К решению первой контрольной работы

Представлен разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д):

а)

1. .

► = = .

2. .

► .= = = =0.

3. .

► .= = = =-∞.

б) .

Решение. = = = =

= = =

Предел вычислен подстановкой .

Предел не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность .

в) .

Анализ задачи.Подстановка числа 2 вместо показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение.Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений ( )·( ) и используя формулу разности квадратов , получаем

◄

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Ответ:

◄

г)

Анализ задачи.В данном случае непосредственное применение теоремы о пределе частного невозможно, поскольку, как показывает подстановка числа -3 вместо x, и предел числителя, и предел знаменатели равны пулю.

и

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида , и для решения задачи требуется провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение.Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если — корни квадратного трехчлена ,

то = . Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D:

Отсюда

Аналогично,

Поэтому

Преобразуем выражение, находящееся под знаком предела:

= =

= ◄

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при равны нулю, то применимо правило Лопиталя:

◄

	Ответ:10.

д)

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость .

Для того чтобы раскрыть неопределённость, можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной при этом

Так как при то :

Используем теперь тригонометрическую формулу

Другое решение. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

◄

	Ответ:

ЗАДАЧА 3.Вычислить производные функций:

а) Вычислить производную функции

► ◄

б) Вычислить производную функции

1. .

►

◄

в) Вычислить производную функции

.

► .◄

2. .

►

.◄

3.

►

.◄

ЗАДАЧА 4.Выполнить полное исследование функции и построить ее график

Исследовать функцию и построить её график.

►Исследуем данную функцию.

1.Областью определения функции является множество .

2.Ордината точки графика .

3.Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

4.Находим, что

.

Находим наклонные асимптоты:

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

5.Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:

.

Из у'=0 следует х²-8х-33=0, откуда = 11, х₂ = -3. В интервале (-∞; -3) y′>0, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в интервале (-3; 4) y'<0, значит, функция убывает. Поэтому функция в точке х=-3 имеет локальный максимум: у(-3) = 0. В интервале (4;11) у'<0, следовательно, функция убывает на этом интервале; в интервале (11; +∞) у'>0,т. е. функции возрастает. В точке =11 имеем локальный минимум: y(11) = 28.

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем

=

= = .

Очевидно, что в интервале (-∞; 4) y"<0, и в этом интервале кривая выпукла; в интервале (4; +∞) у">0, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при х=4 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

7. График функции изображен на рис.

ЗАДАЧА 5.Вычислить неопределенные интегралы а) – в)

а)

1.

► ◄

2.

►

◄

3.

►

.◄

4.

►

.◄

б) .

Решение. Решение данной задачи выполним по формуле интегрирования по частям:

В этой формуле принимаем за функцию . Тогда (так как находим первообразную, то «+С» не пишем).

По формуле находим производную второго сомножителя :

Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям, получаем:

в)

Решение.Так как корнями знаменателя является и , то по формуле знаменатель раскладывается на множители

.

Представим дробь в виде следующей суммы:

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим: .

Подставив в последнее равенство , находим, что

Подставляя в равенство (2), находим, что

Таким образом, .

Итак,

ЗАДАЧА 6.Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций . Изобразите эту фигуру на координатной плоскости.

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции и находим координаты вершины параболы С:

Рис. к задаче 5

Найдем точки пересечения графиков функции: .

Заметим, что для Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам .

Пусть S – площадь фигуры , ограниченной графиками функций. Так как то

Контрольная работа № 1

Формулировки условий задач контрольной работы.

[1]. Вычислить предел функции.

[2]. Вычислить производную функции в точке x₀, используя определение производной.

[3]. Вычислить производные функций.

[4]. Провести полное исследование функции и построить её график.

[5]. Вычислить интегралы.

[6] Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x)и g(x). Сделать чертеж.

►Вариант 0◄

1. а) б) в)

г) д)

2.f(x) = 3x² + 2x + 1; x₀ = –1.

