пропорции 2,5; 5; 10; 20 и т.д., имеющей тот же вурф, что и расстояния между крышами аналогичной пирамиды Дезарга:

W_о = (2,5 + 5)(5 +10)⁄5(2,5 + 5 +10) = 1,286.

Теперь «наклоним» параллельные Евклида относительно базисной прямой на произвольный угол, и оставив высоту от базисной прямой до первой крыши равной АС´, соединим прямой точки С´ и Д´ (рис. 61). Через точку ее пересечения с полярой проведем диагонали АД´ и ВС´. Получим трапецию АС`Д´В. Через точку пересечения С´Д´ с полярой проведем диагонали и … т.д. Затем, аналогично предыдущему построению, проведем прямые С₃´Д₂´ и С₂´Д₁´ и продолжим их до пересечения с базисной прямой в точке М₁. Проведя С₃´Д´ и С´Д´ до пересечения с базисной прямой определим место точки М₂. Аналогичным образом найдем точки М₃, М₄ и т.д. Внутренние точки N₁, N₂, N₃ и т.д. находятся по лучам, проходящим от С₃´, С₂´, С₁´ и т.д. через последующие центры поляр до пересечения с базисной прямой (рис. 61).

Таким образом, когда поляра проходит на равном расстоянии от двух параллельных, то построение гармоничных пропорций методом Дезарга и методом Евклида обусловливает нахождение одного и того же множества симметричных гармонических точек, как серии М, так и серии N. Если же расстояние от поляры до евклидовых параллельных различно, то крыши «едут». По мере удаления поляры от центра, наклон крыш увеличивается, а гармонические точки все больше приближаются к той прямой, к которой приближается поляра, и удаляются от другой параллельной (рис. 61). Пропорциональность и гармоничность же их не изменяется. Все операции нахождения серий точек повторяются аналогично предыдущему построению и точки оказываются в тех же местах, в которых они находятся у вертикальных параллельных.

Отметим также, что наклонение евклидовых параллельных, равноудаленных от поляры, не повлияло на положение крыш относительно горизонта. Они остались горизонтальными, и длина их не изменилась. Это следствия неизменной плотности пространства по горизонтали. Изменение плотности по вертикали приводит к тому, что параллельные боковины с удалением от базиса удлиняются следующим образом: 1,5; 2,9; 5,7; 11,4 и т.д. Но, тем не менее, пропорциональность их сохраняется, что и подтверждается вурфным коэффициентом: W₁ = 1,292; W₂ =1,290.

Коротко ознакомимся с характером изменения структуры проективной пирамиды при изменении положения поляры в круге. Отметим, что когда поляра проходит через центр окружности, т.е. когда пирамида симметрична, все ее крыши горизонтальны, а точки полюсов М и спутников поляры N на базисе расположены симметрично относительно нее. Каждая отдельная пара лучей крыш, вместе с базисной прямой, образовывают на бесконечности точки Дезарга симметрично по обе стороны пирамиды. Дискретное перемещение поляры вдоль диаметра сопровождается пропорциональным наклонением крыш с той стороны, в направлении которой она движется. А лучи от них, наклоняясь, «выходят» на базис одной, единой для всех точкой М и постепенно «проходят» все точки серии М. С противоположной стороны наклонение вызывает как бы «размыкание» точек Дезарга, поскольку, как свидетельствует рис.62, параллельность крыш нарушается. Но это нарушение параллельности – эффект картинки. Оно следствие изменения плотности пространства между параллельными сторонами пирамиды. И наклонение крыш не изменяет их параллельности, а только передвигает параллельные лучи к базисной прямой, имеющей бесконечную плотность, которая и «сводит» их в точку, перемещающуюся на базисной прямой вплоть до «соприкосновения» с окружностью в точке В.

