Гармония золотых пропорций 2 страница

Треугольник АNВ носит название золотого степенного треугольника поскольку отношение его сторон пропорциональны числу Ф = (1,272)² = 1,618. Если, например, принять, что у золотого треугольника меньший катет равен Ф¹ = АN = 1,618 (см), то другой катет равен Ф² = ВN = 2,618 (см), а гипотенуза Ф³ = АВ = 4,236 (см). И, следовательно, за процессом делением отрезка в крайнем и среднем отношении может скрываться отображение на горизонтальной плоскости геометрической фигуры – золотого

прямоугольного треугольника обращенного прямым углом N к математику. Процесс же деления выявляет точку схождения катетов этого треугольника и длину его высоты NN´ = b, а потому и ее размерность (см).

Уравнения (3.31) и (3.32) в этом случае могут относиться к каждому из подобных треугольников, и будут иметь, например, следующий вид:

b´ = (а´ + с´) ⁄ с´ = с´ ⁄ а´,

b² = (а + с) ⁄ а = с²∕ а²,

при b = b´,

совместно описывая не деление отрезка в крайнем и среднем отношении, а существование на плоскости сдвоенного золотого треугольника.

Будем полагать, что объяснение наличию пропорций (3.31) и (3.32), и следующего из них уравнению Пифагора, найдено. Но теперь, когда обнаружилось существование, по меньшей мере, двух фигур в одном месте, возникает вопрос, а не скрываются ли там еще и другие фигуры, дополняющие найденные? Тем более, что алгебраическое решение уравнения (3.33) дает два значения числа Ф: Ф = 1,618 и Ф = 0,618 и только одно из них отображается рисунками 49, 50. Возможно, это свидетельствует о том, что полученная фигура золотого треугольника является одним из возможных вариантов решения и нельзя исключить, что существуют другие фигуры, которые отражают два значения величины Ф. Поэтому продолжим рассмотрение возможности отображения отрезком АВ других фигур. Поищем другие варианты.

Можно предположить, например, что точка N есть точка соприкосновения двух смежных окружностей. Построим обе окружности (рис. 51), для чего повторим построение двусмежного квадрата АВСД и нахождение точки N. Проведем диагонали в двусмежном квадрате (показано штрихами) и разделив доли АN и ВN пополам проведем циркулем окружности Б и Б₁, с радиусами R и r. Обратим внимание на то обстоятельство, что диагональ СВ двусмежного квадрата АСDВ является касательной к окружности Б. Если же теперь «повернуть» окружность Б₁ вокруг ТТ` как вокруг оси на 180^о, то заняв часть окружности Б, она оказывается касательной к другой диагонали двусмежного квадрата – СВ.

Проведем в каждом из квадратов по диагонали АS и SВ, получив равнобедренный треугольник АSВ, и восстановим из центров окружностей перпендикуляры до пересечения их с окружностями. Точки Е, F пересечения радиусов R и r c окружностями Б и Б₁будут лежать на диагоналях АS и SВ, т.е. на сторонах равнобедренного треугольника (рис. 51). Если же соединить точки пересечения E и F прямой, то получим разностороннюю трапецию O₁EFO₂. Диагонали этой трапеции пересекаются на перпендикуляре, восстановленном из точки N. Если предположить, что трапеция может «двигаться» деформируясь внутри треугольника АSВ, при постоянном соприкосновении радиусов со сторонами треугольника АSВ, то при ее «движении» влево или вправо, нижнее основание трапеции будет оставаться неизменным. А радиусы окружностей, остальные стороны и диагонали будут пропорционально деформироваться таким образом, что точка пересечения диагоналей трапеции будет всегда находиться на перпендикуляре, восстановленном к диаметру через точки соприкосновения окружностей N. И, следовательно, элементы трапеции и окружности, на которые она «опирается» взаимосвязаны Все элементы фигуры, кроме нижнего основания деформируются пропорционально, при «перемещении» в плоскости равностороннего треугольника АSВ. На рисунке 51 зафиксирован тот миг движения, когда радиусы окружностей относятся друг другу пропорционально числу Ф:

R⁄r = 1,618…, r⁄R = 0,618… .

Получаются те же величины отношений, которые извлекаются из решения уравнения (3,33). И потому нельзя исключить, что и фигура на рис. 51 тоже имеет какое-то отношение к делению отрезка в крайнем и среднем отношении, когда точка деления является точкой касания окружностей или точкой пересечения диагоналей разносторонней трапеции. Однако и в этом случае отсутствует размерностная величина b, поскольку отношение радиусов не оказывается размерностной величиной.

