Метод итерации для системы двух уравнений

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными

(15.1),

действительные корни которых надо найти с заданной степенью точности.

Пусть х = х₀; у = у₀ – приближенные значения корней системы (15.1), полученные каким-либо способом (графическим, грубой прикидкой). Для этого представим систему (15.1) в виде

(15.2)

и построим последовательные приближения по формулам

(15.3)

Если итерационный процесс (15.3) сходится, т.е. существуют пределы

и ,

то, предполагая функции j₁(x, y) и j₂(x, y) непрерывными и переходя к пределу в равенстве (15.3) общего вида, получим:

Отсюда

,

т.е. предельные значения x и h являются корнями системы (15.2), а, следовательно, и (15.1). Взяв достаточно большое число итераций (15.3), мы получим числа x_n и y_n, которые будут отличаться от точных корней x = x и y = h сколь угодно мало. Для решения системы таким образом итерационный процесс должен быть сходящимся.

Теорема. Пусть в некоторой замкнутой окрестности R{a £ x £ A; b £ y £ B} имеется одна и только одна пара корней x = x и y = h системы (15.1).

Если: 1) функции j₁(x, y) и j₂(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R;

2) начальные приближения x₀, y₀ и все последующие приближения x_n, y_n(n=1, 2¼) принадлежат R;

3) в R выполнены неравенства

то процесс последовательных приближений (15.3) сходится к корням x = x и y = h системы (15.2), т.е.

и .

Замечание. Теорема остается верной, если условие 3) в ней заменить условием 3¢):

Эту теорему примем без доказательства.

Пример. Для системы

найти положительные корни с четырьмя значащими цифрами.

Решение.Строим график функций f₁(x, y) = 0 и f₂(x, y) = 0. Приближенные значения интересующих корней есть x₀ = 3,5; y₀ = 2,2. Для применения метода итерации запишем нашу систему в таком виде:

Найдем частные производные

.

Ограничиваясь окрестностью , будем иметь

;

;

; .

Отсюда

; (15.4)

. (15.5)

Видим, что условия сходимости выполняются.

приступаем к вычислению последовательных приближений по формулам

занося результаты в таблицу.

Таблица

n	xn	yn
	3,5	2,2
	3,479	2,259
	3,481	2,260
	3,464	2,261
	3,486	2,261
	3,487	2,262
	3,487	2,262

Таким образом, можно принять x = 3,487; h = 2,262.

Замечание. Вместо рассмотренного процесса последовательных приближений (15.3) иногда пользуются процессом Зейделя:

16. Решение систем линейных уравнений

Одной из самых распространенных задач в вычислительной практике является задача решения систем линейных уравнений, которые в общем случае имеют вид:

(16.1)

Методы решения систем линейных уравнений можно разделить на точные (конечные) и итерационные (бесконечные).

Точные (или прямые) методы дают точное решение (с точностью до ошибок округления) с помощью конечного числа арифметических операций. В итерационных методах для получения точного решения необходимо произвести бесконечное число арифметических операций. Так как это невозможно, то в итерационных методах всегда присутствует ошибка ограничения.

Система вида (16.1) называется системой п линейных уравнений с n неизвестными, где x₁, x₂, ¼, x_n называются неизвестными системы, a₁₁, a₁₂, ¼, a_nn - коэффициентами при неизвестных системы, b₁, b₂, ¼, b_n - свободными членами системы. Кратко система (16.1) может быть записана в виде

(16.2)

Пользуясь матричными обозначениями, можно записать

A X = B , (16.3)

где

. (16.4)

При рассмотрении произвольной системы линейных уравнений (16.1) нельзя заранее сказать, будет ли такая система иметь единственное решение, бесконечное множество решений или совсем не иметь решения.

Пусть дана система линейных уравнений (для простоты рассмотрим систему третьего порядка)

(16.5)

Введем следующие обозначения:

Здесь D - определитель системы, а D₁, D₂, D₃ - определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов.

Чтобы система (16.1) или ее частный случай – система (16.5) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был не равен нулю (D ¹ 0). Система в этом случае называется линейно независимой или определенной (или невырожденной) и решается с помощью методов линейной алгебры. Например, решение системы по формулам Крамера. В случае (16.5) эти формулы имеют вид:

. (16.6)

Определитель системы (16.1) равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующее алгебраическое дополнение

,

если раскрыть определитель по i-ой строке; или , если раскрыть определитель по j–ому столбцу. Алгебраическое дополнение равно минору M_ij, умноженному на (-1)^i+j, т.е. A_ij =(-1)^i+jM_ij. Минором M_ij называется определитель, получающийся вычеркиванием i-ой строки и j–ого столбца.

Вычисление определителей – очень трудоемкий процесс, и, чтобы решить систему, например, 10^го порядка, необходимо вычислить 11 определителей 10^го порядка. Подсчитано, что для прямого вычисления определителя уже 30^го порядка требуется около 10³⁰ действий – вряд ли такие методы приемлемы даже для самых быстродействующих ЭВМ.

Методы же исключения уже сегодня позволяют вычислять определители, достигающие порядков до тысячи.

Пример. Решить с помощью формул Крамера систему линейных уравнений:

Решение. Находим определитель этой системы

;

1-й дополнительный определитель:

;

2-й дополнительный определитель:

;

3-й дополнительный определитель:

.

Отсюда,

Метод Гаусса.

