Указания к выполнению домашнего задания 2
Домашнее задание 2.
Задача 5. Определение числовых характеристик дискретной случайной величины.
Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:
| xi | -1 | ||||
| pi | P1 | P2 | ? | P4 | P5 |
Найти недостающее значение вероятности; 
, моду и медиану случайной величины Х. Чему равна вероятность 
, 
? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 
.
Задача 6. Определение числовых характеристик непрерывной случайной величины.
Случайная величина Х распределена с постоянной плотностью С в промежутке [Q1,Q2]; попадает с вероятностью Rв промежуток [Z1, Z2] и имеет там плотность распределения вида 
. Для остальных значений Х 
. Требуется:
1. Найти недостающие значения параметров.
2. Указать плотность распределения, функцию распределения и построить их графики.
3. Вычислить математическое ожидание 
, дисперсию Dx, среднеквадратическое отклонение 
случайной величины Х. Найти вероятность 
.
Задача 7. Решить задачу, используя нормальное распределение:
Измеряемая случайная величина Х подчиняется закону распределения 
. Определить:
1. Вероятность того, что случайная величина не превосходит значение 
;
2. Вероятность того, что случайная величина изменяется от αдо β;
3. Вероятность того, что случайная величина отличается от среднего не более чем на значение 
в ту или другую сторону;
4. Симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 
попадает измеряемое значение.
Данные для задачи 5:
| № вар. |  |  |  |  |
| 0,11 | 0,27 | 0,1 | 0,23 | |
| 0,11 | 0,4 | 0,08 | 0,17 | |
| 0,13 | 0,22 | 0,06 | 0,3 | |
| 0,11 | 0,27 | 0,1 | 0,26 | |
| 0,13 | 0,28 | 0,08 | 0,19 | |
| 0,13 | 0,23 | 0,05 | 0,17 | |
| 0,11 | 0,37 | 0,05 | 0,3 | |
| 0,13 | 0,3 | 0,06 | 0,14 | |
| 0,15 | 0,32 | 0,09 | 0,23 | |
| 0,12 | 0,27 | 0,1 | 0,15 | |
| 0,14 | 0,37 | 0,07 | 0,29 | |
| 0,11 | 0,22 | 0,08 | 0,28 | |
| 0,1 | 0,24 | 0,1 | 0,14 | |
| 0,15 | 0,4 | 0,09 | 0,15 | |
| 0,13 | 0,37 | 0,1 | 0,17 | |
| 0,1 | 0,4 | 0,09 | 0,16 | |
| 0,13 | 0,26 | 0,07 | 0,26 | |
| 0,14 | 0,34 | 0,06 | 0,12 | |
| 0,1 | 0,26 | 0,05 | 0,15 | |
| 0,15 | 0,25 | 0,08 | 0,11 | |
| 0,1 | 0,3 | 0,08 | 0,13 | |
| 0,11 | 0,32 | 0,1 | 0,2 | |
| 0,14 | 0,27 | 0,1 | 0,2 | |
| 0,14 | 0,39 | 0,05 | 0,22 | |
| 0,13 | 0,23 | 0,07 | 0,18 |
Данные для задачи 6:
| № вар. | Q1 | Q2 | Z1 | Z2 | z3 | R | C | A |
| -1 -4 -1 -3 -3 -1 -3 -1 -1 -4 -3 -3 -1 -2 -1 -3 -4 -2 -3 -4 | -1 -1 -2 -1 -1 -2 -1 -1 | -3 -3 -3 -2 -3 -5 -4 -6 -4 -3 | -2 -2 -2 -1 -2 -2 -4 -2 | -4 -3 -5 -2 -1 -2 -1 -3 -7 -1 -2 -6 | 0.25 0.33 0.45 0.35 0.3 0.35 0.15 0.4 0.125 | 0.125 0.215 0.155 0.125 0.135 0.125 0.155 0.135 | 0.215 0.225 0.325 0.145 0.135 0.215 0.125 0.245 |
Данные для задачи 7:
| № вар. |  | | | α ; β |