Отметим, что наличие двух смежных окружностей, (или сферических образований?) соприкасающихся в одной нейтральной точке как бы моделирует в статике структуру гравитационных полей небесных тел. (Например, структуру Солнца и одной из ее планет, имеющих в качестве нейтральной «точки» – зону одинаковой напряженности своих гравитационных полей.). И структуру молекул (например, структуру молекулы воды) и атомов микромира и т.д. (рис. 19)

Таким образом, процесс деления «прямой» в крайнем и среднем отношении по уравнению (3.31) возможно выявляет существование на горизонтальной плоскости одной из описанных выше фигур (трех параллельных прямых, двух разновеликих квадратов с общей стороной, двусмежного квадрата, двух соприкасающихся окружностей) или, по уравнению (3.35) сдвоенного золотого треугольника с высотой b.

К тому же, как следует из (3.35), деление «отрезка» в крайнем и среднем отношении включает в себя не только видимую (проявленную часть операции − раздвоения первичного отрезка, и результата – появления двух долей–отрезков), но и скрытую, невидимую ее часть (появление прямоугольного треугольника и его катета |NN´| = b). Невидимая часть может содержать прямоугольный треугольник, с перпендикуляром. Не исключено существование и других фигур: прямоугольников, трапеций, треугольников и окружностей (сфер?). Т.е. одной операцией из двух действий по делению отрезка на две части обусловливается возможность появления нескольких различных фигур, отсутствующих по условиям задачи. Это обстоятельство свидетельствует о существовании в геометрии скрытых фигур (параметров) и неизбежности двойственных результатов некоторых решений (ниже будет показано существование скрытых фигур, например, в проективной геометрии). К тому же элементы всех образуемых на рис. 49-51 фигур оказываются пропорционированными (как бы квантованными) золотому числу Ф или членам числового поля русской матрицы (об этом далее).

Обратим внимание еще на одно очень важное обстоятельство. На появление на рис.51 равнобедренного треугольника АSВ и трапеций, как снаружи фигуры – АСДБ, так и – внутри равнобедренного треугольника O₁EFO₂. Точка S равнобедренного треугольника, лежащая на окружности, как будет показано далее, может оказаться несобственной точкой Дезарга, способной перемещаться по поляре и, следовательно, стороны треугольника АSВ могут приобрести статус параллельных прямых. Наличие же трапеции внутри равнобедренного треугольника как бы обусловливает некое побуждение фигуры к движению, к изменению, к деформации. Фигура трапеции на этом рисунке есть мгновенный снимок из множества тех, которые возникают при ее совместном с окружностями движении, произведенный в тот момент, когда радиусы окружностей оказались пропорционированы по золотой пропорции. И главное, – в этой фигуре просматриваются элементы статико-динамической (полудинамической) геометрии. Геометрии, в которой присутствует «кадрированное время» (дискретизированное по мгновениям), т.е. фиксируются отдельные положения изменяемой фигуры, общее изменение которой можно связать воедино путем построения ряда промежуточных положений (кадров) постепенно преобразующих (деформирующих) одну фигуру в другую. Этими преобразованиями занимается проективная геометрия. Здесь же отметим, что проективная геометрия является частью статико-динамической геометрии, из комплекса первичных фигур которой искусственно удалены многие структурные элементы (искусственное удаление скрыло эти элементы от рассмотрения и усложнило развитие проективной геометрии), и производилось преобразование только одного из них (например, комплекса из четырех гармонических точек). В результате оказалось незамеченным главное, что составляет основу проективной геометрии – ее динамический характер.

Появление нескольких типов фигур, «базирующихся» на сечении отрезка в крайнем и среднем отношении: параллельных Евклида, Дезарга (АSВ), треугольников, трапеций и окружностей обусловливает возможность построения статико-динамической геометрии, в которой могут наличествовать как неподвижные, так и движущиеся фигуры различной структуры, обладающие свойствами системы, с деформирующимися элементами при движении в пространстве изменяемой плотности.

Динамический характер проективной геометрии будет подробнее рассматриваться далее, здесь же остановимся на возможности восстановления целого отрезка, разделенного крайним и средним отношением по одной из его долей-частей. Например, по большей доле (рис. 52.).