С противоположной стороны пирамиды лучи от крыш движутся в пространстве уменьшающейся плотности, и потому возникает эффект их расширения. Постепенно наклон крыш приводит к тому, что виртуальные прямые, соединяющие точки С₄, С₃, С₂ с точками Д₃, Д₂, Д_. оказываются параллельными базису, и по обе стороны пирамиды, возникают новые точки Дезарга. Дальнейшее перемещение поляры приводит к опусканию лучей виртуальных крыш на базисную прямую и возникновению нового полюса М. И чем дальше движется поляра, тем больше возникает новых полюсов, медленно перемещающихся вдоль базисной линии к основанию пирамиды. Однако все элементы деформируемой пирамиды, расстояния между полюсами и спутниками поляры сохраняют свою вурфную пропорциональность и гармонические отношения между отдельными четверками чисел. Проверим это утверждение на реальных цифрах, исходя из той же длины диаметра равной 10 см и высоты пирамиды равной 19 см.

4.3. Числа Фибоначчи и

золото статико-динамической геометрии

Предположим, в качестве примера, что в своем движении от центра круга к точке В поляра «случайно» заняла положение, соответствующее делению диаметра АВ золотым сечением, и пирамида стала асимметричной, как показано на рис.62 Часть структуры элементов фигур образуемая золотым сечением, как уже отмечалась выше, оказывается пропорциональной золотому числу. Поскольку основание пирамиды равно 10 см, то поляра разделяет его на две части длиной 6,1803 см больший отрезок и 3,8197 см - меньший. Поляра высотой 19 см пересекает семь этажей крыш, расстояния между которыми в см равны: 2,05; 2,8; 3,25; 2,95; 2,15; 1,3. Как и в симметричной пирамиде, расстояние между крышами остается неодинаковым, следствие анизотропности плотностного пространства пирамиды. Однако физическая пропорциональность между ними сохраняется, что и подтверждается коэффициентом вурфа, найденным по уравнению (4.2):

W₁ = 1,286; W₂ = 1,282; W ₃ = 1,284; W₄ = 1,287.

Передвижение поляры из центра окружности вызвало наклонение крыш трапеций в сторону В, и лучи от них сходятся на точке М. В этой же точке базисную прямую пересекает касательная, исходящая от окружности в точке пересечения ее полярой. А это значит, что имеет место гармоническая четверка точек, определяемая равенством:

АN ⁄ВN = АМ ⁄ВМ

Решаем это равенство и получаем следующие величины образовавшихся отрезков: АМ = 26,18 см; ВМ = 16,18 см. Отрезок АМ по модулю равен десяти квадратам золотого числа Ф² = 2,618, а отрезок ВМ по модулю равен десяти золотым числам Ф¹ = 1,618. Числа эти существуют не сами по себе. Они члены числовой последовательности степенного греческого ряда, в котором каждый последующий член равен их сумме:

Ф¹ + Ф² = Ф³ = 1,618 + 2,618 = 4,236. (4.4)

Здесь модуль величины Ф в степени определяет собой размерностную длину двух отрезков, а их сумма – длину всего отрезка.

Аналогично для модулей АМ и ВМ имеем:

1а) ВМ + АМ = С₁Д₁ = 16,18 + 26,18 = 42,36. (4.5)

Таким образом, пропорции четверки гармонических чисел проективной геометрии есть геометрическое отображение процесса нарастания (последовательного сложения) произвольных начальных величин чисел ряда Фибоначчи (метод сложения Фибоначчи).

Отметим, что такого типа суммирование в проективной геометрии не производится, хотя получение четырех точек достигается тем же способом, т.е. делением отрезка, отграниченного двумя точками, на два отрезка. Отношения получившихся отрезков и определяют гармоничность трех точек. В нашем случае это точки А, N, В.