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 1◄

1. а) б) в)

г) д)

2.f(x) = 2x² – 4x – 1; x₀ = 2.

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 2◄

1. а) б) в)

г) д) .

2.f(x) = –x² + 4x – 5; x₀ = 3.

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 3◄

1. а) б) в)

г) д) .

2.f(x) = x² + 4x + 6; x₀ = –6.

3.а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 4◄

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.f(x) = –2x² + 3x – 1; x₀ = 4.

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 5◄

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.f(x) = –x² + 6x – 3; x₀ = 5.

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5.а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 6◄

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.f(x) = 3x² – x + 5; x₀ = 1.

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 7◄

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.f(x) = –3x² + 2x + 4; x₀ = –1.

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 8◄

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.f(x) = x² – 4x – 5; x₀ = –2.

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

►Вариант 9◄

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.f(x) = 2x² – 2x – 5; x₀ = 2.

3. а) ; б) ; в) ;

г) .

4. .

5. а) ; б) ; в) ; г) .

6. .

Таблицы и формулы

1. Производные основных элементарных функций

1). Производная константы равна нулю:

2). Производная степенной функции: где а — любое не равное нулю действительное число. В частности,

3). Показательная, логарифмическая и экспоненциальная функции:

4) Тригонометрические функции

5) Обратные тригонометрические функции

2. Производные некоторых сложных функций:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

3.Правила дифференцирования:

1)

2)Константы можно выносить за знак производной:

3)Производная суммы равна сумме производных:

4)Производная произведения:

5)Производная отношения:

6)

7)

8)Пусть сложная функция, и

Тогда:

4. Таблица основных неопределенных интегралов:

1.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.

12. при

5. Операции интегрирования.

1) Линейность операции интегрирования:

2) Замена переменных (метод подстановки): если то

Эта формула позволяет интегрировать произведения, одним из сомножителей которых является сложная функция

3) Интегрирование по частям:

4) Интегрирование простейших дробей:

1.

2.

3.

Вопросы к экзамену

1. Понятие множества. Числовая ось. Окрестность точки.

2. Понятие функции. Основные свойства функции. Способы задания функций.

3. Элементарные функции. Обратная и сложная функция.

4. Предел числовой последовательности. Использование предела в экономике.

5. Предел функции в бесконечности и в точке.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

7. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.

8. Замечательные пределы.

9. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке.

10. Производная. Непрерывность и дифференцируемость функции.

11. Производная сложной и обратной функций.

12. Экономический смысл производной. Использование производной в экономике.

13. Основные теоремы дифференциального исчисления (без доказательств).

14. Возрастание и убывание функции. Поиск интервалов монотонности.

15. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Поиск экстремума.

16. Экстремум функции. Достаточные условия экстремума. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции.

17. Выпуклость функции. Точки перегиба.

18. Асимптоты графика функции.

19. Общая схема исследования функции.

20. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

21. Первообразная и неопределенный интеграл.

22. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом разложения.

23. Интегрирование методом замены переменной.

24. Метод интегрирования по частям.

25. Интегрирование простейших рациональных дробей.

26. Определенный интеграл, его геометрический и экономический смысл.

27. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

28. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей плоских фигур.

29. Вычисление объемов тел вращения с использованием определенного интеграла.

30. Несобственные интегралы.

31. Функция Кобба-Дугласа. Кривая Лоренца.

32. Функции нескольких переменных. Линии уровней. Функции нескольких переменных в экономике.

33. Частные производные и дифференциал функции.

34. Производная по направлению. Градиент функции.

35. Экстремум функции нескольких переменных.

36. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных.

37. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

38. Двойные и тройные интегралы.

39. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.

40. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

41. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

42. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

43. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

44. Числовые ряды. Сходимость ряда. Признак Даламбера.

45. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

46. Знакопеременные ряды. Абсолютно сходящийся и условно сходящийся ряды.

47. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда.

48. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.