Для нахождения полной длины отрезка по его большей части АN построим на этой части квадрат ACДN. Из центра основания квадрата О раствором циркуля проводим окружность, для которой отрезок АN оказывается диаметром. Из угла Д к центру О проводим прямую, пересекающую окружность в точке Е. От угла А через точку Е проводим прямую до пересечения со стороной ДN в точке F и раствором циркуля переносим расстояние FN до пересечения с продолжением прямой АN (показано штрихами) в точке В. Образовавшаяся линия АВ и представляет собой полную длину отрезка до его разделения в крайнем и среднем отношении, а отрезок ВN является его меньшей частью.

После нахождения точки Е построение можно провести другим способом. Через точку Е провести касательную до пересечения с продолжением диаметра АN. Точка пересечения В и отсечет отрезок равный тому, который был до деления в крайнем и среднем отношении.

Проведем построение полного отрезка, разделенного в крайнем и среднем отношении, по его меньшей части (рис. 53.). На прямой отложим отрезок АN равный меньшей доле первоначального отрезка. Из точки N восстанавливаем перпендикуляр и циркулем переносим на него в точку С длину отрезка АN. Через центр Е отрезка СN проводим прямую АЕ и переносим циркулем на ее продолжение расстояние ЕN. Через образовавшуюся точку Д из точки С проводим прямую до пересечения с продолжением прямой АN в точке В. Образовавшаяся доля NВ и будет большей частью искомого отрезка АВ.

Обобщение:

– Деление отрезка в крайнем и среднем отношении может описываться двумя пропорциями (3.31) и (3.32). Преобразование этих пропорций выявляет некоторые невидимые геометрические фигуры как бы не имеющие отношения к первоначальным пропорциям.

– Появление в результате преобразований (3.31) и (3.32) дополнительного отрезка свидетельствует также о том, что фигуры в динамической геометрии являются системами, у которых все элементы взаимосвязаны. Преобразование уравнения, описывающую данную фигуру в другую форму, вызывает соответствующее изменение самой фигуры или ее элементов.

– Взаимосвязанные элементы фигур наличествуют только в динамических системах, а процедура деления отображает динамику «перемещения» или изменения структуры фигуры.

Обнаружение невидимых фигур при делении отрезка в крайнем и среднем отношении не случайное явление в русской геометрии. Оно свидетельствует о том, что деление есть динамический процесс, отображающий, формализованную в систему взаимосвязь нескольких виртуальных элементов или фигур и их «проявление» в процессе преобразования уравнений. Аналогичные фигуры и свойства пронизывают всю русскую геометрию. Познакомимся с ними подробнее.

Глава IV

Статико-динамическая проективная

геометрия

4.1. Несобственные точки

Дезарга

Выявленные, в процессе рассмотрения задачи деления отрезка в крайнем и среднем отношении, фигуры могут образовывать сами или служить основой для построения множества фигур любой из существующих геометрий: физической (динамической), статико-динами-ческой (похоже, биологической) и статических. Если статические геометрии хорошо изучены и, в частности, статическая геометрия Евклида известна уже более двух тысячелетий, то возможность существования статико-динамической и физической геометрии даже не предполагается. А между тем развитие основ статических геометрий не могло обойти стороной статико-динамическую геометрию. И естественно, что ее элементы не могли не проявить себя при этом развитии. И они проявились. Но в такой форме, что динамика фигур, их деформация и движение оказались скрытыми от рассмотрения, а само движение, происходящее в рамках кадрированного времени, оказалось не обнаруженным. И потому статико-динамическая геометрия получила развитие в форме хорошо известных проективных геометрий. Очень коротко, ориентируясь на [27], рассмотрим некоторые положения проективных геометрий и покажем, что в данных геометриях «неподвижные фигуры» обладают свойством кадрированного движения, характерного для полудинамических систем.

Еще раз отметим, что в статических и в статико-динамической геометриях отсутствует время как свойство тел и потому всякое движение элементов и фигур статико-динамической геометрии отображается как фиксация (стоп-кадр) их пространственного положения в неопределенное мгновение. Сами фигуры в любой фиксированный момент времени неподвижны. Изменение их является кадрированным (как и кадров на кинопленке). Кадр фиксирует изменение (деформацию) в процессе движения фигуры в неопределенное мгновенье.