Отрезки АN и ВN вместе и составляют отрезок АВ. Однако, повторимся, операция аналогичная сложению модулей отрезков АМ и ВМ как и отрезков АN и ВN в проективной геометрии не проводится. Проведем ее:

1б) ВN + АN = АВ = 3,8197 + 6,1803 = 10,00. (4.6)

То, что величина АВ равна сумме ВN и АN, понятно и без записи равенства (4.6) поскольку именно АВ делилась в крайнем и среднем отношении. Но операция сложения полученных модулей отрезков, это не операция деления, а процесс выявления числовой структуры получаемых пропорций. Она-то и определяет факторы, обусловливающие гармоничность четырех точек, рассматриваемых в проективной геометрии, и бесконечного количества точек базисной прямой, которые появляются в статико-динамической геометрии. Именно поэлементное сложение (4.5) и (4.6) определяет структуру всех гармонических чисел и их взаимосвязь с золотыми пропорциями. И сумма отрезков как самостоятельная величина для данной фигуры, пропорциональная Ф³, в (4.4), (4.5), (4.6) она, похоже, не употребляется в проективной геометрии.

Операции сложения:

АN + ВN = АВ,

АМ + ВМ = С₁Д₁,

являются важнейшими операциями статико-динамической геометрии. Эти операции изначально предполагают потенцию непрерывного движения, поскольку производятся по правилу Фибоначчи, которое обусловливает бесконечное последовательное сложение двух чисел, при этом каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих. Именно операция сложения модулей двух известных (АN и ВN) и двух неизвестных АМ и ВМ отрезков определяет начало ряда Фибоначчи и возможность гармонического пропорционирования четырех (многих) точек базисной прямой. Причем важнейшим обстоятельством пропорционирования является то, что в одно неизвестное число входит число известное, являющееся суммой двух известных чисел:

АМ = АВ + ВМ.

Этообстоятельство обусловливает пропорциональную на общий коэффициент взаимосвязь между известными и неизвестными длинами отрезков и, следовательно, возможность формализации одного уравнения с двумя неизвестными. В нем изначально закладывается пропорционирование как отношение неизвестных друг к другу через суммарное известное, входящее в неизвестное. Запишем это отношение:

АN ⁄ВN = (АВ +ВМ) ⁄ ВМ

И получаем уравнение из четырех членов с одним неизвестным ВМ. Преобразуя его, получаем:

ВМ = АВ·ВN ⁄ (АN – ВN). (4.7)

Следовательно, проекция поляры, в своем кадрированном движении вдоль диаметра, делит точками-полюсами базисную прямую на множество отрезков, гармонически пропорциональных его образовавшимся частям.

Если и в операциях (4.5) и (4.6) убрать знаки сложения и равенства, то перед нами два ряда начальных чисел Фибоначчи, сдвоенных в ряд Пилецкого. Сами по себе ряды Фибоначчи свидетельствуют об адекватности процессов, отображаемых ими отдельным природным зависимостям. Появление же ряда Пилецкого свидетельствует уже о наличии комплекса таких явлений, свидетельствует о развитии движения отдельных элементов во взаимосвязанную инвариантную систему, которая в дальнейшем вырождается в соответствующую матрицу. Модуль каждой тройки чисел (внутренних и внешних), двух слагаемых отрезков и результата, составляют ячейку из трех первых членов ряда А. Пилецкого. Двух рядов из трех чисел, каждый из которых в потенции последовательного сложения и умножения по вертикали на общий для них коэффициент в конечном итоге преобразуются в матрицу. В ряду Пилецкого числа одной строки отличаются от чисел другой на один и тот же коэффициент. Разделим каждое верхнее число на нижнее, и определим, связаны ли они единым коэффициентом:

16,18; 26,18; 42,36;

3,820; 6,180; 10,00;

коэффициент 4,236; 4,236; 4,236.

Коэффициент 4,236, единый для каждой пары чисел свидетельствует о том, что данный набор чисел есть сдвоенный ряд Пилецкого. Появление единого коэффициента пропорциональности между модулями параметров в пределах отрезка и с ним за его пределами в виде ряда Пилецкого обусловливает гармоничность множеству точек статико-динамической геометрии. Покажем развитие ряда Пилецкого посредством последовательного сложения чисел по горизонтали и умножения верхнего ряда на 4,24 и деления нижнего на те же 4,24 по вертикали (матрица 2).