Этот метод является наиболее распространенным. Он называется также методом последовательного исключения неизвестных. Рассмотрим для простоты систему линейных алгебраических уравнений четвертого порядка

(16.7)

Предположим, что a₁₁ ¹ 0 (ведущий элемент). Разделив первое уравнение системы на a₁₁, получим

, (16.8)

где .

Пользуясь уравнением (16.8), исключим из системы неизвестную x₁. Из второго уравнения x₁ исключается следующим образом. Умножим уравнение (16.8) на коэффициент a₂₁:

(16.9)

Последнее уравнение вычтем из второго уравнения системы:

или ,

где .

Проделав эти же операции с третьей и четвертой строками исходной системы, мы получим новую систему трех уравнений с тремя неизвестными:

(16.10)

где .

Допустим теперь, что ведущий элемент второй строки, т.е. коэффициент тоже отличен от нуля. Тогда, разделив на него первое из уравнений (16.10), получим уравнение

, (16.11),

где .

Исключив с помощью уравнения (16.11) неизвестную x₂ из двух последних уравнений в (16.10), приходим к следующей системе из двух уравнений с двумя неизвестными

(16.12),

где .

Теперь, если ведущий элемент и третьей строки не равен нулю, то, поделив на него первое из уравнений (16.12) и вычтя полученное уравнение, умноженное на , из второго уравнения, получим

до вычитания

, (16.13),

после вычитания

, (16.14),

где .

И, наконец, если ¹ 0, то, разделив на него (16.14), приведем к виду

, (16.15),

где .

Итак, если ведущие элементы не равны нулю, то исходная система эквивалентна следующей системе с треугольной матрицей:

(16.16)

Из системы (16.16) неизвестные x₁, x₂, x₃, x₄ находятся в обратном порядке по формулам

(16.17)

Процесс приведения исходной системы к треугольному виду называется прямым ходом, а нахождение неизвестных по формулам (16.17) – обратным ходом метода Гаусса.

Поясним ход решения уравнения на примере заполнения таблицы 16.1. Прямой ход начинается с выписывания коэффициентов системы, включая свободные члены (раздел А). Последняя строка раздела представляет собой результат деления первой строки раздела на «ведущий элемент» a₁₁. Элементы следующего раздела схемы (А₁) равны соответствующим элементам предшествующего раздела без произведения их «проекций» на первый столбец и последнюю строку раздела А.

Последняя строка раздела А₁ находится путем деления первой строки раздела на «ведущий элемент» первой же строки. Аналогично строятся следующие разделы. Прямой ход заканчивается, когда мы дойдем до раздела, состоящего из одной строки, не считая преобразованной (в нашем случае А₃).

При обратном ходе используются лишь строки разделов, содержащие единицы (отмеченные строки).

Для контроля вычислений используются так называемые «контрольные суммы»

, (16.18)

помещенные в столбце Sи представляющие сумму элементов строк матрицы исходной системы (16.7), включая свободные члены.

Если принять за новые свободные члены в системе (16.7), то преобразованная линейная система

или

будет иметь неизвестные , связанные с прежними неизвестными x_j соотношениями

.

Поэтому, если над контрольными суммами в каждой строке производить те же операции, что и над остальными элементами этой строки, то при отсутствии ошибок в вычислениях элементы столбца S равны суммам элементов соответствующих преобразованных строк. Этот момент служит контролем прямого хода.

Обратный ход контролируется нахождением чисел , которые должны совпадать с числами x_j + 1.

Таблица 16.1

Схема единственного деления

х1	x2	x3	x4	Свободные члены	S	Разделы схемы
a11 a21 a31 a41	a12 a22 a32 a42	a13 a23 a33 a43	a14 a24 a34 a44	a15 a25 a35 a45	a16 a16 a16 a16	A
						A1
						A2
				(x4)		A3
				x4 x3 x2 x1		B

Пример. Решить систему

(16.19)

Решение. В раздел А таблицы 16.2 впишем матрицу коэффициентов системы, ее свободные члены и контрольные суммы. Далее заполняем последнюю (пятую) строку раздела А, деля первую строку на 7,9(на a₁₁).

Переходим к заполнению раздела А₁ таблицы. Взяв любой элемент раздела А (не находящийся в первой строке), вычитаем из него произведение первого элемента его строки на последний элемент столбца, к которому он принадлежит (т.е. на элемент, принадлежащий в этом столбце отмеченной (выделенной) строке), и записываем в соответствующем месте раздела А₁ схемы. Например, выбрав a₄₃ =-8,9, найдем :

.

Чтобы получить последнюю строку раздела А₁, делим все члены первой строки этого раздела на . Например, .

Аналогично заполняются остальные разделы таблицы. Например,

.

Для нахождения неизвестных используем строки, содержащие единицы, начиная с последней (отмеченные строки). Неизвестное x₄ представляет собой свободный член последней строки раздела А₃:

.

Значения остальных неизвестных x₃, x₂, x₁ получаются последовательно в результате вычитания из свободных членов отмеченных строк суммы произведений соответствующих коэффициентов на ранее найденные значения неизвестных.

Имеем:

Итак, x₁ = 0,96710; x₂ = 0,12480; x₃ = 0,42630; x₄ = 0,56790.

Текущий контроль вычислений осуществляется с помощью столбца S, над которым производятся те же действия, что и над остальными столбцами.

Таблица 16.2

Решение системы по схеме единственного деления