В статической геометрии, как уже отмечалось, элементы фигур не связаны между собой. Они могут принадлежать или не принадлежать фигуре, существуют вне пространства и времени и остаются неизменными как в фигуре, так и за ее пределами. В статико-динамической (полудинамической) геометрии все элементы фигуры принадлежат фигуре, находящейся между базисами (базисной прямой и точкой опоры), и при изменении положения одного базиса все остальные элементы фигуры пропорционально меняются (деформируют). Фигура в статико-динамической (биологической) геометрии является отдельной системой. Все ее элементы связаны между собой и неотрывны от нее. Фигура всегда находится внутри и под действием некоторого плотностного анизотропного поля. Анизотропное поле образуется как базисом, так и опорной точкой, и фигуры обычно оказываются в плотностном поле одного из них, либо обоих (многих).

Опорная точка есть некоторое отдельное, плотностное образование вроде геометрической гравитирующей точки. По своему геометрическому воздействию на окружающие фигуры опорная точка подобна гравитирующему телу. Фигура, находящаяся в «поле» опорной точки, некоторым образом «взаимодействует» с этим полем. Движение фигуры в поле сопровождается воздействием поля на фигуру, вызывающим ее деформацию и наоборот.

Базисом может являться либо гравитирующая точка, либо линейная последовательность многих близрасположенных гравитирующих точек, которая является аналогом линии, либо плоскость из таких же гравитирующих точек. Базисная «прямая» может представлять собой линию различной кривизны, в том числе и окружность. Причем опорная точка или точки опоры могут находиться как снаружи окружности, так и внутри ее. Пропорционирование фигур и их элементов внутри такой окружности и вне ее производится по общим правилам.

Отметим, что могут существовать фигуры с одним базисом, при этом второй базис как бы потенциально существует на бесконечности. В этом случае сама фигура, вместе с базисами представляет собой единую систему взаимосвязанных элементов или фигур с точкой опоры или без оной, «функционирующую» в определенном анизотропном пространстве и структурно зависящую от положения в нем. Точка опоры S – может быть либо опосредованно точкой (базисная точка), либо плотностной прямой на плоскости, видимой с торца, и всегда является несобственной точкой Дезарга. Изменение положения точки опоры в плотностном пространстве с одной стороны образует новое пространство, отображая иллюзию вневременного движения. А с другой деформирует все элементы перемещаемой фигуры пропорционально структуре создаваемого пространства. Это свойство пропорционального изменения фигуры и ее элементов в зависимости от места расположения точки опоры сохраняется и в том случае, когда элемент «вырезается» (вырывается) из фигуры, проявляя себя как часть базиса. И его деформация при перемещении самого элемента или точки опоры рассматривается вне зависимости от фигуры, из которой он изъят, но по законам пропорционирования фигуры. Более того, сама фигура в этом случае тоже деформирует вместе с вырезанным элементом, но в скрытой форме и процесс этой деформации можно воспроизвести, если даже неизвестна начальная форма фигуры, но сохранилась хотя бы часть ее элементов.

Возможность рассмотрения пропорционирования отдельно взятых элементов фигуры при их перемещении в плотностном поле опорной точки и базиса и послужила основой возникновения проективной геометрии, – геометрии, описывающей перемещение и деформации, вырезанных из фигур единичных элементов. В ней, как уже упоминалось ранее, рассматривается гармоническое отношение четверки точек, «выхваченных» из некоторой фигуры. Однако за гармоническим пропорционированием точек скрывается пропорционирование отрезков, которые находятся между этими точками. Сами же отрезки являются элементами скрытых фигур, которые «ускользнули» от рассмотрения на начальном этапе построения проективной геометрии и потому оказались не востребованными в ее основах. Познакомимся в общих чертах с обстоятельствами, обусловившими появление скрытых фигур и гармонизацию отношению четверки точек.

Начнем с параллельных, которые при их перспективном продолжении (т.е. в движении, которое никогда не кончается), на горизонте (на бесконечности) сходятся в точку, как бы пересекаются. Понятно, что точки пересечения нет, что это условность и параллельные остаются параллельными на бесконечности, но эффект как бы существует и Дезарг предложил считать точки мнимого «пересечения» параллельных в геометрии проекциями «бесконечно удаленных» точек. Более того, он также предложил считать бесконечно удаленные точки пересечения прямых – несобственные точки, равноправными всем остальным точкам. Таким образом, как говорится в [27]:« … Дезарг дополняет (!? Авт.) евклидово пространство новыми элементами: несобственными(бесконечно удаленными) точками, а также еще и плоскостью, на которой лежат все несобственные точки, – несобственной плоскостью. …И предлагает считать бесконечно удаленные точки равноправными (со всеми остальными) точками».