Матрица 2

… … … … … …

… 42,37 68,53 110,9 179,4 290,3 …

…10,00 16,18 26,18 42,3668,54 …

…2,3603,820 6,180 10,0 16,18 …

… 0,557 0,902 1,459 2,361 3,820 …

… … … … … … …

В результате получаем, что сдвоенный ряд Пилецкого, образованный четверкой гармонических точек, является фрагментом одной из золотых русских матриц. Она изначально базируется на золотой пропорции и имеет следующие золотые коэффициенты взаимосвязи:

По строкам слева направо Ф¹ – 1,618,

По диагонали слева направо сверху вниз Ф² – 2,618.

По столбцам снизу вверх Ф³ – 4,236,

По диагонали слева направо снизу вверх Ф⁴ – 6,854,

Отметим одну существенную особенность фрагмента этой матрицы. Продолжим ряды Пилецкого за пределы фрагмента влево и вправо:

… 1,46; 2,36; 3,82; 6,18; 10,0;16,18; 26,18; 42,36; 68,54; …

… … ; … ; … ; 1,46; 2,36; 3,82; 6,180; 10,00; 16,18; …

И оказывается, что здесь наличествует последовательность чисел одного ряда, сдвинутого относительно друг друга на три числа. Эта операция сдвижения рядов, по-видимому, возникает потому, что поляра разделяет диаметр (или отрезок) в крайнем и среднем отношении. (Известно, что сдвиг числовых строк натурального ряда обусловливает и появление мифических квадратов.) Матрицы данного типа (русская матрица со сдвинутой строкой) образуют группу золотых многобазисных матриц и, похоже, наиболее адекватно отображают структуру окружающего космического пространства. В матрице базисная единица отображает плотностное пространство, которое в окружающем космическом пространстве представляют, например, планеты, звезды, галактики. Пропорциональность же чисел обеспечивает коэффициент пропорциональности – свой для каждого сдвоенного ряда. Выше показано, что всякое динамическое развитие проходит начальную стадию (последовательность) формирования рядов Фибоначчи с выходом на ряды Пилецкого и в дальнейшим с переходом в один из вариантов русской матрицы.

Покажем, что остальные точки серий М и N образуют подобные сдвоенные тройки чисел, которые могут формировать такие же фрагменты. По методу, описанному выше, находим несколько точек серий М и N и последовательно по уравнению (4.5)–(4.6) определяем расстояние их от точек А, В и N для проективной пирамиды рис. 62. Поскольку операция по нахождению расстояния до этих точек достаточно проста, проводить ее не будем, а, просто замерив и выписав полученные при построении расстояния до трех точек каждой серии в см, попробуем определить возможность взаимного пропорционирования их модулей: ВМ₁ = 4,52; АМ₁ = 14,52; ВN₁ = 2,32; АN₁ = 7,63; ВМ₂ ==1,75; АМ₂ = 11,75; ВN₂ = 1,3; АN₂ = 8,7; Это параметры точек расположенных по правую сторону от поляры (рис.62). Выпишем аналогичные параметры точек расположенных по левую сторону от поляры: АМ´ = 42,32; ВМ´ = 55; АN´ = 4,5; ВN´ = 5,5; АМ´´ = 11,67; ВМ´´ = 21,67; АN´´ = 3,5; ВN´´ = 6,5; АМ´´´ = 6,91; ВМ´´´ = 16,91; АN´´´ = 2,9; ВN´´´ = 7,1.

Отметим, что каждая из получаемых точек серий М отсекает на базисной прямой отрезок некоторой длины, пропорциональный определенным отрезкам, отсекаемым точками серии N на диаметре. Поэтому имеется возможность привести попарно сложение модулей величин этих отрезков, приводя их к виду (4.5)-(4.6).