| 2; 0.3 1; 0.5 3; 0.2 0; 1.2 0.5; 0.03 4; 1.2 3.5; 2.3 2.3; 1.1 1.4; 0.4 6; 2.4 3.6; 1.2 8; 4.2 1.3; 0.3 2.5; 1.2 3.1; 2.3 5; 1.6 4.2; 3.2 7; 1.5 2.4; 0.4 5.1; 3.1 3; 2.1 6.2; 3.5 4.8; 0.8 5.6; 0.9 1.7; 0,1 | 0.7 1.3 1.6 0.3 0.1 2.3 2.5 1.7 0.6 6.8 4.2 5.7 0.6 3.1 2.4 5.8 4.5 3.6 2.1 4.6 2.5 5.1 5.6 3.8 1.2 | 0.75 0.48 0.54 0.67 0.78 0.66 0.59 0.65 0.58 0.49 0.87 0.94 0.87 0.73 0.27 0.57 0.55 0.64 0.48 0.58 0.55 0.69 0.48 0.77 0.86 | 1.1; 2.1 0.3; 0.7 1; 1.5 -0.2; 0.3 0; 1.3 4.1; 4.9 2.3; 3.6 3.2; 3.5 0.2; 0.9 4.5; 6.1 2.6; 3.1 5.7; 7.8 2; 3.4 1.4; 2.6 2.5; 3.5 3.2; 5.1 3.7; 6 5.6; 7.6 1.3; 4.3 4.2; 6.1 1.2; 3.4 5.7; 7.1 3.4; 6.1 4.5; 6.3 0.2; 0.8 |
Указания к выполнению домашнего задания 2
Задача 5. Определение числовых характеристик дискретной случайной величины.
Закон распределения случайной величины Х задан таблицей:
| xi | -1 | ||||
| pi | P1 | P2 | ? | P4 | P5 |
Найти недостающее значение вероятности, 
, моду и медиану случайной величины Х. Чему равна вероятность , ? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Из условия нормировки 
найдём недостающее значение вероятности 
.
Математическое ожидание, дисперсию и СКО вычислим по формулам 
, 
, 
.
Мода Мо – это значение xi с наибольшей вероятностью.
Пусть 
, тогда Мо=4.
Cередина вариационного ряда с нечётным числом членов N, определяется по формуле Ме = 
= 
=1.
Для случайной величины найдём 
, 
пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии:
M(C)=C, M(X1 ± X2) = M(X1) ± M(X2), M(CX)=CM(X),
D(С) = 0, D(X1+X2) = D(X1)+D(X2),D(CX) = C2D(X).
,
.
Задача 6. Определение числовых характеристик непрерывной случайной величины.
Случайная величина Х распределена с постоянной плотностью С в промежутке [Q1,Q2]; попадает с вероятностью Rв промежуток [Z1, Z2] и имеет там плотность распределения вида . Для остальных значений Х . Требуется:
1. Найти недостающие значения параметров.
Недостающие значения параметров найдём из условия нормировки: 
.
2.Указать плотность распределения, функцию распределения и построить их графики.
Найдём функцию распределения, используя её свойство 
.
3. Вычислить математическое ожидание 
, дисперсию Dx, среднеквадратическое отклонение 
случайной величины Х. Найти вероятность 
.
- математическое ожидание,
- дисперсия,
- среднеквадратичное отклонение.
Вероятность можно найти по формуле 
, положив 
и 
.
Задача 7. Решить, используя нормальное распределение:
Измеряемая случайная величина Х подчиняется закону распределения . Определить:
1. Вероятность того, что случайная величина не превосходит значение .
,
здесь 
- функция Лапласа, значения которой для неотрицательного аргумента табулированы. Для отрицательного аргумента их можно найти из соотношения 
и 
, 
.
2. Вероятность того, что случайная величина изменяется от αдо β.
.
3. Вероятность того, что случайная величина отличается от среднего не более чем на значение в ту или другую сторону.
Используя формулу из пункта 7, имеем:
,
где 
- табличное значение функции Лапласа.
4. Симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью попадает измеряемое значение.
Пусть 
- величина, на которую нужно отступить вправо и влево от математического ожидания , тогда условие задачи можно представить в виде 
. Следовательно, можно найти из условия: 
(зная вероятность 
, находим по таблице значения аргумента функции Лапласа.
А интервал будет иметь вид 
.