Прежде всего, Дезарг не дополняет евклидово пространство, поскольку таковое здесь не существует, а образует свое, вводя несобственное пространство и несобственные точки, и получая анизотропное плотностное пространство. Постулировав существование несобственной точки, Дезарг тем самым постулировал наличие в геометрии плотностного центра – основы аксиомы о динамических параллельных. Центр – точку, в которую входят параллельные как бы соединяясь в своем бесконечном движении. Точка «пересечения» параллельных на плоскости есть плотностная точка динамической геометрии. Точка, с приближением к которой пространство, окружающее ее, уплотняется, становясь проективным аналогом природного пространства, состоящего из физических точек различной плотности (эфира). Тем самым он, неявно, постулировал существование плотностного пространства и совершенно нового геометрического качества – плотностности, неизвестного в евклидовой геометрии. Принятое Дезаргом равноправие точек пересечения параллельных с точками евклидовой геометрии, не находящимися на бесконечности, аннулировало качество плотностности и формально превратило эти плотностные анизотропные точки, в изотропные точки евклидова пространства, которыми можно было оперировать по законам статической геометрии. Равноправие несобственных точек с евклидовыми точками скрыло их динамический характер.

Это «дополнение евклидова пространства» равнозначными несобственными точками инесобственным пространством требовало изменения представления о геометрическом пространстве, о точке, о взаимосвязях элементов фигур и о возможности движения в статической геометрии. Однако пересмотра не последовало. Постулирование несобственных точек и плоскостей обусловило появление новой статической проективной геометрии. В ней параллельные прямые отсутствуют. («У Дезарга две прямые одной плоскости всегда пересекаются. Ограничений никаких» [26]).

Повторимся – поскольку, по определению, параллельные прямые пересекаться не могут, то постулирование их пересечения вносит в неявной форме в евклидову геометрию противоречащее ей качество –кадрированное движение. Качество, которое свидетельствует о замедлении физического времени при движении к плотностному центру и полностью изменяет структуру статической геометрии, обусловливая возрастание «плотностности» пространства к области «пересечения параллельных прямых». В результате изотропное евклидово пространство автоматически, помимо нашего понимания и желания, становится пространством анизотропным, пространством, деформирующим тела, помещаемые в него при перемещении из одной области в другую. И это изменение качества евклидова пространства привело к появлениюгеометрическогодвижения и к деформации фигур и их элементов, не замеченных современниками:

Во-первых, потому, что в проективной геометрии рассматривалось перемещение не фигур, а точек, которые в движении не деформируются. Характерный пример – «гармоническая четверка точек». При перемещении их в пространстве проективной геометрии, отрезки между точками изменяются гармонически, а это изменение формулируется как отношение между точками.

Во-вторых, потому, что движение, по современным представлениям, происходит только в непрерывном времени, а время в статической геометрии отсутствует по определению.

В-третьих, не предполагалась даже возможность динамических изменений геометрических фигур.

В-четвертых, преобразование и деформация фигур в проективном пространстве было подменено так называемым сложным отношением четырех точек, за которым скрывалось отношение расстояний между точками, а не точек, и за этими точками существование геометрических фигур в пространстве даже не просматривалось. Понятие «сложное отношение четырех точек» тоже введено Дезаргом как простейшая величина, сохраняющаяся при проектировании, т.е. являющаяся инвариантом проективной геометрии.

Повторимся, – постулирование пересечения параллельных на бесконечности означает введение в статику элементов динамической геометрии. Для «достижения» точки «пересечения» параллельных на бесконечности им приходится двигаться в изменяемом плотностном пространстве. Т.е. перемещаться в ином пространственном качестве, внося в статическую геометрию элементы динамики. При этом параллельные динамической геометрии не пересекаются, а «входят» в плотностную точку динамической геометрии и никуда из нее не выходят. Именно плотностная точка и является физическим аналогом несобственной точки Дезарга. К тому же существование несобственной точки не является фактом пересечения параллельных, а только свидетельством некоего сближения линий на горизонте в процессе бесконечного движения вглубь плотности, воспринимаемого как плотностная точка. И поэтому несобственные точки никогда не могут быть равноправными и равнозначными с геометрическими точками, поскольку несобственные точки существуют как отображение в геометрии плотностной телесности пространства. Несобственные точки – порождение динамической аксиомы о параллельных. Они суть свидетельства бесконечного кадрированного геометрического движения фигур в плотностном поле, которое и есть время. С их введением в геометрию последняя качественно изменяется. Статическая геометрия Евклида приобретает динамику, а вместе с ней и новое проективное пространство, – плотностное анизотропное пространство, в котором фигуры и их элементы, перемещаясь, деформируются, т.е. взаимодействуют с пространством.