Пары справа от поляры:

2а) ВМ₁ + АМ₁ = С₂Д₂ = 19,04; 2б) ВN₁ + АN₁ = АВ = 10. (4.8)

3а) ВМ₂ + АМ₂ = С₃Д₃ = 13,50; 3б) ВN₂ + АN₂ = АВ = 10. (4.9)

Пары слева от поляры:

1) АМ´ + ВМ´ = С₁´Д₁´ = 100; 1´) АN´ + ВN´ = АВ = 10. (4.10)

2) АМ´´ + ВМ´´ = С₂´Д₂´ = 33,34; 2´) АN´´ + ВN´´= АВ = 10. (4.11)

3) АМ´´´ + ВМ´´´ = С₃´Д´₃ = 23,82; 3´) АN´´´ + ВN´´´= АВ = 10. (4.12)

Еще раз отметим, что пропорциональность сдвоенных рядов обеспечивает коэффициент, получаемый делением каждого верхнего числа на нижнее. В частности, для ряда 3)-3´) этот коэффициент равен 2,382. Каждый последующий член ряда, по методу Фибоначчи, равен сумме двух предыдущих. А отношение двух соседних чисел ряда синхронно приближаются к Ф. Таблица 5 отображает эту синхронность. Приближение к числу Ф показано и над числами первого ряда, и под числами второго ряда.

Таблица 5

2,447; 1,408; 1,710; 1,585; 1,631; 1,6131; 1,6199; 1,617

6,91; 16,91; 23,82; 40,73; 64,55; 105,28; 169,83; 275,11; 444,94;

2,9; 7,1; 10; 17,1; 27,1; 44,2; 71,3; 115,5; 186,8;

2,448; 1,408; 1,710; 1,585; 1,631; 1,6131; 1,6199; 1,617

Внутреннее родство сдвоенных рядов подтверждается и методом вурфа. Если в уравнение (4.2) подставить числа парных рядов, то для каждой пары будет получен одинаковый вурфный коэффициент. Покажем это для пропорции образуемой с точками М и N:

W _1а = (ВМ + АМ) (АМ + С₁Д₁) ⁄АМ(ВМ + АМ + С₁Д₁) = 1,309 = Ф²⁄2.

W _1б= (ВN + АN) (АN + АВ) ⁄(ВN + АN + АВ) = 1,309 = Ф²⁄2.

Найдем попарные вурфы других рядов:

W_2а= 1,156; W_2б= 1,155; W_3а = 1,074; W_3б = 1,074;

W₁ = 1,409; W_1´ = 1,409; W₂ = 1,269; W_2´= 1,269;

W₃ = 1,074; W_3´ =1,074.

Разная величина вурфных отношений, каждая для своей пары, тем не менее, не препятствует, как будет показано далее, пропорционированию всех точек в единую взаимосвязанную комбинацию. Отметим, однако, что пропорциональные отсекаемым отрезкам величины серии СД, являющиеся параметрами некоторых неявных гармонических точек на базисной прямой, вообще не используются в проективной геометрии. Это обстоятельство скрывает объективную пропорциональность всей системы образуемых отрезков и их попарную аналогию с первой тройкой чисел рядов Фибоначчи. Кроме того, наличие этих рядов свидетельствует о том, что образующаяся система пропорциональных гармонических отрезков отображает динамические процессы в проективной геометрии. Как явствует из (4.5)-(4.6) любое статическое положение поляры на диаметре фигуры обусловливает появление некоторой серии гармонических точек отсекающих на базисной прямой, за пределами окружности, симметричные и несимметричные попарно пропорциональные отрезки. Последние и формализуются в виде (4.7). С проявлением парных пропорций и с возрастанием количества точек на базисной прямой значительно расширяется структура пропорционирования отрезков.

