Задачи для самостоятельного решения. I. Для функции у найти . 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 13) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
I. Для функции у найти .
1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 7) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
II. Для указанных ниже функций определить, будет ли функция чётной, нечетной, функцией общего вида.
1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 7) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Ответы:
I. 1) ; 2)
;
3) ; 4)
;
5) ; 6)
;
7) ; 8)
;
9) ; 10)
;
11) ;
12) ;
13) ; 14)
.
II. 1), 2), 5) – функция общего вида;
3), 6), 7), 10), 11) – функция нечетная;
4), 8), 9) – функция четная.
Занятие 2.
Полярная система координат. Построение графиков функций методом сдвига и растяжения вдоль осей координат.
Основные элементы полярной системы координат – полярная ось и полюс. По отношению к ним определяется положение точки на плоскости. Полярные координаты точки – это пара чисел
, где
– расстояние от
до полюса
, а
– это угол между полярной осью и
. (см. рис.1).
Пусть полярная система координат расположена так, что полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с осью ОХ. Пусть точка имеет декартовы координаты
и
, т.е.
, а полярные –
и
, т.е., с другой стороны,
(см. рис.2).
Тогда:
;
Примеры.
1)Даны декартовы координаты точки :
. Найти её полярные координаты, т.е.
и
.
▲ Имеем: ,
,
.
2)Даны полярные координаты точки :
. Найти её декартовы координаты, т.е.
и
.
▲ Имеем: ,
.
3)Задать кривые в полярных координатах (при помощи уравнения ).
а) ; б)
; в)
.
▲ Подставим в уравнение кривой вместо выражение
, а вместо
– выражение
, и выразим
через
:
а) ;
б) ;
в) .
Геометрические преобразования графиков функций
Предположим, что построен график функции . Требуется построить на его основе график функции
, где
– константы. Далее в таблице приведен ряд правил построения таких графиков.
Преобразование функции | Преобразование графика | |
1) | ![]() | График ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2) | ![]() | График ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
3) | ![]() ![]() | При ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
4) | ![]() ![]() | При ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
5) | ![]() | Сохранить часть графика ![]() ![]() ![]() ![]() |
6) | ![]() | Сохранить часть графика ![]() ![]() ![]() |
7) | ![]() | График ![]() ![]() |
8) | ![]() | График ![]() ![]() |
Замечания.
1)Применяя последовательно эти приемы, можно построить график функции вида ;
2)Период функций ,
равен
.
Примеры.
I. Случаи 1), 2).
а) Рассмотрим функцию . График этой функции можно получить путем сдвига "стандартной" параболы
как единого целого на две единицы по оси
вправо и на одну единицу по оси
вверх (см. рис.3).
б) Рассмотрим функцию . График этой функции можно получить путем сдвига "стандартной" гиперболы
по оси
влево на одну единицу и по оси
вверх на одну единицу (см. рис.4).
II. Случаи 3), 4).
а) Рассмотрим функцию . График этой функции можно получить путем растяжения графика функции
вдоль оси
в 2 раза. При этом нули обеих функций одинаковы – это точки вида
,
(см. рис.5).
б) Рассмотрим функцию . График этой функции можно получить из графика
путем сжатия его в 2 раза к оси
. Период функции
равен
(см. рис.6).
![]() |
III. Случаи 5), 6).
Рассмотрим функции и
. Их графики можно получить из графика функции
по правилам 5) или 6) (см. рис.7 и рис.8).
|
![Задачи для самостоятельного решения. I. Для функции у найти . 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 13) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; Задачи для самостоятельного решения. I. Для функции у найти . 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 13) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; - student2.ru](/images/matematika/zadachi-dlya-samostoyatelnogo-resheniya-i-dlya-funkcii-u-nayti-1-2-3-4-5-6-13-7-8-9-10-11-12-454805-166.gif)
IV. Случаи 7), 8).
Рассмотрим функции и
. Их графики можно получить из графика функции
по правилам 7) и 8), соответственно (см. рис.9 и рис.10).
![]() |