С появлением несобственных точек и плоскостей, обусловивших возможностью перемещения базисных фигур, в геометрии появилась и возможность перемещения отдельных элементов; точек, отрезков, фигур, причем таким образом, что наличие фигур, в которые эти элементы входили, становилось незаметным, скрытым. И существование таких скрытых фигур сохраняется на протяжении всего существования проективных геометрий. Рассмотрим, как это произошло, какие фигуры оказались скрытыми, и какие последствия обусловило существование несобственных точек в геометрии.

4.2. Скрытые фигуры

статико-динамической геометрии

Остановимся на процессе появления четырех точек на прямой. В предыдущей главе коротко описан этот процесс и показано наличие окружности, поляры ТТ`` с отметкой N на диаметре АВ и полюса М на продолжении диаметра (рис. 54). Вместе с точками А и В, лежащими на пересечении прямой окружностью, получается только две пары точек: одна на окружности А и В, а вторая – полюс М и точка N пересечения диаметра с полярой ТТ´. Рассмотрение и ограничивается четырьмя точками на прямой А, N, В, М. Отметим еще раз главное: отношение длин отрезков АN и NВ равно отношению длин отрезков АМ и ВМ.

АN⁄NВ = АМ⁄ВМ (4.1)

Точки этого отношения, N и М, разделяют отрезок АВ гармонически и совместно называются гармонической четверкой точек.Особо отметим, чтоцентр окружности, построенной на диаметре АВ, не входит в структуру проективной геометрии и не является не только гармонической, но и значимым элементом проективной фигуры. И все перемещаемые отрезки с четырьмя гармоническими числами, не включают в себя центр окружности как некое расстояние, гармоничное остальным ее отрезкам. Неизменным остается количество точек на прямой и ее единственный полюс − М. Подчеркнем еще раз – в проективной геометрии на прямой существует единственный полюс М. И этот полюс не имеет отношения к фигуре. Ни сама фигура, ни ее элементы не распространяются на другие направления пространства, что обедняет и делает односторонней всю структуру проективной геометрии. И потому сама фигура (рис. 54) остается «однобокой» и асимметричной.

На рис. 55 эти элементы, обусловливающие образование четырех гармонических точек, доведены до симметричного вида и показаны в своей полноте. На нем показано, что гармонических точек оказывается не четыре, а, по меньшей мере, пять. Добавилась точка М₁. В центре круга под прямым углом пересекаются базисная прямая на которой расположен диаметр АВ, и поляра ТТ´. Через точки А и В проходят евклидовы параллельные прямые (на рис. 55 изображены штрихами). Прямые АS и SВ, как и АS₁ и S₁В есть параллельные Дезарга. Они «пересекаются» на бесконечности в точках S и S₁ на поляре, и потому эти точки являются несобственными плотностными точками. Образуемые фигуры, подобные треугольники АSВ и АS₁В, симметричны относительно базисной прямой (рис. 55). Они могут быть названы проективными пирамидами.

Поляра ТТ´– геометрическое отображение на плоскости зоны одинаковой плотностности между параллельными. Физически же поляра есть область пространства, в которой плотностные параметры двух параллельных совпадают. Это своего рада нейтральная зона между ними. Она существует, пока существуют «плотностные» параллельные. Смещение поляры как нейтральной зоны к одной из параллельных означает, что другая параллельная имеет большую плотностность. Точка S хорошо известна в проективной геометрии, но известна как центр проекции, а не как неотъемлемый элемент поляры ТТ`. Она – несобственная точка на поляре полюсов М и М₁, названная выше точкой опоры. Точка опоры S – базисная точка, точка, не имеющая центра, плотностное пространство статико-динамической геометрии, в которую со всех сторон сходятся параллельные лучи.

Через точки пересечения поляры ТТ´ с окружностью на бесконечность проведены касательные (показано штрихами). На бесконечности данные касательные тоже «пересекаются» на базисной прямой и точки их пересечения становится несобственными точками, – полюсами серии М. Их расположение тоже симметрично. Т.е. на бесконечности полюс М изменяет свое качество и в этом случае оказывается не просто точкой, а несобственной точкой Дезарга. И бесконечная, на которой расположен отрезок АВ и точка М, становится своего рода многоточечной, неподвижной полярой. Это очень важное обстоятельство, не отмеченное в проективной геометрии, меняет представление как о четырех гармонических точках, так и о структуре проективной геометрии.