Как уже было показано, основное уравнение гармонической четверки точек в проективной геометрии имеет следующий вид:

АN ⁄ ВN = АМ ⁄ ВМ

Оно может преобразовываться в следующую форму:

АN·ВN ⁄АМ·ВN = 1. (4.13)

Отметим, что отношение (4.13) – многозначная пропорциональность, приравненная базисной 1, – основа памяти чисел и теории физической размерности. Она обусловливает нахождение любого неизвестного члена уравнения по трем известным. Базисная единица есть безразмерностная константа в математике, и в частности особым (центральным или базисным) числом в русской матрице, а в физике может быть как размерностной, так и безразмерностной единицей, связывающей переменные параметры одной системы. Именно она отображает динамику (бесконечное движение) свойств одной системы как в статико-динамической, так и физической (динамической) геометрии. Пропорциональное изменение переменных параметров в аналогичной форме физических уравнений не оказывает влияния на базисную единицу. А поэтому аналоги (4.13) в физике, как и в статико-динамической геометрии являются инвариантами.

Поскольку у ряда Пилецкого существует коэффициент, то использование его и золотых коэффициентов взаимосвязи обусловливает появления ряда других пропорций:

АМ ⁄АN = ВМ ⁄ ВN ; АМ ⁄АN = СД ⁄АВ ; ВМ ⁄ ВN = СД ⁄АВ ;

АМ ⁄ВМ = СД ⁄АМ ; АМ ⁄ВN = СД ⁄АN ; ВМ ⁄АN = АМ ⁄АВ ; и т.д.

Могут появляться и такие, экзотические для проективной геометрии, пропорции модулей отрезков:

|АN|² ⁄ |ВN|² = ВМ ⁄ АN; |ВМ|² ⁄ |АN|² = АМ ⁄ ВN; (4.14)

|АМ|³⁄ |ВМ|³ = ВМ ⁄ ВN; |АN|⁴ ⁄ |ВN|⁴ = АМ ⁄ ВN; и т.д.

Все пропорции модулей могут быть скомпонованы по единой форме и приравнены к базисной единице:

АМ·ВN ⁄ АN·ВМ = 1; АМ·АВ ⁄ АN·СД = 1;

|АN|³ ⁄ |ВN|²·ВМ = 1; |ВМ|²·ВN ⁄ |АN|² ·АМ = 1; (4.15)

|АМ|³·ВN ⁄ |ВМ|⁴ = 1; |АN|⁴ ⁄ |ВN|³·АМ = 1; и т.д.

Базисная единица, стоящая в правой части каждого уравнений (4.13)–(4.15), свидетельствует, что сложные отношения множества модулей пропорционально сбалансированы. При дальнейшем движении поляры точки серий М и N тоже передвигаются, но величина каждого модуля изменяется таким образом, что их пропорциональность базисной единице сохраняется. Эта сбалансированность сохраняется и в том случае, когда отношения модулей приравниваются друг другу через их равенство базисной единице:

АМ·ВN ⁄ АN·ВМ = АМ·АВ ⁄ АN·СД;

|АN|³ ⁄ |ВN|²·ВМ = |ВМ|²·ВN ⁄ |АN|² ·АМ; (4.16)

|АМ|³·ВN ⁄ |ВМ|⁴ = |АN|⁴ ⁄ |ВN|³·АМ;

Пропорции типа (4.16) можно подвергнуть дальнейшим преобразованиям и приравнивать базисной единице:

АМ·ВN·АN·СД ⁄ АN·ВМ·АМ·АВ = 1;

|АN|⁵·АМ ⁄ |ВN|³· |ВМ|³ = 1; (4.17)

|АМ|⁴·|ВN|⁴⁄ |ВМ|⁴·|АN|⁴ = 1; и т.д.

Процесс компонования пропорцией базисных уравнений может, по-видимому, продолжаться до тех пор, пока не охватит все параметры, входящие в структуру рассматриваемой фигуры. Это возможно потому, что в полудинамической геометрии все параметры взаимосвязаны и с изменением формы фигуры в движении все они деформируют, сохраняя, однако, взаимную пропорциональность. Это природное качество – сохранение взаимосвязей всех свойств тел при деформациях и отображает статико-динамическая геометрия. Члены базисных уравнений могут образовывать как простые пропорции, так и пропорции связанные с числами Фибоначчи и с золотым числом Ф.

Золотые числа проявляют себя в движении в статико-динамической геометрии как три числа начала ряда Фибоначчи в потенции к образованию геометрической прогрессии и с переходом к золотым матрицам.

4.4. Двойственность точка – прямая

Остановимся на операции замены прямых точками или точек прямыми в проективной и в статико-динамической геометрии и определим, какова разница в зависимости геометрических образов этих геометрий даже при одинаковом подходе к пониманию одних и тех же операций. Операция замены точек прямыми, а прямых точками является процессом преобразования элементов фигуры одного вида в другой. При этом сохраняются некоторые существенные качества первой фигуры. Замена хорошо отработана в проективной геометрии, вытекает из того эмпирического обстоятельства, что замена каждой плоскости или прямой некоторой фигуры на точку и последующее соединение этих точек образует другую фигуру, в известной степени отображающую первую. Используя то обстоятельство, что в проективной геометрии все прямые пересекаются, и каждая пересекается с другой в единственной точке, французский геометр Понселе предложил «принцип двойственности» [27]:

«…из каждого проективного предложения относительно точек и прямых на плоскости может быть получено второе предложение путем замены слова «точка» словом «прямая» и наоборот».

А для понимания процесса приведения в соответствие точек и прямых введен термин «инцидентность». Так, если прямая и точка инцидентны, то либо точка лежит на прямой, либо прямая проходит через точку. Поэтому две различные точки инцидентны одной (единственной) прямой, или две прямые инцидентны единственной точке. Рассмотрим приведение в перспективное соответствие точек и прямых на примере фигур изображенных нарис.7 и 8 работы [27]:

«Простейшая связь между точкой и прямой – перспектива. Она приводит в соответствиеточкам А, В, С, Д … одной прямой (l) точки А´, В´, С´, Д´, … другой прямой (l´), а также пучок прямых а, b, с, д, … с центром в S (рис. 63).

Заменим теперь прямую l точкой L, прямую l` точкой L`, точку S прямой s, а точки А, В, С, Д… и А´, В´, С´, Д´… прямыми а, b, с, д … и а´, b´, с´, д´…, как это сделано на рис.64., т.е. применим принцип двойственности.

В первом случае два точечных ряда приведены в соответствие при помощи пучка прямых. Во втором – два пучка прямых приведены в соответствие при помощи точечного ряда. Оба соответствия называются перспективными».

Отметим, что в статико-динамической геометрии точка и прямая обладают различными качествами и потому прямая никогда не может проходить через точку. Точка, это нечто напоминающее черную дыру, которая «впускает» прямую, но из себя не выпускает. Прямая – всегда последовательность впритык расположенных несобственных точек другого ранга. Лучи же прямыми не являются. Они виртуальные, подсобные части необходимые для выявления взаимосвязей элементов фигур. В статической геометрии точка, и прямая равнозначны и равнокачественны. Именно это обстоятельство и становится формальным обоснованием возможности замены точки на прямую и обратно. Рассмотрим, что же получилось на рисунках 63, 64? Прежде всего, рисунки 63 и 64 выполнены по законам статической геометрии и при выполнении их не принимается во внимание скрытая двойственность фигур, и не учитывается существование несобственных точек и плоскостей. На рис. 63 смотрятся только прямые и точка S, в которую «входит» пучок лучей, проходящих через эти прямые. Однако рис. 63 – копия рис. 8 [27] отображающего перенос гармонической четверки точек с одной прямой на другую. Выше же показано, что точка S является точкой опоры, а прямая АД – базисной прямой. Последнее изменяет смыслрис. 63, обусловливая соразмерность четырех точек на базисных прямых l и l´. Эта соразмерность главный элемент фигуры, и ее необходимо получить на прямой (рис. 64).